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Lección 2Puntos en la recta numérica

Grafiquemos números positivos y negativos en la recta numérica.

Metas de aprendizaje:

  • Entiendo qué significa que unos números sean opuestos.
  • Puedo hallar o aproximar el valor de cualquier punto sobre una recta numérica.
  • Puedo representar números negativos sobre una recta numérica.

2.1 Un punto en la recta numérica

¿Cuáles de los siguientes números podría ser  B ?

2.5

\frac25

\frac{5}{2}

\frac{25}{10}

2.49

2.2 ¿Cuál es la temperatura?

  1. Estos son cinco termómetros. Los primeros cuatro termómetros muestran las temperaturas en grados Celsius. Escribe las temperaturas en los espacios en blanco. 

    Five vertical thermometers are labeled a, b, c, d, and e. Thermometer a has the numbers negative 4 to 5 indicated. The number 4 is on the bottom and 5 is on the top. The thermometer is shaded from the bottom of the thermometer to 1. Thermometer b has the numbers negative 4 to 5 indictaed. The number 4 is on the bottom and 5 is on the top. The thermometer is shaded from the bottom of the thermometer to negative 2. Thermometer c has the numbers negative 4 to 5 indicated. The number 4 is on the bottom and 5 is on the top. The thermometer is shaded from the bottom of the thermometer to halfway between 3 and 4. Thermometer d has the numbers negative 4 to 5 indicated. The number 4 is on the bottom and 5 is on the top. The thermometer is shaded from the bottom of the thermometer to halfway between negative 1 and zero. Thermometer e has the numbers negative 20, negative 5, 10, and 25 indicated. There are 2 evenly spaced tick marks with missing labels between negative 20 and negative 5, between negative 5 and 10, and between 10 and 25. The thermometer is shaded from the bottom of the thermometer to negative 20.

    Al último termómetro le hacen falta algunos números. Escríbelos en las cajas.
  1. Elena dice que el termómetro que se muestra aquí indica \text-2.5^\circ \text{C} porque la línea del líquido está por encima de  \text-2^\circ \text{C} . Jada dice que indica \text-1.5^\circ \text{C} . ¿Estás de acuerdo con alguna de ellas? Explica tu razonamiento.
  2. Una mañana en Phoenix, Arizona, la temperatura era 8^\circ \text{C} y la temperatura en Portland, Maine, era  12^\circ \text{C} más fría. ¿Cuál era la temperatura en Portland?
A thermometer is labeled from negative 4 through 5 with negative at the bottom of the thermometer. There are tick marks halfway between each integer. The thermometer is shaded from the bottom of the thermometer to the tick mark between negative 2 and negative 1.

2.3 Rectas numéricas doblables

Tu profesor te dará una hoja de papel de calcar para dibujar sobre ella una recta numérica. 

  1. Sigue los siguientes pasos para hacer tu propia recta numérica.

    • Usa una regla para dibujar una recta horizontal. Señala la mitad de la recta y etiquétala 0.
    • Dibuja marcas a la derecha del 0 que estén separadas por 1 centímetro. Etiqueta las marcas 1, 2, 3. . . 10. Esto representa el lado positivo de tu recta numérica.
    • Dobla tu papel de tal forma que un doblez vertical pase por el 0 y que los dos lados de la recta numérica coincidan perfectamente.
    • Usa el doblez para ayudarte a calcar las marcas que ya dibujaste en el lado opuesto de la recta numérica. Desdobla y etiqueta las marcas -1, -2, -3. . . -10. Esto representa el lado negativo de tu recta numérica.

  2. Usa tu recta numérica para contestar estas preguntas:

    1. ¿Cuál número está a la misma distancia de cero que el número 4?
    1. ¿Cuál número está a la misma distancia de cero que el número -7?
    1. Dos números que están a la misma distancia del cero en la recta numérica se llaman opuestos. Encuentra otro par de opuestos en la recta numérica.
    2. Determina qué tan lejos está el número 5 de 0. Después elige un numero positivo y un número negativo que estén más lejos del 0 que el número 5.
    3. Determina qué tan lejos está el número -2 de 0. Después elige un numero positivo y un número negativo que estén más lejos del 0 que el número -2.

    Haz una pausa para que tu profesor pueda revisar tu trabajo.

  3. Esta es una recta numérica con algunos puntos etiquetados con letras. Determina la ubicación de los puntos P , X y  Y .

    Three points labeled P, X, and Y on a number line. The number 0 is located on the middle of the number line. To the right of 0, the numbers 1 through 10 are indicated on 10 evenly spaced tick marks. To the left of 0, points P, X and Y are plotted. When the number line is folded at 0, point P aligns with 2, point X is halfway between 4 and 5, and point Y is halfway between 7 and 8.

