Lección 3 Polígonos cíclicos Consolido lo que aprendí
Focos de aprendizaje
Analizar la relación que hay entre un ángulo inscrito y el arco intersecado.
Anteriormente, aprendimos que cualquier círculo se puede inscribir en un triángulo de manera que el círculo toque los tres lados del triángulo. También aprendimos que cualquier triángulo se puede inscribir en un círculo que pase por los tres vértices del triángulo. ¿Qué otros tipos de polígonos se pueden inscribir en círculos o pueden contener círculos inscritos que tocan todos sus lados?
¿Qué relaciones existen entre ángulos centrales y ángulos inscritos que intersecan el mismo arco?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Por definición, un polígono cíclico es un polígono que se puede inscribir en un círculo. Es decir, todos los vértices del polígono están en el mismo círculo.
En la lección “Centros de un triángulo" te pudiste convencer, a partir de las notas de Kara y el diagrama, de que es posible ubicar un punto que sea equidistante de los tres vértices de cualquier triángulo. Por eso, todos los triángulos son polígonos cíclicos.
1.
Básate en el trabajo de Kara. Para al menos uno de estos triángulos, usa regla y compás para construir el círculo que contiene los tres vértices del triángulo.
Como cada vértice de un triángulo inscrito está en el círculo, cada ángulo del triángulo es un ángulo inscrito. Sabemos que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es
2.
Observa el diagrama que creaste para inscribir un triángulo en un círculo. Usa este diagrama para ilustrar y explicar por qué la afirmación anterior es verdadera.
Por definición, la medida en grados de un arco es igual a la medida del ángulo central formado por los radios que contienen los extremos del arco (ver el ángulo
3.
En grupo, usen un transportador para encontrar la medida de cada arco que se muestra en los diagramas del problema 1. Después, encuentren la medida de cada ángulo inscrito correspondiente. Hagan una conjetura a partir de estos datos.
Haz una pausa y reflexiona
4.
Los tres diagramas del problema 3 se muestran en las partes a, b y c del siguiente problema. En cada triángulo hay un ángulo inscrito que se marcó con rectas más gruesas. También se muestra un diámetro del círculo como segmento de recta auxiliar, además de algunos segmentos de recta que te ayudarán a escribir demostraciones sobre los ángulos inscritos. En cada caso, considera el ángulo inscrito marcado con rectas más gruesas y demuestra tu conjetura sobre la medida de ese ángulo inscrito.
a.
El diámetro es un lado del ángulo inscrito. (Pista: Busca triángulos isósceles y un ángulo externo de un triángulo).
b.
El diámetro está en el interior de un ángulo inscrito. (Pista: ¿Puedes ver 4a en 4b?).
c.
El diámetro está en el exterior del ángulo inscrito.
Sabemos que todos los triángulos son polígonos cíclicos. Ahora analicemos algunos cuadriláteros para ver si son cíclicos. Claramente, algunos cuadriláteros genéricos son cíclicos porque podemos escoger 4 puntos diferentes de un círculo como los vértices de ese cuadrilátero.
5.
Ensaya lo siguiente: selecciona
a.
Conjetura sobre los ángulos de un cuadrilátero cíclico:
b.
Demostración de mi conjetura:
(¿Cómo puedes usar el siguiente diagrama como ayuda en tu demostración?)
¿Listo para más?
En grupos pequeños, analicen cada afirmación y decidan cuál es la palabra que mejor la completa:
a.
Los cuadrados [a veces, siempre, nunca] son cíclicos.
b.
Los rombos [a veces, siempre, nunca] son cíclicos.
c.
Los trapecios [a veces, siempre, nunca] son cíclicos.
d.
Los rectángulos [a veces, siempre, nunca] son cíclicos.
e.
Los paralelogramos [a veces, siempre, nunca] son cíclicos.
Aprendizajes
Completa cada descripción y muestra un ejemplo de ella:
Por definición, la medida en grados de un arco es
La medida en grados de un ángulo inscrito es
Si los rayos de un ángulo inscrito intersecan los extremos de un diámetro de un círculo, la medida en grados de este ángulo inscrito es
Vocabulario
- arco de un círculo, arco intersecado
- polígono cíclico
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección exploramos los polígonos cíclicos. Un polígono es cíclico si existe un círculo que tiene a todos los vértices del polígono. Todos los triángulos son cíclicos y algunos cuadriláteros también. Usamos polígonos cíclicos para formular y demostrar una conjetura sobre la relación entre un ángulo inscrito y el arco que interseca. Usando esto, formulamos una conjetura sobre los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico.
1.
En el diagrama se muestran el triángulo
2.
Escribe la ecuación trigonométrica que se necesita para encontrar