Open Up Resources Logo

Lección 8Hallemos longitudes de lado desconocidas

Hallemos longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos.

Metas de aprendizaje:

  • Cuando tengo un triángulo rectángulo, puedo identificar cuál lado es la hipotenusa y cuáles lados son los catetos.
  • Si conozco las longitudes de dos lados, puedo hallar la longitud del tercer lado de un triángulo rectángulo.

8.1 Cuál es diferente: ecuaciones

¿Cuál es diferente?

3^2 + b^2 = 5^2  

b^2 = 5^2 - 3^2

3^2 + 5^2 = b^2

3^2 + 4^2 = 5^2

8.2 ¿Cuál es la hipotenusa?

Etiqueta todas las hipotenusas con la letra c .

8.3 Hallemos longitudes de lado desconocidas

  1. Halla c .
     
  2. Halla b .
     
  3. Un triángulo rectángulo tiene catetos de longitud 2.4 cm y 6.5 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?
  4. Un triángulo rectángulo tiene un lado de longitud \frac14 y una hipotenusa de longitud  \frac13 . ¿Cuál es la longitud del otro lado?
  5. Halla el valor de x en la figura.
 

¿Estás listo para más?

El espiral que se muestra en la figura está hecho comenzando con un triángulo rectángulo que tiene ambos catetos de longitud una unidad. Luego, se construye un segundo triángulo rectángulo que tiene un cateto de longitud una unidad y el otro cateto es la hipotenusa del primer triángulo. Se construye un tercer triángulo rectángulo sobre la hipotenusa del segundo triángulo, y nuevamente su otro cateto tiene una longitud de una unidad, y así sucesivamente.

Halla la longitud, x , de la hipotenusa del último triángulo construido en la figura.

Resumen de la lección 8

Hay muchos ejemplos en los que se conocen las longitudes de los dos catetos de un triángulo rectángulo y se pueden utilizar para hallar la longitud de la hipotenusa utilizando el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras también se puede utilizar si conocemos la hipotenusa y un cateto y queremos hallar la longitud del otro cateto. Este es un triángulo rectángulo en el que un cateto tiene una longitud de 5 unidades, la hipotenusa tiene una longitud de 10 unidades y la longitud del otro cateto está representada por g . 

A right triangle, where one leg has a length of 5 units, the hypotenuse has a length of 10 units, and the length of the other leg is represented by the letter g.

Comienza con a^2+b^2=c^2 , reemplaza los valores y despeja el valor desconocido. Recuerda que c representa la hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto. Para este triángulo, la hipotenusa es 10.

\begin{align} a^2+b^2&=c^2 \\ 5^2+g^2&=10^2 \\ g^2&=10^2-5^2 \\ g^2&=100-25 \\ g^2&=75 \\ g&=\sqrt{75} \\ \end{align}

Utiliza estrategias de estimación para darte cuenta de que la longitud del otro cateto está entre 8 y 9 unidades, ya que 75 está entre 64 y 81. Una calculadora que tenga la función de la raíz cuadrada da como resultado  \sqrt{75} \approx 8.66 .

Problemas de práctica de la lección 8

  1. Halla el valor exacto de cada variable que representa la longitud de un lado de un triángulo rectángulo.

  2. Un triángulo rectángulo tiene longitudes de los lados a , b y  c unidades. El lado más largo tiene una longitud de c unidades. Completa cada ecuación para mostrar tres relaciones entre  a , b y  c .

    1. c^2=

    2. a^2=

    3. b^2=

  3. ¿Cuál es la longitud exacta de cada segmento de recta? Explica o muestra tu razonamiento. (Cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 unidad cuadrada).

    1. A line segment labeled l on a square grid. One endpoint is 4 units directly down from the other endpoint.
    2. A line segment slanted upward and to the right, labeled m, on a square grid. The top endpoint is 2 units up and 4 units to the right from the bottom endpoint.
    3. A line segment labeled “q” on a square grid. The line segment starts at an intersection point on the grid and slants upward and to the right to an end point that is 4 units to the right and 5 units up.

  4. En 2015, había aproximadamente 1 \times 10^6 jugadores de fútbol americano de preparatoria y  2 \times 10^3 jugadores de fútbol americano profesionales en los Estados Unidos. ¿Aproximadamente cuántos jugadores más de fútbol americano de preparatoria hay? Explica cómo lo sabes.

  5. Resuelve:

    1. \left(\frac{1}{2}\right)^3
    2. \left(\frac{1}{2}\right)^{\text-3}

  6. Este es un diagrama de dispersión de peso versus edad de varios perros Doberman. Esta es la gráfica del modelo y = 2.45x + 1.22 , junto con el diagrama de dispersión. En este caso, x representa la edad en semanas y  y representa el peso en libras.

    1. ¿Qué significa la pendiente en esta situación?
    2. Con base en este modelo, ¿qué tan pesado esperarías que fuera un Doberman recién nacido?