Matemáticas II – Glosario | Matemáticas de preparatoria de Open Up (CCSS), Family

A–F

adyacente

afirmación condicional

Una afirmación condicional (también llamada una afirmación de tipo “si-entonces”) es una afirmación que tiene una hipótesis

P

, seguida de una conclusión

Q

. Una afirmación condicional nos dice: “Si esto sucede, entonces esto otro sucederá”.

Si P, entonces Q

El recíproco de una afirmación condicional es una afirmación en la que se intercambian la conclusión $Q$ y la hipótesis $P$ : $Si Q, entonces P$ .

Si una afirmación condicional es verdadera, esto no garantiza que su afirmación recíproca sea verdadera.

Ejemplo:

Afirmación condicional: Si llovió, la carretera está mojada.

Recíproco: Si la carretera está mojada, entonces llovió.

El recíproco no es necesariamente verdadero. Quizás una tubería se rompió e inundó la carretera.

afirmación recíproca

Ver afirmación condicional.

altura

Altura de un triángulo:

Un segmento que une un vértice con la recta que contiene el lado opuesto y que es perpendicular a esa recta.

Altura de un sólido:

Un segmento que une un vértice con el plano que contiene la base y que es perpendicular a ese plano.

ampliación vertical

Ver transformaciones de una función (no rígidas).

arco de un círculo, arco intersecado

Arco: Una parte de un círculo.

Arco intersecado: La parte de un círculo que está entre dos rectas, rayos o segmentos de recta que intersecan el círculo.

asíntota

Una recta a la que una gráfica se acerca sin alcanzarla. Una gráfica nunca toca a una asíntota vertical, pero puede que se cruce con una asíntota horizontal o con una asíntota oblicua (también llamada asíntota inclinada).

Las asíntotas horizontales y oblicuas nos ayudan a entender, en general, el comportamiento final de una gráfica en la dirección positiva y en la dirección negativa. Si una función racional tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener una asíntota oblicua.

Una función racional, $f (x)$ , tiene una asíntota oblicua solo cuando el grado del numerador es uno más que el grado del denominador.

binomio

Un polinomio que tiene dos términos.

bisectriz

Un rayo que tiene su punto extremo en el vértice del ángulo y que divide el ángulo en dos ángulos congruentes.

centro de dilatación

Ver dilatación.

centroide

El punto en donde se encuentran las tres medianas de un triángulo.

ceros, raíces, soluciones

Las soluciones reales de una ecuación cuadrática $a x^{2} + b x + c = 0$ son los números reales que hacen que la ecuación sea verdadera. También se llaman ceros o raíces de la función $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Los ceros reales corresponden a las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de la función.

cilindro: recto, oblicuo

En un cilindro recto, el lado curvo forma un ángulo recto con las dos bases.

En un cilindro oblicuo, las bases son paralelas, pero el lado curvo se inclina un ángulo que no mide $90 °$ .

círculo: ecuación en forma estándar; ecuación en forma general

La forma estándar de la ecuación de un círculo es ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ , en donde $(h, k)$ es el centro y $r$ es el radio.

La forma general de la ecuación de un círculo se obtiene al desarrollar ${(x - h)}^{2}$ y ${(y - k)}^{2}$ , y agrupar términos semejantes. La ecuación queda:

$x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$

circuncentro

El punto donde se intersecan las mediatrices de los lados de un triángulo. El circuncentro también es el centro del círculo que circunscribe al triángulo. Este círculo pasa por los tres vértices del triángulo.

circunscribir con un círculo

Dibujar un círculo que pasa por todos los vértices de un polígono. El círculo se llama el circuncírculo.

Cada uno de estos polígonos está inscrito en un círculo.

clausura

Un conjunto es cerrado con respecto a una operación si y solo si al aplicar la operación a cualesquiera dos elementos del conjunto, el resultado también pertenece al conjunto.

colineales, colinealidad

Tres o más puntos son colineales si todos están en una misma recta.

Nota: cualesquiera dos puntos definen una recta

No colineales: cuando no todos los puntos están en una misma recta.

cometa

Un cuadrilátero que tiene dos pares de lados adyacentes y congruentes.

complemento (en probabilidad)

El complemento de un evento es el conjunto de todos los resultados del espacio muestral que no están en el evento. Esto significa que en cualquier experimento dado, o bien el evento o su complemento ocurrirán, pero no ambos. La regla del complemento dice que la probabilidad de un evento más la probabilidad de su complemento es igual a 1.

completar el cuadrado

Al completar el cuadrado, se cambia una función cuadrática de forma estándar a forma canónica. Esto sirve para resolver ecuaciones cuadráticas y para deducir la fórmula cuadrática.

