Lección 6 Elijamos un lado Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Comprender las semejanzas y diferencias que hay entre solucionar ecuaciones y solucionar desigualdades.

Aprender a evitar errores comunes y de comprensión sobre las desigualdades.

¿Qué errores comunes podemos cometer al trabajar con desigualdades?

¿Cómo nos ayuda entender a fondo lo que significan las desigualdades para evitar errores?

¿Una desigualdad puede no tener soluciones?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Joaquín y Serena trabajan juntos de forma productiva en su clase de Matemáticas. Ambos aportan ideas y cuando están en desacuerdo, ambos dan sus razones y juntos deciden quién está en lo correcto. En este momento están trabajando con desigualdades. Recientemente tuvieron una discusión:

Joaquín: “El problema dice, ' $6$ menos que un número es mayor que $4$ '. Creo que deberíamos simplemente escribir lo que dicen las palabras, en orden, así: $6 - n > 4$ ”.

Serena: “No creo que eso funcione porque si $n$ es $20$ y tomas $6$ menos que eso obtienes $20 - 6 = 14$ . Creo que deberíamos escribir $n - 6 > 4$ ”.

Joaquín: “Oh, tienes razón. Entonces tiene sentido que la solución sea $n > 10$ , que significa que podemos tomar cualquier número mayor que $10$ ”.

Las siguientes situaciones son otros desacuerdos y discusiones entre Joaquín y Serena. Debes decidir cómo responder sus preguntas, decidir quién tiene la razón y dar una explicación matemática de tu razonamiento.

1.

Joaquín y Serena deben graficar la desigualdad $x \geq - 7$ .

Joaquín cree que la gráfica debe tener un punto sin relleno en $- 7$ .

Serena cree que la gráfica debe tener un punto con relleno en $- 7$ .

Explica quién tiene la razón y por qué.

2.

Joaquín y Serena van a solucionar $3 x + 1 > 0$ .

Serena dice que la desigualdad siempre es verdadera porque al multiplicar un número por $3$ y luego sumarle $1$ se obtiene un número mayor que $0$ .

¿Tiene razón? Explica por qué sí o por qué no.

3.

El problema verbal en el que trabajan Joaquín y Serena dice: “ $4$ más grande que $x$ ”.

Joaquín dice que deben escribir $4 > x$ .

Serena dice que deben escribir $4 + x$ .

Explica quién tiene la razón y por qué.

4.

Joaquín piensa mucho en las ecuaciones y las desigualdades, y se le ocurre esta idea:

Si $45 + 47 = t$ , entonces $t = 45 + 47$ .

Por eso, si $45 + 47 < t$ , entonces $t < 45 + 47$ .

¿Tiene razón? Explica por qué sí o por qué no.

5.

La pregunta que se hizo Joaquín en el problema 4 hizo que Serena pensara en otras semejanzas y diferencias entre las ecuaciones y las desigualdades. Serena piensa en la ecuación $- \frac{x}{3} = 4$ y la desigualdad $- \frac{x}{3} > 4$ . Explícale a Serena en qué se parecen y en qué son diferentes. ¿En qué se parecen y en qué son diferentes las soluciones de cada una?

6.

a.

Joaquín despejó $q$ en $- 15 q \leq 135$ sumando $15$ en cada lado de la desigualdad. Serena dijo que eso no era correcto. ¿Qué crees que es correcto y por qué?

b.

La solución de Joaquín fue $q \leq 150$ . Él reemplazó $q$ por $150$ en la desigualdad original para comprobar su trabajo. ¿Esto prueba que Joaquín tiene razón? Explica por qué sí o por qué no.

c.

Joaquín todavía cree que tiene razón. Encuentra un número que satisfaga su solución, pero que no satisfaga la desigualdad original.

7.

Serena compara su trabajo con el de Joaquín y se da cuenta de que no están de acuerdo en un problema. Esto fue lo que escribió Serena:

$3 x + 3 \leq - 2 x + 5$ $3 x \leq - 2 x + 2$ $x \leq 2$ ¿Tiene razón? Explica por qué sí o por qué no.

8.

Joaquín y Serena tienen dificultades para solucionar $- 4 (3 m - 1) \geq 2 (m + 3)$ .

Explica cómo deben solucionar la desigualdad. Muestra todos los pasos necesarios e identifica las propiedades que usarías.

9.

Joaquín y Serena saben que algunas ecuaciones son verdaderas para cualquier valor de la variable y que algunas ecuaciones nunca son verdaderas, sin importar qué valor tome la variable. Ahora se preguntan por las desigualdades. ¿Qué les podrías decir acerca de las siguientes desigualdades? ¿Tienen soluciones?, ¿cuáles son?, ¿cómo graficarías sus soluciones en una recta numérica?

a.

$4 s + 6 \geq 6 + 4 s$

b.

$3 r + 5 > 3 r - 2$

c.

$4 (n + 1) < 4 n - 3$

10.

Los dos compañeros tienen que despejar $x$ en la desigualdad literal $a x + b > c$ . Joaquín dice que va a despejar igual a como lo haría en una ecuación. Serena le dice que debe tener cuidado, porque si $a$ es un número negativo, la solución será diferente. ¿Qué crees tú? ¿Cuál es la solución de la desigualdad?

¿Listo para más?

Usa tus habilidades de razonamiento para resolver las siguientes desigualdades. Escribe tus soluciones en notación de intervalos y en notación de conjuntos, y grafícalas en la recta numérica.

1.

$| x | < 5$

2.

$| x | \geq 5$

Aprendizajes

Semejanzas entre resolver desigualdades y resolver ecuaciones:

Diferencias entre resolver desigualdades y resolver ecuaciones:

Resumen de la lección

En esta lección analizamos los errores comunes y de comprensión sobre las desigualdades. También analizamos las semejanzas y las diferencias entre resolver ecuaciones y resolver desigualdades, y descubrimos cuáles propiedades valen para ambas y cuáles propiedades son distintas para el caso de las desigualdades.

Repaso

1.

Grafica cada par de ecuaciones y encuentra el punto en el que se intersecan.

$y = x + 3$

$y = - 2 x - 6$

Punto:

Despeja la variable indicada en cada ecuación literal.

2.

Despeja $r$ en $A = π r^{2}$ .

3.

Despeja $m$ en $y = m x + b$ .