Lección 1 Probando, probando Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Usar la probabilidad condicional para interpretar los resultados de exámenes médicos.

Usar un diagrama de árbol para encontrar probabilidades.

¿Cómo describo probabilidades cuando un evento parece estar relacionado con otro?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Hay varias maneras de detectar la tuberculosis (TB), una de ellas es un examen de la piel. Si una persona tiene anticuerpos de tuberculosis, entonces se considera que tiene TB. El siguiente es un diagrama de árbol que representa los datos de $1,000$ personas que se hicieron un examen de piel para detectar la tuberculosis.

1.

Con base en el diagrama de árbol, ¿qué observas acerca de las pruebas de TB? ¿Qué te preguntas?

Tal vez te preguntaste por el significado de la notación que se usó en afirmaciones como “Resultado negativo|tiene TB”. La barra significa “dado que”, por lo que esta afirmación se lee así: “el resultado es negativo, dado que el paciente tiene TB”. Podemos dar un paso más y escribir una afirmación de probabilidad con esta notación: $P (Resultado negativo | TB) = \frac{19}{380}$ .

2.

¿Cómo se lee esta afirmación? ¿Qué nos dice sobre las pruebas de TB?

Este es un ejemplo de probabilidad condicional, que se define como la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro evento ocurrió.

3.

Escribe otras afirmaciones de probabilidad y de probabilidad condicional basándote en el diagrama de árbol.

4.

Ahora vamos a cambiar nuestra perspectiva para buscar nuevas ideas. Vamos a hacer que las ramas principales del diagrama de árbol sean los resultados de la prueba. Una parte del diagrama ya está hecha, ahora debes terminarlo. En cada rama, escribe lo que ocurrió y el número de personas a quienes les ocurrió.

5.

Basándote en el diagrama, escribe afirmaciones que correspondan a las siguientes probabilidades:

a.

$\frac{577}{1,000} = P (____________________)$

b.

$\frac{62}{423} = P (____________________)$

c.

$85 % = P (____________________)$

6.

En cada caso, encuentra la probabilidad e interpreta la afirmación.

a.

$P (Tiene TB) = \underset{―}{}$

¿Qué significa esta afirmación?

b.

$P (No tiene TB) = \underset{―}{}$

¿Qué significa esta afirmación?

c.

$P (Resultado negativo | no tiene TB) = \underset{―}{}$

¿Qué significa esta afirmación?

d.

$P (Resultado positivo | no tiene TB) = \underset{―}{}$

¿Qué significa esta afirmación?

e.

$P (Tiene TB | resultado positivo) = \underset{―}{}$

¿Qué significa esta afirmación?

7.

En cada caso, encuentra la probabilidad e interpreta la afirmación.

a.

$P (Resultado negativo | tiene TB) = \underset{―}{}$

¿Qué significa esta afirmación?

b.

$P (Tiene TB | resultado negativo) = \underset{―}{}$

¿Qué significa esta afirmación?

c.

Explica por qué estas dos afirmaciones pueden tener probabilidades distintas. ¿Cuál es la diferencia entre lo que nos dicen estas dos afirmaciones sobre la prueba de TB?

Parte de entender el mundo que nos rodea es ser capaces de analizar datos y explicarlos a los demás.

8.

Con base en las afirmaciones de probabilidad que se pueden hacer a partir de los dos diagramas de árbol, ¿qué le dirías a un amigo, sobre la validez de su resultado, si se practicara una prueba de piel de TB y el resultado fuera positivo?

9.

Explica las consecuencias de los errores en los resultados de un examen de TB.

10.

Si un examen médico no es $100 %$ seguro, ¿por qué es conveniente que los resultados se inclinen más hacia un falso positivo? (Es decir, que la prueba indique que tienes la enfermedad cuando no la tienes).

¿Listo para más?

1.

Usa el diagrama de árbol para encontrar estas probabilidades:

a.

$P (Tiene TB y un resultado positivo)$

b.

$P (Resultado positivo | tiene TB)$

2.

¿En qué se diferencian estas probabilidades?

Aprendizajes

La probabilidad condicional de $A$ dado $B$ ,

Vocabulario

diagrama de árbol
falso negativo / positivo
probabilidad condicional
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección estudiamos la probabilidad condicional, es decir, la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro evento ocurrió. Usamos afirmaciones básicas de probabilidad y de probabilidad condicional para analizar la efectividad de un examen médico. Además, consideramos el significado de los errores en los exámenes, tanto falsos positivos como falsos negativos.

Repaso

El diagrama de Venn representa los datos recolectados de un grupo de personas. Muestra si prefieren usar zapatos o sandalias y si prefieren correr o montar en bicicleta. Usa el diagrama en los problemas del 1 al 4.

1.

¿Qué representa la sección que se superpone y que tiene un $26$ ?

2.

¿En qué lugar del diagrama de Venn encuentras el número de personas que prefieren usar sandalias?

3.

¿Cuántas personas prefieren correr?

4.

¿Cuántas personas en total están representadas en el diagrama de Venn?

5.

¿Cuál es la probabilidad de sacar el número $1$ al lanzar un dado estándar de seis caras?

6.

¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta con un número par de un juego de tarjetas numeradas de $1$ hasta $15$ ?