Lección 12 Solucionemos sistemas usando matrices Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Usar un procedimiento estándar para la reducción de matrices por filas.

¿Cómo puedo organizar mi trabajo para que la reducción de una matriz por filas sea más eficiente?

¿Por qué es útil obtener 1 en la diagonal?

¿Por qué quiero obtener 0 en las posiciones de cada columna que no están en la diagonal, antes de trabajar para obtener un 1 en la siguiente columna?

Aunque no es uno de los pasos “oficiales” de la reducción por filas, ¿por qué puede ser útil intercambiar filas de la matriz?

Indicaciones de uso de tecnología para la lección de hoy:

Resolver ecuaciones con el modo matriz: Casio fx-9750GIII

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la lección “De compras con matrices” desarrollaste una estrategia para solucionar sistemas de ecuaciones lineales usando matrices. Una manera eficiente y consistente de realizar esta estrategia se puede resumir así:

Para reducir una matriz:

Realiza operaciones elementales de filas para obtener $1$ en la primera fila de la primera columna.
Obtén $0$ en todas las otras filas de la primera columna. Para esto, multiplica la primera fila por distintas constantes, de manera que al sumarla a las otras filas de la matriz obtengas $0$ en la primera columna.
Realiza operaciones elementales de filas para obtener $1$ en la segunda fila de la segunda columna.
Obtén $0$ en todas las otras filas de la segunda columna. Para esto, multiplica la segunda fila por distintas constantes, de manera que al sumarla a las otras filas de la matriz obtengas $0$ en la segunda columna.
Realiza operaciones elementales de filas para obtener $1$ en la tercera fila de la tercera columna.
Obtén $0$ en todas las otras filas de la tercera columna. Para esto, multiplica la tercera fila por distintas constantes, de manera que al sumarla a las otras filas de la matriz obtengas $0$ en la tercera columna.
Continúa este proceso hasta que las primeras $m \times m$ entradas formen una matriz cuadrada que tiene $1$ en la diagonal y $0$ en cualquier otra parte.

Practica esta estrategia creando una secuencia de matrices para cada uno de los siguientes problemas. La secuencia debe empezar con la matriz dada y terminar con la parte izquierda de la matriz (las primeras $m \times m$ entradas) en forma reducida por filas. Escribe una descripción de lo que hiciste para ir de una matriz a otra en cada paso de tu secuencia de matrices.

1.

$[\begin{matrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & - 2 \end{matrix}]$

2.

$[\begin{matrix} 4 & - 2 & 2 \\ 1 & 3 & 11 \end{matrix}]$

3.

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 6 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 4 & 4 & 2 & 10 \end{matrix}]$

4.

Cada una de las anteriores matrices representa un sistema de ecuaciones. Para cada problema, escribe un sistema de ecuaciones que se pueda representar con la matriz original. Después determina la solución de cada sistema usando la matriz escalonada reducida por filas que obtuviste. Finalmente, verifica tus soluciones en el sistema original.

5.

Crea una matriz que represente el sistema de ecuaciones que se describe en el siguiente escenario. Luego soluciona el sistema de ecuaciones cambiando la matriz a forma escalonada reducida por filas.

Tres de los amigos de Carlos y Clarita compran útiles escolares en la papelería. Stan compra $1$ cuaderno, $3$ paquetes de lápices y $2$ marcadores por $$ 7.50$ . Jan compra $2$ cuadernos, $6$ paquetes de lápices y $5$ marcadores por $$ 15.50$ . Fran compra $1$ cuaderno, $2$ paquetes de lápices y $2$ marcadores por $$ 6.25$ . ¿Cuánto cuesta cada uno de estos $3$ artículos?

6.

Crea un sistema lineal que sea dependiente (ambas ecuaciones del sistema representan la misma recta) o inconsistente (las ecuaciones del sistema representan rectas que no se intersecan). ¿Qué ocurre cuando intentas reducir por filas la matriz $2 \times 3$ que representa este sistema de ecuaciones lineales?

¿Listo para más?

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se solucionó reduciendo por filas una matriz. Los pasos de la reducción por filas se realizaron en el siguiente orden, hasta que se obtuvo la matriz que se muestra al lado derecho.

$\begin{matrix} - 2 R_{1} + R_{2} \to R_{2} \\ - 4 R_{1} + R_{3} \to R_{3} \\ \begin{matrix} - \frac{1}{2} R_{2} \to R_{2} \\ 4 R_{2} + R_{3} \to R_{3} \\ \begin{matrix} \frac{1}{2} R_{3} \to R_{3} \\ - 2 R_{3} + R_{2} \to R_{2} \\ 2 R_{3} + R_{1} \to R_{1} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} ⟹ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]$

La matriz de la derecha muestra las soluciones de un sistema de ecuaciones. Encuentra el sistema original de ecuaciones y su matriz asociada.

Aprendizajes

El procedimiento estándar para la reducción de matrices por filas se puede explicar con mis respuestas a estas preguntas:

¿Por qué es útil obtener $1$ en la diagonal?

¿Por qué quiero obtener $0$ en las posiciones de cada columna que no están en la diagonal, antes de trabajar para obtener un $1$ en la siguiente columna?

Aunque no es uno de los pasos “oficiales” de la reducción por filas, ¿por qué puede ser útil intercambiar las filas de la matriz?

Notación, convenciones y vocabulario

Las operaciones elementales de filas que podemos realizar cuando reducimos una matriz por filas se pueden escribir con símbolos en lugar de describirlas con palabras. Cada una de las siguientes instrucciones simbólicas representa una operación elemental de filas. Exprésala en palabras.

$3 R_{2} ⟶ R_{2}$

$R_{1} ⟷ R_{2}$

$3 R_{1} + R_{2} ⟶ R_{2}$

Vocabulario

forma escalonada reducida por filas
operaciones elementales de filas
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección analizamos un procedimiento estándar para la reducción de matrices por filas. Con el procedimiento ya no tenemos que adivinar qué hacer sobre la marcha al solucionar un sistema de ecuaciones usando matrices, pero todavía podemos darle sentido a lo que hacemos y pensar estratégicamente. También aprendimos notación para registrar nuestros pasos en el proceso de solución, en vez de tener que describir con palabras cómo obtuvimos una matriz a partir de la anterior.

Repaso

Crea una matriz aumentada que se ajuste a los sistemas de ecuaciones dados.

1.

${\begin{cases} 5 x - 12 y = 60 \\ - 2 x + 4 = - 12 \end{cases}$

2.

${\begin{cases} - 7 x + 3 y = 8 \\ 3 x + 2 y = 6 \end{cases}$

Teniendo en cuenta el sistema de ecuaciones dado, determina cuál método de solución usarías y por qué crees que sería el método más eficiente.

3.

${\begin{cases} 6 x - 4 y = 12 \\ 2 x + 4 y = 8 \end{cases}$

4.

${\begin{cases} x = - 3 y + 4 \\ 3 x + 5 y = 9 \end{cases}$

5.

${\begin{cases} y = - 3 x + 9 \\ y = 4 x - 10 \end{cases}$

6.

${\begin{cases} x - 7 y = 2 \\ 2 x + y = 5 \end{cases}$