Lección 9 Ruedas hidráulicas y el círculo unitario Practico lo que aprendí

Actividad inicial

Gráficas rápidas otra vez. En la lección anterior aprendiste cómo graficar las funciones seno y coseno usando valores de números reales en el eje $x$ para representar el ángulo de rotación. Por supuesto, en nuestro modelo de la rueda de la fortuna aún queremos que el eje $x$ represente el tiempo en segundos. Ahora podemos describir la velocidad angular de la rueda en radianes. Con un compañero, dibuja en la cuadrícula correspondiente una gráfica de cada una de las siguientes funciones. Debes mostrar un periodo completo, así que escoge bien la cuadrícula. (Pista: ¿Puedes encontrar la cuadrícula que se parece más a la que usaste para graficar las ecuaciones de la rueda de la fortuna?).

Usa la estrategia de la gráfica rápida. Es decir, marca puntos en la recta media para definir un periodo. Luego, marca los puntos máximos y mínimos para definir el rango.

1.

$f (x) = 2 \cos (\frac{1}{2} x) + 4$

2.

$g (t) = 2 \sin \frac{30 °}{segundos} \cdot t + 2$

3.

$h (t) = 4 \sin (π t)$

Focos de aprendizaje

Usar triángulos rectángulos especiales en el círculo unitario.

¿Puedo encontrar el valor del seno o del coseno de algunos ángulos sin usar calculadora?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Las ruedas hidráulicas se usaban para hacer funcionar los molinos de harina antes de que hubiera electricidad. La rueda hidráulica giraba a medida que una corriente de agua empujaba las paletas de la rueda. Por lo tanto, a diferencia de las ruedas de la fortuna que tienen sus centros por encima del suelo, el centro de la rueda hidráulica puede ubicarse a nivel del suelo, de manera que la mitad inferior de la rueda esté sumergida.

1.

Los siguientes diagramas muestran diseños posibles de una rueda hidráulica. Cada uno de los $12 rayos$ de la rueda hidráulica mide $1 metro$ . Además de los rayos, el diseñador quiere agregar soportes para dar más firmeza a la estructura. En los siguientes diagramas se muestran dos ubicaciones posibles para los soportes. (Los soportes y los rayos a los que están pegados forman un ángulo recto).

En cada caso, encuentra las medidas de los ángulos $∠ B A C$ y $∠ A B C$ .

En cada caso, encuentra las longitudes exactas de los segmentos $\overset{―}{A B}$ , $\overset{―}{A C}$ y $\overset{―}{B C}$ . Explica cómo encontraste estas longitudes exactas.

En cada diagrama, marca las coordenadas exactas del punto $B$ .

2.

A partir de lo que hiciste en el problema 1, en cada punto del diagrama de la rueda hidráulica marca los valores exactos de las coordenadas $x$ y $y$ . Recuerda que el centro de la rueda está a nivel del suelo, así que los puntos por debajo del centro de la rueda deben marcarse con valores negativos. Al igual que hiciste con los modelos de la rueda de la fortuna, marca los puntos a la izquierda del centro con coordenadas negativas.

3.

Usa el diagrama del problema 2 para escribir los valores exactos de las siguientes expresiones trigonométricas.

a.

$\sin (\frac{π}{6}) =$

b.

$\sin (\frac{5 π}{6}) =$

c.

$\cos (\frac{7 π}{6}) =$

d.

$\sin (\frac{π}{3}) =$

e.

$\cos (\frac{π}{6}) =$

f.

$\cos (\frac{11 π}{6}) =$

g.

$\sin (\frac{3 π}{2}) =$

h.

$\cos (π) =$

i.

$\sin (\frac{7 π}{3}) =$

4.

Este es un plano de otra rueda hidráulica que solo tiene $8 rayos$ . En el siguiente diagrama de la rueda hidráulica, marca los valores exactos de las coordenadas $x$ y $y$ de cada punto. (Pista: Para empezar, encuentra la longitud del “soporte” que se muestra en el diagrama).

5.

Usa el diagrama del problema 4 para escribir los valores exactos de las siguientes expresiones trigonométricas.

a.

$\sin (\frac{π}{4}) =$

b.

$\sin (\frac{5 π}{4}) =$

c.