$\begin{matrix} forma est \overset{´}{a} ndar & forma can \overset{´}{o} nica \\ a x^{2} + b x + c = 0 \Rightarrow & a {(x + d)}^{2} + e \end{matrix}$

$si a = 1,$

$x^{2} + b x + c = 0 \Rightarrow {(x + \frac{b}{2})}^{2} + [c - {(\frac{b}{2})}^{2}]$

$v \overset{´}{e} rtice (- \frac{b}{2}, [c - {(\frac{b}{2})}^{2}])$

$Ejemplo: \frac{6}{2} = 3 5 - 3^{2}$

$x^{2} + 6 x + 5 = 0 \Rightarrow {(x + 3)}^{2} + (- 4)$

$v \overset{´}{e} rtice (- 3, - 4)$

cóncavo y convexo

Los polígonos son convexos o cóncavos.

Polígono convexo: ningún ángulo interno mide más de $180 °$ . Si se unen dos puntos de un polígono convexo con un segmento de recta, todo el segmento estará contenido en el polígono (incluido su borde).

Polígono cóncavo: al menos un ángulo interno mide más de 180°. En un polígono cóncavo, siempre es posible encontrar dos puntos del polígono para los que el segmento de recta que los une se sale del polígono.

conjugados complejos

Un par de números complejos cuyo producto es un número real distinto de cero.

Los números complejos $(a + b i)$ y $(a - b i)$ son un par conjugado.

El producto es un número real: $(a + b i) (a - b i) = a^{2} + b^{2}$ .

El conjugado de un número complejo $a + b i$ es el número complejo $a - b i$ .

El conjugado de $a + b i$ se escribe así: $\overset{―}{a + b i}$ .

cono: recto, oblicuo

Una figura de tres dimensiones que tiene una sola cara plana en forma de círculo llamada base. El cuerpo del cono es curvo y se achica hasta llegar a un punto llamado vértice (o vértice superior).

En un cono recto el vértice está directamente encima del centro de la base. En un cono oblicuo, el vértice no está directamente encima del centro de la base.

convergencia

Acercarse o aproximarse a un valor o punto específico.

cuerda de un círculo

Una cuerda de un círculo es un segmento de recta que tiene sus extremos en el círculo. En general, una cuerda es un segmento de recta que une dos puntos en una curva.

Un diámetro es una cuerda especial que pasa por el centro del círculo.

definición

Una afirmación sobre el significado de una palabra o símbolo matemático. Una buena definición matemática usa términos ya definidos y muestra el símbolo que la representa. Cuando una palabra se define, puede ser usada en otras definiciones.

demostración con un diagrama

Ver demostraciones (tipos): con diagramas, en dos columnas, en párrafos.

demostración en dos columnas

Ver demostraciones (tipos): con diagramas, en dos columnas, en párrafos.

demostración, tipos: con diagramas, en dos columnas, en párrafos

desigualdad cuadrática

Una desigualdad en donde $y$ es menor que ( $<$ ), mayor que ( $>$ ), menor o igual a ( $\leq$ ) o mayor o igual a ( $\geq$ ) una función de grado $2$ en la variable $x$ .

Ejemplo: $y \geq a x^{2} + b x + c$

desplazamiento horizontal

Ver transformaciones de una función.

desplazamiento vertical

Ver transformaciones de una función (rígidas).

diagonal

Cualquier segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

diagrama de árbol

Una herramienta de probabilidad y estadística que se usa para calcular el número de resultados posibles de un evento, así como para enumerar esos posibles resultados y visualizarlos de manera organizada.

diferencia de cuadrados

El producto especial que se obtiene al multiplicar dos binomios que tienen términos iguales, pero uno de suma y el otro de resta.

dilatación

Una transformación que produce imágenes con la misma forma pero tamaño diferente. Una dilatación está determinada por el factor de escala y el centro de dilatación.

