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Lección 3Dilataciones sin cuadrícula

Dilatemos figuras que no están sobre cuadrículas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo aplicar una dilatación a un polígono usando una regla.

3.1 Puntos sobre un rayo

  1. Encuentra y etiqueta un punto  C sobre el rayo cuya distancia desde  A sea el doble de la distancia de B a  A .
  2. Encuentra y etiqueta un punto  D sobre el rayo cuya distancia desde A sea la mitad de la distancia de B a  A . 

3.2 Carrera de obstáculos de dilatación

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  1. Dilata  B usando un factor de escala 5 y A como centro de dilatación. ¿Cuál punto es su imagen?

  2. Usando H como centro de dilatación, dilata G para que su imagen sea E . ¿Qué factor de escala usaste?

  3. Usando H como centro de dilatación, dilata E para que su imagen sea G . ¿Qué factor de escala usaste?

  4. Para dilatar F de forma que su imagen sea B , ¿cuál punto del diagrama se puede usar como centro? 

  5. Dilata  H usando  A  como centro de dilatación y un factor de escala  \frac{1}{3} . ¿Cuál punto es su imagen?

  6. Describe una dilatación que use uno de los puntos etiquetados como centro y que lleve F a  H .

  7. Usando B como centro de dilatación, dilata H para que sea su propia imagen. ¿Qué factor de escala usaste?

3.3 Poner en perspectiva

Sigue las instrucciones para realizar las dilataciones en el applet.  

  1. Dilata P usando C como centro y un factor de escala 4.
    1. Elige la herramienta Dilatar desde un punto.
    2. Haz clic sobre el objeto que vas a dilatar y luego haz clic sobre el centro de dilatación. 
    3. Cuando se abra la ventana de diálogo, escribe el factor de escala. Las fracciones se pueden escribir con texto simple, p. ej. 1/2.
    4. Haz clic en
        
    5. Usa la herramienta Rayo y la herramienta Distancia para verificar.
  1. Dilata  Q usando  C como centro y un factor de escala  \frac12 .
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  1. Dibuja un polígono simple. Elige un punto que no esté sobre el polígono para usar como centro de dilatación. Etiquétalo.
    1. Usando tu punto de centro y el factor de escala que te dé tu profesor, dibuja la imagen al realizar la dilatación de cada vértice del triángulo, uno a la vez. Une los vértices dilatados para crear el rectángulo dilatado.
    2. Dibuja segmentos que unan cada uno de los vértices originales con su imagen. ¡Esto hará que tu diagrama se vea como un dibujo genial de una caja tridimensional! Si queda tiempo, puedes sombrear los lados de la caja para que se vea más realista.
    3. Compara tu dibujo con el de otras personas. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? ¿Cómo afectan las decisiones que tomaste el dibujo final? ¿Tu polígono dilatado quedó más cerca o más lejos de C que el rectángulo original?, ¿de qué depende eso?
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¿Estás listo para más?

Este es el segmento de recta  DE y su imagen D’E’ al realizar una dilatación.

  1. Usa una regla para encontrar y dibujar el centro de dilatación. Etiquétalo  F .
  2. ¿Cuál es el factor de escala de la dilatación?

Resumen de la lección 3

Si A es el centro de dilatación, ¿cómo podemos averiguar cuál punto es la dilatación de  B con factor de escala 2?

Como el factor de escala es mayor que 1, el punto debe estar más lejos de A que lo que está B , por lo que  C es el punto que buscamos. Si medimos la distancia entre  A y  C , encontraríamos que es exactamente el doble de la distancia entre A y  B .

Una dilatación con factor de escala menor que 1 acerca los puntos. El punto D es la dilatación de  B con centro A y factor de escala \frac{1}{3} .

Problemas de práctica de la lección 3

  1. El segmento AB mide 3 cm. El punto O es el centro de dilatación. ¿Qué tan larga es la imagen de AB luego de una dilatación con . . . 

    1. factor de escala 5?
    2. factor de escala 3.7?
    3. factor de escala \frac 1 5 ?
    4. factor de escala s ?

  2. Estos son los puntos  A y  B . Marca los puntos para cada dilatación que se describe.

    1. C es la imagen de B al usar A como centro de dilatación y factor de escala 2.
    2. D es la imagen de A al usar B como centro de dilatación y factor de escala 2.
    3. E es la imagen de B al usar A como centro de dilatación y factor de escala \frac 1 2 .
    4. F es la imagen de A al usar B como centro de dilatación y factor de escala \frac 1 2 .
  3. Haz un dibujo con perspectiva. Incluye el centro de dilatación, la figura que dilates y el factor de escala que uses.

  4. El triángulo ABC es una copia a escala del triángulo DEF . El lado AB mide 12 cm y es el lado más largo del triángulo  ABC . El lado  DE mide 8 cm y es el lado más largo del triángulo  DEF .

    1. ¿Con qué factor de escala es el triángulo ABC una copia a escala del triángulo DEF ?
    2. ¿Con qué factor de escala es el triángulo DEF una copia a escala del triángulo ABC ?

  5. El diagrama muestra dos rectas que se intersecan.

    Determina las medidas de los ángulos que faltan.

    1. Muestra que los dos triángulos son congruentes.
    2. Determina las longitudes de los lados de DEF y las medidas de los ángulos de  ABC .