$\cos (\frac{3 π}{4}) =$

d.

$\cos (\frac{π}{4}) =$

e.

$\cos (- \frac{π}{4}) =$

f.

$\sin (\frac{7 π}{4}) =$

g.

$\sin (\frac{3 π}{2}) =$

h.

$\cos (\frac{3 π}{2}) =$

i.

$\sin (\frac{11 π}{4}) =$

Haz una pausa y reflexiona

Durante la temporada de deshielo de primavera, la corriente de agua hace que la rueda hidráulica dé una revolución completa en sentido contrario a las manecillas del reloj cada $3 segundos$ .

6.

Escribe una ecuación que represente la altura, por encima o por debajo del nivel del agua, de una paleta en particular de la rueda hidráulica en un tiempo cualquiera $t$ después de que la paleta sale del agua.

Escribe tu ecuación de manera que la altura de la paleta se grafique correctamente en una calculadora que está en modo grados.

Ajusta tu ecuación de manera que la altura de la paleta se grafique correctamente en una calculadora que está en modo radianes.

Durante los meses de verano, la corriente de agua que impulsa esta rueda hidráulica se vuelve un “río lento” y esto hace que la rueda dé una revolución completa en sentido contrario a las manecillas del reloj cada $12$ segundos.

7.

Escribe tu ecuación de manera que la altura de la paleta se grafique correctamente en una calculadora que está en modo grados.

Ajusta tu ecuación de manera que la altura de la paleta se grafique correctamente en una calculadora que está en modo radianes.

¿Listo para más?

Supón que sabes que el seno de un ángulo es $- 0.425$ . ¿Cuáles son los valores posibles del coseno del ángulo? ¿Cómo puedes usar el círculo unitario como ayuda para pensar acerca de esta pregunta?

Aprendizajes

Dadas las relaciones que se encontraron en los triángulos rectángulos especiales (ver los diagramas), las coordenadas de los puntos para ángulos de rotación que son múltiplos de $\frac{π}{4}$ (o $45 °$ ), $\frac{π}{6}$ (o $30 °$ ) y $\frac{π}{3}$ (o $60 °$ ) se pueden marcar con valores exactos en un círculo unitario. Esto se muestra en el primer cuadrante del círculo unitario del diagrama.

El círculo unitario que está marcado es como una tabla trigonométrica que sirve para encontrar valores trigonométricos de estos ángulos especiales.

Por ejemplo, para encontrar $\sin (\frac{5 π}{3})$ , yo:

Cuando grafico en mi calculadora funciones trigonométricas que representan contextos que involucran ángulos de rotación, puedo decidir si uso modo grados o modo radianes al:

Cuando grafico en mi calculadora funciones trigonométricas que representan contextos que tienen como dominio a los números reales, debo:

Vocabulario

triángulos rectángulos especiales
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos que podemos encontrar los valores exactos de algunas expresiones trigonométricas en vez de sus aproximaciones decimales. Esto ocurre porque podemos encontrar las longitudes exactas de los lados de triángulos rectángulos especiales que tienen una hipotenusa de $1 unidad$ . Luego, podemos usar estas longitudes para marcar las coordenadas de puntos alrededor del círculo unitario. Estos puntos se pueden ubicar poniendo estos triángulos rectángulos en distintas posiciones dentro del círculo.

Repaso

1.

Encuentra un ángulo de rotación negativo que sea coterminal con $θ = 120 °$ .

Dibuja y marca ambos ángulos en posición estándar.

2.

El número de grados que un objeto recorre durante una cantidad de tiempo dado se llama velocidad angular. Por ejemplo, en un reloj, la manecilla de los segundos tiene una velocidad angular de $\frac{360 °}{min}$ , mientras que la manecilla de los minutos tiene una velocidad angular de $\frac{360 °}{h}$ . (Recuerda que una revolución es un círculo completo o $360 °$ ).

a.

En un reloj, ¿cuál es la velocidad angular de la manecilla de los segundos en grados por segundo?

b.

En un reloj, ¿cuál es la velocidad angular de la manecilla de los minutos en grados por segundo?

c.

¿Cuál es la velocidad angular de la manecilla de las horas en grados por hora?