Si $O$ es el centro de una dilatación y un número $k$ mayor que cero es el factor de escala, entonces $P^{'}$ es la imagen del punto $P$ si $O$ , $P$ y $P^{'}$ son colineales, y $\frac{O P^{^{'}}}{O P} = k$ .

directriz

Ver parábola.

disjuntos

Ver mutuamente excluyentes.

ecuación cuadrática

Una ecuación que se puede escribir en la forma $y = a x^{2} + b x + c, en donde a \neq 0$

Forma estándar: $f (x) = a x^{2} + b x + c, en donde a \neq 0$

Ejemplo: $x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Forma factorizada: $(x - 4) (x + 2) = 0$

Forma canónica: ${(x - 1)}^{2} - 9 = 0$

Forma recursiva: $f (1) = - 9; f (n) = f (n - 1) + (2 n - 3)$

(Nota: La forma recursiva solo se usa cuando la función es discreta).

eje mayor y eje menor de una elipse

El eje mayor es el diámetro más largo de una elipse. Comienza en un extremo, pasa por el centro y llega al otro extremo. $C D$ es el eje mayor.

El eje menor es el diámetro más corto (la parte más angosta de la elipse).

elipse

Una elipse es el conjunto de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

La distancia de un punto $(x, y)$ en la elipse a cada uno de los dos focos se marca con $d 1$ y $d 2$ .

Ecuación de una elipse con centro $(h, k)$ : $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

equidistante

Una forma corta de decir que la distancia es igual; la misma distancia entre dos cosas o con respecto a otras.

eventos conjuntos

Eventos que pueden ocurrir a la vez.

Las tablas de doble entrada muestran eventos conjuntos. Ver tablas de doble entrada.

eventos dependientes / eventos independientes

Decimos que dos eventos son independientes entre sí cuando la probabilidad de que ocurra uno de ellos no influye en la probabilidad de que ocurra el otro evento.

Al lanzar dos monedas, el resultado del primer lanzamiento y el resultado del segundo lanzamiento son eventos independientes.

Dos eventos son dependientes si la ocurrencia del primer evento hace que cambie la probabilidad de ocurrencia del segundo evento.

Ejemplo: Supongamos que hay $5$ pelotas en una caja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pelota verde de la caja en el primer intento? Se selecciona y se retira una pelota verde en el evento $1$ . ¿Cuál es la probabilidad de obtener una pelota verde en el segundo intento?

eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si uno ocurre, el otro no puede ocurrir.

Ejemplo: Al lanzar una moneda, sacar cara y sacar sello son eventos mutuamente excluyentes.

factor de escala

La razón entre cualesquiera dos longitudes correspondientes en dos figuras geométricas semejantes.

factorizar

Factorizar un número: significa descomponerlo en números que al multiplicarlos se obtiene el número original.

Ejemplo: Factorizar $75$ : $75 = 3 \times 25$ , o $15 \times 5$ o $3 \times 5 \times 5$ .

Factor: un número entero no negativo que divide exactamente a otro número. En el ejemplo anterior, $3$ , $5$ , $15$ y $25$ son todos factores de $75$ .

En álgebra, la factorización puede ser más complicada. En vez de factorizar un número, como $75$ , se te puede pedir factorizar una expresión, como $15 a^{2} b$ .

Los números $3$ y $5$ , y las variables $a$ y $b$ son todos factores. La variable $a$ es un factor que aparece dos veces.

factorizar una cuadrática

Significa tomar una expresión o ecuación cuadrática de la forma $y = A x^{2} + B x + C$ y reescribirla para formar una expresión equivalente con dos binomios. Los dos binomios son las dimensiones del rectángulo cuya área es $A x^{2} + B x + C$ .

El diagrama representa un rectángulo con área $x^{2} + 7 x + 12$ y dimensiones $(x + 3)$ y $(x + 4)$ .

falso negativo / positivo

En una prueba, un falso negativo es un resultado negativo que es incorrecto. Por ejemplo, en una prueba diseñada para detectar cáncer, un falso negativo sería un resultado negativo cuando la persona realmente tiene cáncer.

Un falso positivo es un resultado positivo que es incorrecto y en realidad debería ser un resultado negativo.

foco

Ver parábola.

forma canónica

Ver función cuadrática.

forma estándar de una función cuadrática

$a x^{2} + b x + c, a \neq 0$

forma factorizada

La forma $P (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2}) . . . (x - r_{n})$ de una función polinómica, en donde $a \neq 0$ . Los valores $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ son las raíces de la función y $a$ es el valor de la ampliación vertical para la gráfica de $P (x)$ .

fórmula cuadrática

Con la fórmula cuadrática podemos solucionar cualquier ecuación cuadrática de la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ . Las letras $a$ , $b$ y $c$ son los coeficientes de los términos.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

función con valor absoluto

Una función que contiene el valor absoluto de una expresión algebraica. La función básica de valor absoluto se define así:

$f (x) = | x | = x, si x > 0$

$f (x) = | x | = 0, si x = 0$

$f (x) = | x | = - x, si x < 0$

función cuadrática

función definida a trozos

Una función que está definida por dos o más ecuaciones. Cada ecuación se usa en su propio intervalo. Una función definida a trozos puede ser o no continua.

