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Lección 9Multipliquemos números racionales

Multipliquemos números con signo.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar qué significa que el tiempo se represente con un número negativo en una situación sobre rapidez y dirección.
  • Puedo multiplicar dos números negativos.

9.1 Antes y después

¿Dónde estaba la joven...

  1. ...5 segundos después de tomarse esta foto? Marca su ubicación aproximada en la foto.
  2. ...5 segundos antes de tomarse esta foto? Marca su ubicación aproximada en la foto.

9.2 Devolverse en el tiempo

Una ingeniera de seguridad vial estaba estudiando patrones de desplazamiento en una autopista. Configuró una cámara y grabó la rapidez y dirección de los automóviles y camiones que pasaban frente a la cámara. Las posiciones al este de la cámara son positivas y al oeste son negativas.

  1. Estas son algunas posiciones y tiempos para un automóvil:

    posición (pies) -180 -120 -60 0 60  120
    tiempo (segundos) -3 -2 -1 0 1 2
    1. ¿En cuál dirección está viajando este automóvil?
    2. ¿Cuál es su velocidad?

    1. ¿Qué significa cuando el tiempo es cero?

    2. ¿Qué puede significar tener un tiempo negativo?

  3. Estas son las posiciones y tiempos para otro automóvil cuya velocidad es -50 pies por segundo:

    posición (pies) 0 -50 -100
    tiempo (segundos) -3 -2 -1 0 1 2
    1. Completa la tabla con el resto de las posiciones.
    2. ¿En qué dirección está viajando este automóvil? Explica cómo lo sabes.

  4. Completa la tabla para varios automóviles que pasan por la cámara.

    velocidad
    (metros por
    segundo)    		 tiempo después
    de pasar por
    la cámara
    (segundos)    		 posición
    final
    (metros)    		 ecuación
    automóvil C +25 +10 +250 25\boldcdot 10 = 250
    automóvil D -20 +30
    automóvil E +32 -40
    automóvil F -35 -20
    automóvil G -15 -8
    1. Si un automóvil está viajando al este, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase por la cámara?
    2. Si multiplicamos un número positivo y un número negativo, ¿el resultado es positivo o negativo?
    1. Si un automóvil está viajando al oeste, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase por la cámara?
    2. Si multiplicamos dos números negativos, ¿el resultado es positivo o negativo?

9.3 A velocidad de crucero

Alrededor del mediodía, un automóvil estaba viajando por una carretera a -32 metros por segundo. Exactamente al mediodía (cuando el tiempo era 0), la posición del automóvil era 0 metros.

  1. Completa la tabla.

    tiempo (s) -10  -7  -4  -1  2  5  8  11 
    posición (m)
  2. Grafica la relación entre el tiempo y la posición del automóvil.
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    1. ¿Cuál era la posición del automóvil a los -3 segundos?
    2. ¿Cuál era la posición del automóvil a los 6.5 segundos?

¿Estás listo para más?

Halla el valor de estas expresiones sin usar una calculadora.

(\text-1)^2

(\text-1)^3

(\text-1)^4

(\text-1)^{99}

9.4 Cuadrícula de multiplicación de números racionales

Observa los patrones a lo largo de las filas y columnas, y continúa esos patrones para completar la tabla. Cuando hayas llenado todas las casillas que puedas ver, haz clic sobre el botón "Más casillas".

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¿Qué te dice esto sobre la multiplicación por un número negativo?

Resumen de la lección 9

Podemos usar números con signo para representar tiempos en relación a un punto escogido en el tiempo. Podemos pensar en esto como cuando iniciamos un cronómetro: los tiempos positivos están después de iniciar el cronómetro y los tiempos negativos son tiempos antes de iniciar el cronómetro.

Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces en los tiempos después de eso (tiempos positivos), el automóvil tendrá una posición positiva. Un positivo multiplicado por un positivo es positivo.

Si un automóvil está en posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces en los tiempos después de eso (tiempos positivos), el automóvil tendrá una posición negativa. Un negativo multiplicado por un positivo es negativo.

Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces en los tiempos antes de eso (tiempos negativos), el automóvil debe haber tenido una posición negativa. Un positivo multiplicado por un negativo es negativo.

Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces en los tiempos antes de eso (tiempos negativos), el automóvil debe haber tenido una posición positiva. Un negativo multiplicado por un negativo es positivo.

Esta es otra manera de verlo:

Podemos pensar en 3\boldcdot 5 como 5 + 5 + 5 , que tiene un valor de 15 .

Podemos pensar en 3\boldcdot (\text-5) como (\text-5) + (\text-5) + (\text-5) , lo que tiene un valor de \text-15 .

Se pueden multiplicar números en cualquier orden: 3\boldcdot  5=5\boldcdot  3

Si podemos multiplicar números con signo en cualquier orden, entonces \text-5\boldcdot 3 = \text-15 .

Podemos calcular \text-5\boldcdot (3+(\text-3)) de dos maneras:

  • \text-5\boldcdot 0 = 0
  • \text-5\boldcdot  3 + (\text-5)\boldcdot  (\text-3) (esta es la propiedad distributiva)

Esto quiere decir que:

\text-5\boldcdot  3 + (\text-5)\boldcdot (\text-3) = 0

Esto es lo mismo que:

\text-15 + (\text-5)\boldcdot  (\text-3) = 0

Así que:

\text-5\boldcdot  (\text-3) = 15

Estos números específicos no tenían nada de especial. ¡Esto siempre funciona!

  • Un positivo multiplicado por un positivo siempre es positivo.
  • Un negativo multiplicado por un positivo o un positivo multiplicado por un negativo siempre es negativo.
  • Un negativo multiplicado por un negativo siempre es positivo.

Problemas de práctica de la lección 9

  1. Completa los números que faltan en estas ecuaciones:

    1. (\text-2) \boldcdot (\text-4.5) = {?}
    2. (\text-8.7) \boldcdot (\text-10) = {?}
    3. (\text-7) \boldcdot {?} = 14
    4. {?} \boldcdot (\text-10) = 90

  2. Una estación meteorológica en la cima de una montaña reporta que la temperatura actual es  0^\circ\text{C} y que viene disminuyendo a una tasa constante de  3^\circ\text{C} por cada hora. Halla cada temperatura. Explica o muestra tu razonamiento.

    1. Si la temperatura continúa cayendo a esta tasa, halla la temperatura en:

      1. 2 horas
      2. 5 horas
      3. media hora

    1. Encuentra cuál era la temperatura:

      1. hace 1 hora
      2. hace 3 horas
      3. hace 4.5 horas

  3. Halla el valor de cada expresión.

    1. \frac14 \boldcdot (\text-12)
    2. (\text{-}\frac {1}{3}) \boldcdot 39
    3. (\text{-}\frac {4}{5}) \boldcdot (\text-75)
    4. (\text{-}\frac {2}{5}) \boldcdot (\text{-}\frac {3}{4})
    5. \frac83 \boldcdot (\text-42)

  4. Para preparar un determinado tinte para el cabello, un estilista utiliza una razón de  1\frac18 oz de tono rojo, \frac 34 oz de tono gris y  \frac58 oz de tono marrón.

    1. Si el estilista necesita preparar 20 oz de tinte ¿cuánto de cada color de tinte necesita?

    2. Si el estilista necesita preparar 100 oz de tinte ¿cuánto de cada color de tinte necesita?

    1. Estos son los vértices del rectángulo FROG : (\text-2,5), (\text-2,1), (6,5), (6,1) . Encuentra el perímetro de este rectángulo. Si tienes dificultades, intenta graficar los puntos en un plano de coordenadas.
    2. Encuentra el área del rectángulo  FROG .
    3. Estas son las coordenadas del rectángulo PLAY : (\text-11, 20), (\text-11, \text-3), (\text-1, 20), (\text-1, \text-3) . Encuentra el perímetro y el área de este rectángulo. Intenta, si puedes, averiguar las longitudes de sus lados sin graficar los puntos.