Lección 11 Si todo sigue igual Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Solucionar ecuaciones cuadráticas usando gráficas y álgebra.

Asociar la resolución de ecuaciones cuadráticas con las gráficas de las funciones cuadráticas.

¿Cómo podemos usar gráficas para solucionar ecuaciones cuadráticas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Hemos aprendido que las funciones cuadráticas pueden ser modelos muy útiles para varias situaciones reales. Se usan en la comprensión del movimiento de los objetos, en modelos de negocios y economía, y en muchas otras aplicaciones. A menudo, usar funciones cuadráticas requiere solucionar una ecuación cuadrática. Esto puede ser un proceso muy simple, pero también puede ser un poco complicado. La buena noticia es que sabemos mucho sobre las funciones cuadráticas y podemos usar lo que sabemos para solucionar ecuaciones. ¡Empecemos!

1.

Si te dan la ecuación cuadrática $x^{2} = 9$ , ¿cómo la solucionarías? ¿Qué solución o soluciones obtendrías?

2.

Grafica la función: $f (x) = x^{2}$ .

a.

b.

¿ $f (x) = 9$ para qué valores de $x$ ? ¿Cómo encontraste los valores? ¿En qué se parecen a las soluciones de la ecuación?

3.

Dada la ecuación ${(x - 1)}^{2} = 4$ :

a.

Soluciona la ecuación algebraicamente.

b.

Grafica la función $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ y marca los puntos donde $f (x) = 4$ .

4.

Dada la ecuación: $- x^{2} - 6 x - 7 = 1$

a.

Grafica la función $f (x) = - x^{2} - 6 x - 7$ y encuentra los valores de $x$ dónde $f (x) = 1$ . (Para ser eficiente, usa tecnología y dibuja tu gráfica aquí. Marca los puntos de las soluciones).

b.

Soluciona la ecuación algebraicamente.

No te sientas mal si no pudiste solucionar la ecuación algebraicamente. Esta es una de esas ecuaciones complicadas que no se puede solucionar directamente usando operaciones inversas. Como sabemos que la gráfica de una ecuación es el conjunto de todas sus soluciones, podemos resolver cualquier ecuación cuadrática usando tecnología. Vamos a usar lo que ya sabemos sobre la gráfica de una función cuadrática y su simetría para desarrollar otras técnicas algebraicas que nos permitan solucionar ecuaciones cuadráticas.

Empecemos con algo que conocemos.

5.

Si te dan la función $f (x) = (x - 4) (x + 3)$ , y te piden encontrar las intersecciones con el eje $x$ , ¿qué ecuación cuadrática vas a solucionar?

6.

¿Cómo puedes usar esta información para solucionar: $x^{2} - x - 12 = 0$ ?

7.

Ahora, inténtalo con estas ecuaciones. Soluciona cada ecuación cuadrática usando factorización.

a.

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$

b.

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

c.

$2 x^{2} + 8 x - 42 = 0$

Cuando estábamos haciendo gráficas, vimos que en unas funciones es más fácil factorizar y que en otras es más fácil completar el cuadrado. Empecemos con una que ya está lista para que podamos ver algunas relaciones.

8.

Piensa en la función $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 4$ , también en la ecuación $0 = {(x - 1)}^{2} - 4$ .

a.

Grafica la función:

b.

Recta de simetría:

c.

Vértice:

d.

¿Cuáles son las intersecciones de $f (x)$ con el eje $x$ ?

e.

¿A qué distancia de la recta de simetría están las intersecciones con el eje $x$ ? (Piensa en la distancia a la izquierda y a la derecha).

f.

Usa operaciones inversas para solucionar la ecuación $0 = {(x - 1)}^{2} - 4$ .

g.

¿De qué manera solucionar la ecuación se relaciona con la gráfica de la función y con las intersecciones con el eje $x$ ?

No te enojes, pero esa ecuación en forma estándar se hubiera factorizado fácilmente. La razón es que las soluciones son números enteros. No todas las ecuaciones se factorizan fácilmente, pero la relación que empezamos a observar puede ser muy útil.

Exploremos una función y su ecuación, que no se puede factorizar fácilmente a partir de la forma estándar. También veamos de qué manera la forma canónica nos puede ayudar a solucionar la ecuación o a encontrar las intersecciones con el eje $x$ .

9.

Empieza con la función $f (x) = x^{2} - 6 x + 4$ .

a.

Grafica la función. Para esto, escríbela en forma canónica.

b.

Vértice:

c.

Recta de simetría:

d.

Da una estimación de las intersecciones con el eje $x$ .

e.

Da una estimación de la distancia entre cada intersección con el eje $x$ y la recta de simetría.

f.

Empieza con $f (x)$ en forma canónica. Después, escribe y soluciona la ecuación $f (x) = 0$ usando operaciones inversas.

g.

¿Comó se comparan las soluciones a la ecuación y las estimaciones que hiciste anteriormente?

10.

Dada la ecuación $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ :

a.

Soluciona la ecuación completando el cuadrado y usando operaciones inversas.

b.

Sea $f (x) = x^{2} - 6 x + 7$ . ¿Cuál es la recta de simetría?

c.

¿Cuál es la distancia de la recta de simetría a una intersección con el eje $x$ ?

11.

Dada la ecuación $2 x^{2} - 8 x + 5 = 0$ :

a.

Soluciona la ecuación completando el cuadrado y usando operaciones inversas.

b.

Sea $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ . ¿Cuál es la recta de simetría?

c.

¿Cuál es la distancia de la recta de simetría a una intersección con el eje $x$ ?

¿Listo para más?

Encuentra dos métodos para solucionar esta ecuación usando gráficas:

$3 x^{2} + 3 x - 5 = - x + 7$

Aprendizajes

Cómo solucionar ecuaciones cuadráticas usando operaciones inversas:

Ejemplo	Procedimiento
${(x + 2)}^{2} = 16$	Está dada

Cómo solucionar ecuaciones cuadráticas usando gráficas:

Ejemplo	Procedimiento
${(x + 2)}^{2} = 16$	Está dada

Cómo solucionar ecuaciones cuadráticas usando factorización:

Ejemplo	Procedimiento
$x^{2} + 4 x - 12 = 0$	Está dada

Cómo solucionar ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado:

Ejemplo	Procedimiento
$x^{2} + 4 x - 12 = 0$	Está dada

Vocabulario

propiedad del cero de la multiplicación (también llamada propiedad de producto cero)
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos métodos para solucionar ecuaciones cuadráticas. Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden solucionar usando operaciones inversas y encontrando la raíz cuadrada a ambos lados de las ecuaciones. Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden solucionar factorizando y usando la propiedad de producto cero. Algunas ecuaciones se pueden solucionar completando el cuadrado y después usando operaciones inversas. Las ecuaciones cuadráticas que tienen soluciones reales también se pueden solucionar usando gráficas. Además, cada uno de estos métodos algebraicos se relaciona con el uso de gráficas.

Repaso

1.

Encuentra las características de la función que se representa en la gráfica.

Intervalos de crecimiento:

Intervalos de decrecimiento:

Máximo:

Mínimo:

Dominio:

Rango:

2.

Usa la función para encontrar los valores que se indican.

$f (x) = x^{2} - 4 x - 32$

a.

$f (0) =$

b.

$f (4) =$

c.

$f (x) = 0, x =$

d.

$f (x) = 13, x =$