Cada ecuación de una función definida a trozos se llama una subfunción.

G–L

hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

Ecuación: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

hipotenusa

El lado más largo de un triángulo rectángulo.

Es el lado opuesto al ángulo recto.

incentro

En incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. En una bisectriz, cada punto es equidistante de los dos lados del ángulo.

El incentro es el centro del círculo inscrito en el triángulo.

inscrito en un círculo

intersección con el eje x

El punto o puntos en los que una recta o curva se cruza con el eje $x$ . El valor de $y$ de estos puntos es $0$ . Una recta no horizontal solo se cruza con el eje $x$ una vez. Una curva puede cruzarse con el eje $x$ varias veces.

intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos $X$ y $Y$ es el conjunto de todos los elementos de $X$ que también pertenecen a $Y$ . El símbolo de la intersección es $\cap$ .

Por ejemplo: Si $X = {5, 6, 7, 8, 9, 10}$ y $Y = {5, 10, 15}$ , entonces su intersección es $X \cap Y = {5, 10}$ .

inverso: aditivo, multiplicativo

El número que debemos sumarle a un número para obtener cero es el inverso aditivo de ese número. Todo número real tienen un único inverso aditivo. El cero es su propio inverso aditivo. $x + (- x) = 0$ . Para todo $a$ existe un número $- a$ tal que

$a + (- a) = (- a) + a = 0$

El recíproco de un número distinto de cero es el inverso multiplicativo de ese número. El recíproco de $x$ es $\frac{1}{x}$ porque $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ . El producto de un número real y su inverso multiplicativo es $1$ . Todo número real distinto de cero tiene un único inverso multiplicativo.

lado opuesto en un triángulo

En un triángulo, un lado opuesto a un ángulo es el lado que no es parte del ángulo.

límite (convergencia)

A veces en matemáticas podemos observar que un valor de salida se acerca arbitrariamente y cada vez más a un valor específico. A este valor lo llamamos límite. En algunas ocasiones el valor de salida no superará este valor límite.

Ejemplo 1: Cuando $n$ se hace más grande, el valor de $n \cdot \sin (\frac{360 °}{2 n}) \cdot \cos (\frac{360 °}{2 n})$ se acerca arbitrariamente y cada vez más al valor de $π$ . Decimos que el límite es $π$ .

Ejemplo 2: Cuantos más lados tiene un polígono, más se acerca este a ser un círculo. El círculo es el límite de los polígonos.

Más formalmente: Un proceso de cálculos repetidos que se acerca a un valor único, llamado el límite.

longitud de arco

Es la longitud que tiene un arco de un círculo. Es parte de la circunferencia.

Ecuación para encontrar la longitud de arco:

$s = r θ$

En la ecuación, $r$ es el radio y $θ$ es el ángulo central en radianes.

M–R

media geométrica

Un tipo especial de promedio que se calcula multiplicando $n$ números y encontrando la raíz $n$ -ésima del producto que se obtiene. En el caso de dos números, la media geométrica es la raíz cuadrada del producto. Para tres números, es la raíz cúbica del producto.

Ejemplo: La media geométrica de $4$ y $9$ es $\sqrt{4 \cdot 9} = 6$ .

La media geométrica de dos números $a$ y $c$ es el número $b$ tal que $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ .

mediana de un triángulo

Un segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto en un triángulo.

mediatriz (o bisector perpendicular)

La recta (o segmento de recta o rayo) que divide un segmento de recta en dos longitudes iguales y forma un ángulo recto con ese segmento.

modelo matemático

Modelar con matemáticas es la práctica de darle sentido al mundo desde una perspectiva matemática. Un modelo matemático puede ser una ecuación, una gráfica, una función, un diagrama, una fórmula, un dibujo, un programa de computadora u otra representación que te ayude a analizar una situación o a hacer predicciones sobre un comportamiento.

módulo

El módulo del número complejo $a + b i$ es $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2} .}$ Es la distancia entre el origen $(0, 0)$ y el punto $(a, b)$ en el plano complejo.

La distancia entre dos números del plano complejo es el módulo de la diferencia de los dos números. La fórmula se parece mucho a la fórmula de distancia entre dos puntos.

