Lección 5 Razonamiento circular Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Aplicar los teoremas de la geometría de círculos en diversos contextos.

¿Cómo analizo una figura geométrica compleja para descubrir las estructuras y características que apoyarán mi razonamiento?

¿Cómo uso las propiedades y teoremas de la geometría de círculos para modelar contextos de la vida real?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En los siguientes problemas usarás lo que ya sabes sobre semejanza, relaciones en el círculo y trigonometría.

1.

En el diagrama, el radio del círculo $⨀ D$ es $5$ cm y $F$ es el punto medio del segmento $\overset{―}{A E}$ . Los segmentos $\overset{―}{G E}$ y $\overset{―}{G A}$ son tangentes al círculo $⨀ D$ . Las medidas de los arcos $E B$ y $B C$ se dan en el diagrama. Encuentra las medidas de todos los ángulos, arcos y segmentos que están sin marcar.

Problemas de modelación con círculos

2.

Ahora lo ves...

Podemos estudiar muchos fenómenos del ojo humano con geometría de círculos. Los objetos del entorno reflejan rayos de luz que entran al ojo por la córnea. El cristalino es una lente que los desvía para enfocarlos en la retina, que está en la parte de atrás del ojo. Usa la siguiente información para encontrar el ángulo inscrito en este diagrama simplificado del ojo de un adulto.

La circunferencia del ojo es $7.32 cm$ .
La córnea mide $1.22 cm$ .

3.

… ¡y ahora no lo ves!

El análisis del movimiento de los planetas es una parte importante de las matemáticas. Por ejemplo, podemos predecir un eclipse con la geometría de círculos.

Basándose en sus experiencias diarias, los astrónomos de la antigüedad creían que el Sol se movía alrededor de la Tierra en una órbita circular, como lo hace la Luna. Aunque Galileo y Copérnico descubrieron evidencias que ayudaron a cambiar este modelo después del año 1600, el modelo de la órbita del Sol con centro en la Tierra sirvió para medir la distancia de la Tierra al Sol y de la Tierra a la Luna. También ayudó a calcular sus diámetros y averiguar las posiciones relativas entre ellos. Usaremos este enfoque de modelación en el siguiente problema.

Un eclipse solar es un fenómeno sorprendente. Aunque el diámetro del Sol es aproximadamente $400$ veces el diámetro de la Luna, el Sol también está más o menos $400$ veces más lejos de la Tierra que de la Luna. Por eso, al pasar frente al Sol, la Luna tapa la cara del Sol completamente. Como se muestra en el diagrama, el arco intersecado por la Luna en su órbita es igual al arco intersecado por el Sol en su órbita aparente. La medida del arco intersecado por una persona que está sobre la superficie de la Tierra es alrededor de $0.5 °$ y el diámetro de la Luna es aproximadamente $2,100$ millas.

Usa la información anterior y el siguiente diagrama de las posiciones relativas de la Tierra, la Luna y el Sol durante un eclipse total para calcular, aproximadamente, la distancia de la Tierra a la Luna y de la Tierra al Sol.

¿Listo para más?

En el diagrama, el triángulo $△ A B C$ es equilátero. Todos los círculos son tangentes entre sí y también son tangentes a los lados del triángulo equilátero. El radio de los tres círculos pequeños, $⨀ P$ , $⨀ Q$ y $⨀ R$ , es $4 cm$ . El radio del círculo $⨀ O$ no está dado.

Encuentra el radio del círculo $⨀ O$ y la longitud de lado del triángulo equilátero.

Pista: Hay muchos triángulos equiláteros en este diagrama. Una altura de un triángulo equilátero biseca un ángulo y el lado opuesto. ¿Cómo se relacionan las longitudes de los lados de este triángulo de $30 ° - 60 ° - 90 °$ con la longitud de lado del triángulo equilátero que se usó para formar ese triángulo?

Aprendizajes

Hay dos medidas distintas asociadas con un arco: la medida del arco y la longitud del arco.

Para encontrar la medida del arco, podemos ; la unidad de medida es .

Para encontrar la longitud del arco, podemos ; la unidad de medida es .

Vocabulario

longitud de arco
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección usamos teoremas de ángulos inscritos y ángulos circunscritos de un círculo. Los aplicamos para encontrar las longitudes de muchos segmentos relacionados con círculos, como los segmentos tangentes que van del vértice de un ángulo circunscrito a los puntos de tangencia. Para encontrar estas longitudes, con frecuencia tuvimos que aplicar fórmulas de trigonometría en triángulos rectángulos.

Repaso

1.

Encuentra los ángulos de simetría de rotación y el número de rectas de simetría de reflexión del heptágono regular.

2.

Encuentra las longitudes de lado desconocidas y la medida del ángulo desconocido.

3.

El segmento $A C$ es el diámetro del círculo $B$ . $A C = 30 ft$ .

a.

Encuentra el área y la circunferencia del círculo $B$ .

b.

Encuentra la distancia que se recorre al seguir el arco $A C$ .

c.

Encuentra la distancia total de este recorrido: empezar en $A$ , ir a $B$ , ir a $C$ y al final regresar a $A$ siguiendo el círculo.

d.

Encuentra el área de la mitad del círculo.