    Si te bloqueas, calca la recta numérica y los puntos sobre una hoja de papel de calcar, dóblalo de tal forma que el doblez vertical pase por 0 y usa la recta numérica doblada para ayudarte a encontrar los valores desconocidos.

¿Estás listo para más?

Al mediodía, las temperaturas en Portland, Maine, y Phoenix, Arizona, tenían valores opuestos. La temperatura en Portland era  18^\circ \text{C} menos que en Phoenix. ¿Cuál era la temperatura en cada ciudad? Explica tu razonamiento.

Resumen de la lección 2

Esta es una recta numérica etiquetada con números positivos y negativos. El número 4 es positivo, así que su ubicación es 4 unidades a la derecha del 0 en la recta numérica. El número -1.1 es negativo así que su ubicación es 1.1 unidades a la izquierda del 0 en la recta numérica. 

A number line with 11 evenly spaced tick marks, the numbers negative 5 through 5 indicated.

Decimos que el opuesto de 8.3 es -8.3 y el opuesto de  \frac {\text{-}3}{2} es \frac32 . Cualquier par de números que estén ubicados a la misma distancia del 0 se llaman opuestos.

Los puntos A y  B son opuestos porque ambos están a 2.5 unidades del 0, aunque  A está a la izquierda del 0 y  B está a la derecha del 0.

Three points A, B, and C plotted on a number line with the numbers negative 5 through 5 indicated. Point A is halfway between negative 3 and negative 2. Point B is halfway between 2 and 3. Point C is halfway between 4 and 5.

Un número positivo tiene por opuesto un número negativo. Un número negativo tiene por opuesto un número positivo. El opuesto de 0 es 0.

Has trabajado con números positivos durante muchos años. Todos los números positivos que has visto, número enteros y no enteros, se pueden pensar como fracciones y se pueden ubicar en una recta numérica.

Para ubicar un número no entero en una recta numérica podemos dividir la distancia entre dos números enteros en partes fraccionarias y después contar el número de partes. Por ejemplo, 2.7 se puede escribir como  2 \frac {7}{10} . El segmento entre 2 y 3 se puede dividir en 10 partes iguales o 10 décimas. Desde 2, podemos contar 7 de las décimas para ubicar 2.7 en la recta numérica.

Todas las fracciones y sus opuestos son lo que llamamos números racionales. Por ejemplo, 4, -1.1, 8.3, -8.3, \frac {\text{-}3}{2} y  \frac32 son todos números racionales.

Términos del glosario

número racional

Un número racional es una fracción o el opuesto de una fracción.

Por ejemplo, 8 y -8 son números racionales porque se pueden escribir como   \frac81  y  \text-\frac81 .

Los números 0.75 y -0.75 también son números racionales porque se pueden escribir como   \frac{75}{100}  y  \text-\frac{75}{100} .

opuestos

Dos números son opuestos si al ubicarlos sobre la recta numérica están a lados opuestos del 0 pero a la misma distancia del 0.

Por ejemplo, 4 es el opuesto de -4 y -4 es el opuesto de 4. Ambos están a la misma distancia de 0. Uno de ellos es negativo y el otro es positivo.

Problemas de práctica de la lección 2

  1. Escribe el opuesto de cada número.

    1. -5
    2. 28
    3. -10.4
    1. 0.875
    2. 0
    3. -8,003

  2. Grafica los números -1.5, \frac{3}{2} , \text-\frac{3}{2} y \text-\frac{4}{3} en la recta numérica. Etiqueta cada punto con su valor numérico.

    A number line with 5 evenly spaced tick marks. The numbers negative 2 through 2 are indicated.

  3. Grafica los siguientes puntos en la recta numérica.

    • -1.5
    • el opuesto de -2
    • el opuesto de 0.5
    • -2
    1. Representa cada una de estas temperaturas en grados Fahrenheit con un número positivo o negativo.
      1. 5 grados sobre cero
      2. 3 grados bajo cero
      3. 6 grados sobre cero
      4. 2\frac34 grados bajo cero
    2. Ordena las temperaturas anteriores de la más fría a la más caliente.

  5. Resuelve estas ecuaciones:

    1. 8x = \frac{2}{3}
    2. 1\frac{1}{2}=2x
    3. 5x = \frac{2}{7}
    4. \frac{1}{4}x = 5
    5. \frac{1}{5}=\frac{2}{3}x

  6. Escribe la solución de cada ecuación como una fracción y como un decimal.

    1. 2x = 3
    2. 5y = 3
    3. 0.3z = 0.009

  7. Hay 15.24 centímetros en 6 pulgadas.

    1. ¿Cuántos centímetros hay en 1 pie?

    2. ¿Cuántos centímetros hay en 1 yarda?