Ejemplo: Dados dos números complejos

$a + b i$ y $c + d i$ , la distancia entre ellos es

$d = \sqrt{{(c - a)}^{2} + {(d - b)}^{2}}$

Distancia entre $1 + 3 i$ y $- 2 - 1 i$ :

$d = \sqrt{{(- 2 - 1)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$

mutuamente excluyentes

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. A los eventos mutuamente excluyentes también se les llama disjuntos. Si dos eventos son disjuntos, entonces la probabilidad de que ambos ocurran al mismo tiempo es 0.

notación de suma

número complejo

Un número complejo es un número que tiene una parte real y una parte imaginaria. Se puede escribir como $a + b i$ , en donde $a$ y $b$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria.

Cuando $a = 0$ , el número complejo $0 + b i$ es igual a $b i$ y se llama un número imaginario puro.

número imaginario

Ver número complejo.

par lineal

Dos ángulos suplementarios que comparten un vértice y un lado.

Un par lineal siempre genera una recta.

parábola

La gráfica de una ecuación que puede escribirse en la forma $y = A x^{2} + B x + C$ , en donde $A \neq 0$ . Una parábola se parece un poco a una U (o una U invertida), pero tiene una forma muy específica. En particular, la forma a la izquierda es exactamente la misma que a la derecha (es simétrica).

Se puede ver el siguiente patrón en la gráfica de la función básica

$y = x^{2}$ . Si se empieza en el vértice:

al moverse 1 paso hacia la derecha, se mueve $1^{2}$ o $1$ hacia arriba
al moverse 2 pasos hacia la derecha, se mueve $2^{2}$ o $4$ hacia arriba
al moverse 3 pasos hacia la derecha, se mueve $3^{2}$ o $9$ hacia arriba

parábola: definición como cónica, definición geométrica

Una parábola es el conjunto de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto llamado el foco y una recta llamada la directriz. La parábola no toca la directriz. La parábola tiene un eje de simetría perpendicular a la directriz.

pirámide

Una figura de tres dimensiones que tiene una base que es un polígono, y tres o más caras triangulares que se encuentran en un punto llamado el vértice (o vértice superior).

plano complejo

Un plano de coordenadas para representar números complejos. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario.

En el plano complejo se muestran los siguientes números complejos:

$2 + 2 i$ , $- 1 + 1 i$ , $- 2 - 1 i$ y $1 - 2 i$

polígono cíclico

Un polígono que se puede inscribir en un círculo. Todos los vértices del polígono están en el círculo.

polígono de n lados

Un polígono que tiene $n$ lados.

Ver polígono.

postulado

Una afirmación simple y útil en geometría que es aceptada como verdadera por la comunidad matemática, sin necesidad de demostración.

principio de Cavalieri

Si dos sólidos tienen la misma altura y las secciones transversales tienen la misma área en cada nivel, entonces los sólidos tienen el mismo volumen. Por eso, las fórmulas de volumen de prismas y cilindros son válidas para cilindros y prismas tanto rectos como oblicuos.

prisma: recto, oblicuo

Prisma: Un tipo de poliedro.

Un prisma es un objeto sólido que tiene dos lados planos idénticos y paralelos llamados bases. El nombre del prisma depende de la forma de las bases. Por ejemplo, prisma triangular o prisma cuadrado. Los lados de un prisma son paralelogramos.

probabilidad condicional

La probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ocurre.

La probabilidad condicional de un evento $B$ es la probabilidad de que el evento ocurra si ya sabemos que el evento $A$ ocurre. Esta probabilidad se escribe $P (B | A)$ y se lee así: la probabilidad de $B$ dado $A$ .

La probabilidad condicional nos dice qué tan posible es que ocurra un evento o resultado, basándose en la condición de que otro evento o resultado ocurre.

Notación: $P (B | A)$ La probabilidad de que $B$ ocurra si sabemos que $A$ ocurre.

Si $A$ y $B$ son independientes ( $A$ no afecta la probabilidad de $B$ ), entonces $P (B | A)$ es simplemente $P (B) .$

Si $A$ y $B$ no son independientes, entonces la probabilidad de la intersección de $A$ y $B$ (la probabilidad de que ambos eventos ocurran) se puede calcular así:

$P (A y B) = P (A) P (B | A)$

Por lo anterior, la probabilidad condicional $(B | A)$ se puede calcular si dividimos entre $P (A)$ :

$P (B | A) = \frac{P (A y B)}{P (A)}, suponiendo que P (A) > 0$

productos especiales de binomios

Algunos productos ocurren con mucha frecuencia en álgebra y por eso es útil reconocerlos a simple vista. Conocer estos productos es especialmente útil al factorizar. Cuando veas los productos de la derecha, piensa en los factores de la izquierda.

propiedad del cero de la multiplicación (también llamada propiedad de producto cero)

propiedades de la igualdad

Dos ecuaciones que están unidas por un signo igual ( $=$ ) se llaman ecuaciones equivalentes. Las propiedades de la igualdad describen operaciones que se pueden hacer en cada lado del signo igual ( $=$ ) de una ecuación verdadera y producen una nueva ecuación que es verdadera.

En la tabla, $a$ , $b$ y $c$ representan números cualesquiera en los sistemas de números racionales, reales o complejos. Las propiedades de la igualdad son válidas en estos sistemas numéricos.

Propiedad de reflexividad de la igualdad	$a = a$
Propiedad de simetría de la igualdad	Si $a = b$ , entonces $b = a$
Propiedad de transitividad de la igualdad	Si $a = b$ y $b = c$ , entonces $a = c$
Propiedad de la suma de la igualdad	Si $a = b$ , entonces $a + c = b + c$
Propiedad de la resta de la igualdad	Si $a = b$ , entonces $a - c = b - c$
Propiedad de la multiplicación de la igualdad	Si $a = b$ , entonces $a \times c = b \times c$
Propiedad de la división de la igualdad	Si $a = b$ y $c \neq 0$ , entonces $a \div c = b \div c$
Propiedad de sustitución de la igualdad	Si $a = b$ , entonces $b$ se puede reemplazar por $a$ en cualquier expresión en la que $b$ aparezca

proporción: ecuación de proporción

Una ecuación de proporción es una afirmación que indica que dos razones son iguales.

punto de concurrencia

Ver rectas concurrentes.

radián

Una unidad de medida de ángulos. 1 radián es la medida del ángulo formado en el centro de un círculo por un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.

En general, la medida de un ángulo en radianes es la razón entre la longitud del arco que corresponde al ángulo y el radio del círculo.

raíces: reales y complejas

Las soluciones de una ecuación de la forma $f (x) = 0$ .

razón

Una razón compara el tamaño o la cantidad de dos valores.

En esta oración se comparan manzanas con naranjas (ver el diagrama): “Tenemos cinco manzanas por cada tres naranjas”. En la oración se describe una razón de $5$ a $3$ o $5 : 3$ . Una razón también se puede escribir como una fracción, en este caso, $\frac{5}{3}$ .

Si se comparan naranjas con manzanas, la razón es $3 : 5$ o $\frac{3}{5}$ .

Las dos razones anteriores se llaman razones parte-parte. Otra forma de escribir una razón es comparar una parte con el todo.

Si se comparan la cantidad de manzanas con la cantidad total de frutas, la razón es $5 : 8$ o $\frac{5}{8}$ .

Los números que están en las razones se pueden ampliar o reducir. Hay $7$ bolsas de frutas, cada una con $3$ naranjas y $5$ manzanas. La razón $5$ a $3$ representa el número de manzanas en comparación con el número de naranjas. La razón $35$ a $21$ también representa el número de manzanas en comparación con el número de naranjas.

razón trigonométrica inversa

La inversa de una función trigonométrica se usa para obtener la medida de un ángulo cuando se conoce su razón trigonométrica.

Ejemplo: La inversa del seno es el arcoseno. En una calculadora aparece así: $\sin^{- 1}$ .

Si $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y queremos saber la medida del ángulo $A$ , escribimos la expresión $\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$ . El valor de esta expresión es la medida del ángulo $A$ .

$\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60 °$

Todas las funciones trigonométricas inversas se escriben con la misma notación.

$\sin^{- 1} (\frac{o}{h}) = A, \cos^{- 1} (\frac{a}{h}) = A, \tan^{- 1} (\frac{o}{a}) = A$

razonamiento: deductivo / inductivo

Dos tipos de razonamiento
Razonamiento inductivo: a partir de varias observaciones, se propone una conclusión general.	Razonamiento deductivo: a partir de una premisa general (algo que ya sabemos), se predicen resultados particulares.
Observaciones	Premisa general
Cuando dos rectas se intersecan, los ángulos opuestos son congruentes. He ensayado esto 20 veces y parece ser verdadero. Conclusión: Los ángulos opuestos formados por rectas que se intersecan siempre son congruentes.	Dado que: los ángulos 1, 2, 3 y 4 se forman a partir de dos rectas que se intersecan. Demostrar que: los ángulos opuestos que se forman por rectas que se intersecan siempre son congruentes.

Dos tipos de razonamiento

Razonamiento inductivo:

a partir de varias observaciones, se propone una conclusión general.

Razonamiento deductivo:

a partir de una premisa general (algo que ya sabemos), se predicen resultados particulares.

Observaciones

Premisa general

Cuando dos rectas se intersecan, los ángulos opuestos son congruentes. He ensayado esto 20 veces y parece ser verdadero.

Conclusión:

Los ángulos opuestos formados por rectas que se intersecan siempre son congruentes.

Dado que: los ángulos 1, 2, 3 y 4 se forman a partir de dos rectas que se intersecan.

Demostrar que: los ángulos opuestos que se forman por rectas que se intersecan siempre son congruentes.

razones trigonométricas en triángulos rectángulos: seno A, coseno A, tangente A

Una operación que relaciona la medida de un ángulo con una razón de las longitudes de los lados en un triángulo rectángulo. Hay tres razones trigonométricas y hay tres razones trigonométricas recíprocas. Ver sus definiciones en trigonométricas recíprocas.

$seno A$ , abreviada $\sin A$

$coseno A$ , abreviada $\cos A$

$tangente A$ , abreviada $\tan A$

Las razones trigonométricas se calculan con respecto a un ángulo de referencia.

En el triángulo rectángulo $A B C$ , las razones trigonométricas se definen así:

$\sin A = \frac{longitud del lado opuesto}{longitud de la hipotenusa} = \frac{a}{c}$

$\cos A = \frac{longitud del lado adyacente}{longitud de la hipotenusa} = \frac{b}{c}$

$\tan A = \frac{longitud del lado opuesto}{longitud del lado adyacente} = \frac{a}{b}$

Lo anterior se escribió en referencia al ángulo $A$ . Si usamos $B$ como el ángulo de referencia, entonces los lados opuesto y adyacente se intercambian.

recta de simetría

La recta vertical que divide una gráfica en dos mitades congruentes. A veces se llama eje de simetría.

La ecuación de la recta de simetría en un plano de coordenadas es siempre:

$x = el n \overset{´}{u} mero en el eje x por el que pasa la recta de simetr \overset{´}{ı} a$

recta secante (en un círculo), recta tangente

Recta secante: una recta que interseca un círculo en exactamente dos puntos.

Recta tangente: una recta que interseca un círculo en exactamente un punto.

recta transversal

Una recta que se cruza con dos rectas en dos puntos distintos. Las dos rectas no necesitan ser paralelas, pero cuando lo son, se forman varias relaciones especiales entre los ángulos.

rectas concurrentes

Decimos que dos o más rectas en un plano son concurrentes si todas se intersecan en el mismo punto. Las rectas $\overset{\leftrightarrow}{A B}$ , $\overset{\leftrightarrow}{C D}$ y $\overset{\leftrightarrow}{E F}$ son rectas concurrentes. Se intersecan en el punto $M$ .

El punto $M$ es el punto de concurrencia.

reflexión

Una reflexión es un tipo de transformación rígida (isometría). En una reflexión, los puntos de la preimagen y la imagen están a la misma distancia de una recta llamada la recta de reflexión. Los segmentos que unen los puntos correspondientes son perpendiculares a la recta de reflexión.

Al reflejar una figura, su orientación se invierte.

S–X

sector

La región de un círculo encerrada por dos radios y su arco intersecado.

Un sector de un círculo a veces tiene forma de tarta.

segmento de un círculo

Un segmento de un círculo es una región en un plano encerrada por un arco del círculo y por la cuerda que une los extremos del arco.

segmento medio de un triángulo

Un segmento medio de un triángulo es un segmento de recta que une los puntos medios de dos lados. Un triángulo tiene tres segmentos medios. En el diagrama, $\overset{―}{D E}$ es un segmento medio del triángulo $△ A B C$ .

semejanza

Dos figuras de dos dimensiones son semejantes si una se puede obtener a partir de la otra mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones.

semejanza de triángulos

Decimos que dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales. Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño.

Estos tres criterios de semejanza nos permiten concluir que dos triángulos son semejantes:

Semejanza AA

Semejanza LAL

Semejanza LLL

semejanza LAL de triángulos

Ver semejanza de triángulos.

semejanza LLL de triángulos

Ver semejanza de triángulos.

serie geométrica

La suma de los términos $f (n)$ de una sucesión geométrica: $\sum_{k = 1}^{n} f (k)$ .

Ejemplo: $\sum_{k = 1}^{4} 3^{k} = 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} = 120$

simetría

Una recta de simetría es una recta que refleja una figura sobre ella misma.

Cuando una figura se puede llevar a ella misma con una rotación, decimos que la figura tiene simetría de rotación.

simétrica

Si una figura puede doblarse o dividirse por la mitad de manera que las dos mitades coincidan exactamente, entonces la figura se llama una figura simétrica. El doblez es la recta de simetría.

subfunción

Ver función definida a trozos.

tabla de doble entrada

Una tabla que muestra los datos de dos variables categóricas. Los valores posibles de una variable son las filas y los valores posibles de la otra variable son las columnas. En las celdas verdes de esta tabla se ubican los números de frecuencias conjuntas. Se llaman frecuencias conjuntas porque se combina la información de la fila y de la columna. Los números de frecuencia marginal son los números en los extremos de la tabla. En esta tabla, los números de frecuencia marginal están en las celdas moradas.

teorema

Un teorema es una afirmación verdadera que se puede demostrar usando definiciones, postulados, propiedades y otros teoremas ya demostrados.

El proceso de razonamiento para demostrar que un teorema es verdadero se llama una demostración.

teorema de proporción de segmentos

El teorema de proporción de segmentos dice que si una recta interseca dos lados de un triángulo y es paralela al tercer lado del triángulo, entonces la recta divide esos dos lados en la misma proporción. Este teorema es una generalización del teorema del segmento medio de un triángulo.

teorema de semejanza AA

Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos correspondientes son congruentes.

teorema del ángulo externo

La medida de un ángulo externo en un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes.

teorema del segmento medio de un triángulo

El teorema del segmento medio de un triángulo dice que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado.

teorema fundamental del álgebra

Una función polinomial de grado $n$ tiene $n$ raíces. Algunas de estas pueden ser números complejos.

teselación

Una teselación es un patrón regular formado por figuras planas que se repiten y se unen sin espacios ni sobreposiciones. Varios polígonos regulares sirven para crear teselaciones porque encajan sin dejar espacios.

transformaciones de una función (no rígidas)

Una dilatación (vertical) de una función $f (x)$ , dada por $k f (x)$ , es una transformación no rígida pues la forma de la gráfica cambia. La función $k f (x)$ cambia más rápidamente o más lentamente que $f (x)$ dependiendo del valor de $k$ . Si $k > 1$ , crece más rápido y la gráfica se estira. Si $0 < k < 1$ , la función crece más lentamente y la gráfica se comprime verticalmente. Una dilatación vertical también se llama ampliación vertical.

transformaciones de una función (rígidas)

Una transformación rígida de una función consiste en un desplazamiento hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, o una reflexión vertical u horizontal de la gráfica de la función.

Desplazamiento vertical

$f (x) + k$

Hacia arriba cuando $k > 0$

Hacia abajo cuando $k < 0$

Desplazamiento horizontal

$f (x + k)$

Hacia la izquierda cuando $k > 0$

Hacia la derecha cuando $k < 0$

Reflexión

$- f (x)$ : reflexión con respecto al eje $x$

$f (- x)$ : reflexión con respecto al eje $y$

Una dilatación (vertical) es una transformación no rígida dada por $k f (x)$ , que hace que la función crezca más rápidamente o más lentamente dependiendo del valor de $k$ . Si $k > 1$ , crece más rápidamente y la gráfica se estira. Si $0 < k < 1$ , la función crece más lentamente y la gráfica se comprime verticalmente.

trinomio

Un polinomio que tiene tres términos.

unión

La unión de dos conjuntos $A$ , $B$ , es el conjunto que contiene todos los elementos que están en $A$ o en $B$ (o posiblemente en ambos). El símbolo de la unión es $\cup$ .

Por ejemplo, ${5, 8, 11} \cup {6, 7, 9, 10} = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}$ .

valor absoluto

El valor absoluto de un número es su distancia al cero en la recta numérica.

El valor absoluto de $a$ se escribe así: $| a |$ .

Recuerda que una distancia es siempre positiva o cero.

El diagrama muestra que $| 2 | = + 2$ y $| - 2 | = + 2$ .

vértice

Ver ángulo.

vértice de una parábola

El punto máximo o mínimo de la parábola.

A–F

G–L

M–R

S–X

Y–Z