Lección 1 Reunión familiar de las funciones Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Explicar las transformaciones de funciones para todos los tipos de funciones.

¿Cómo puedo observar las transformaciones de funciones cuando comparo tablas de datos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Durante los últimos años, en tus clases de matemáticas has estudiado varios tipos de funciones: lineales, exponenciales, cuadráticas, polinomiales, racionales, con raíces, con valor absoluto, logarítmicas y trigonométricas. Al igual que una familia, cada tipo de función tiene características similares que las diferencian de otros tipos de funciones. Esto hace que sean especialmente útiles para modelar ciertas situaciones del mundo real. Por eso, a veces llamamos a cada tipo de función una “familia de funciones”.

Comencemos con la siguiente actividad. Clasifica las tarjetas en grupos. Cada grupo debe incluir 1 tarjeta de descripción, 1 tarjeta de tabla, 1 tarjeta de gráfica y 1 tarjeta de ecuación, de forma que todas describan el mismo tipo de función.

1.

___
lineales
___
exponenciales
___
cuadráticas
___
polinomiales
___
racionales
___
con valor absoluto
___
logarítmicas
___
trigonométricas
___
con raíces

$y = | x |$
$y = \sin (x)$ o $y = \cos (x)$
$y = x$
$y = \log_{b} (x)$
$y = x^{2}$
$y = \frac{1}{x}$
$y = b^{x}$
$y = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + . . . + a_{0}$
$y = \sqrt[n]{x}$

Como en tu familia, cada integrante de una familia de funciones se parece a los demás, pero cada uno tiene características únicas que permiten distinguirlo. Por ejemplo, ser “más ancho” o “más flaco”, o ser “más alto” o “más bajo”. Cada familia de funciones tiene su “código genético” particular que le da a sus gráficas la forma característica. La forma más simple de una familia es “la función básica”. Podemos considerar a todas las transformaciones de esta función como integrantes de la misma familia.

2.

___
lineales
___
exponenciales
___
cuadráticas
___
polinomiales
___
racionales
___
con valor absoluto
___
logarítmicas
___
trigonométricas
___
con raíces

Las características de las familias de funciones se transmiten de las funciones básicas a sus “hijos” a través de diversas transformaciones. Aunque los integrantes de cada familia tienen características comunes, las transformaciones hacen que cada integrante esté calificado de forma única para modelar cierto comportamiento matemático.

Cada una de las siguientes tablas muestra un conjunto de puntos de coordenadas que representa las características de la gráfica de una función básica. Las columnas adicionales muestran puntos de coordenadas de otros integrantes de la familia después de una transformación en particular. Escribe la regla de cada transformación de la gráfica de la función básica.

Nota: Podemos pensar en cada nuevo conjunto de puntos de coordenadas como la imagen de una transformación geométrica del conjunto original de puntos de coordenadas (la preimagen). Podemos usar notación de transformaciones geométricas para describir la transformación, o también podemos escribir la regla usando notación algebraica de funciones. Usa ambas notaciones para representar cada transformación.

3.

Completa la tabla:

	preimagen (gráfica de la función básica)	imagen 1	imagen 2	imagen 3
notación geométrica	$(x, y)$	$(x, y) \to (x, y + 2)$
notación de funciones	$f (x) = x^{2}$	$f_{1} (x) = x^{2} + 2$
relación con la función básica	$f (x)$	$f_{1} (x) = f (x) + 2$
algunos puntos de la imagen	$(- 2, 4)$	$(- 2, 6)$	$(- 2, 8)$	$(- 1, 4)$
	$(- 1, 1)$	$(- 1, 3)$	$(- 1, 2)$	$(- \frac{1}{2}, 1)$
	$(0, 0)$	$(0, 2)$	$(0, 0)$	$(0, 0)$
	$(1, 1)$	$(1, 3)$	$(1, 2)$	$(\frac{1}{2}, 1)$
	$(2, 4)$	$(2, 6)$	$(2, 8)$	$(1, 4)$

4.

Completa la tabla:

	preimagen (gráfica de la función básica)	imagen 1	imagen 2	imagen 3
notación geométrica	$(x, y)$
notación de funciones	$f (x) = 2^{x}$
relación con la función básica	$f (x)$	$f_{1} (x) = 4 f (x)$
algunos puntos de la imagen	$(- 2, \frac{1}{4})$	$(- 2, 1)$	$(- 2, - \frac{1}{4})$	$(- 3, \frac{1}{4})$
	$(- 1, \frac{1}{2})$	$(- 1, 2)$	$(- 1, - \frac{1}{2})$	$(- 2, \frac{1}{2})$
	$(0, 1)$	$(0, 4)$	$(0, - 1)$	$(- 1, 1)$
	$(1, 2)$	$(1, 8)$	$(1, - 2)$	$(0, 2)$
	$(2, 4)$	$(2, 16)$	$(2, - 4)$	$(1, 4)$

Haz una pausa y reflexiona

5.

Completa la tabla:

	preimagen (gráfica de la función básica)	imagen 1	imagen 2	imagen 3
notación geométrica	$(x, y)$
notación de funciones	$f (x) = \| x \|$
relación con la función básica	$f (x)$
algunos puntos de la imagen	$(- 2, 2)$	$(- 2, - 4)$	$(- 1, 2)$	$(- 5, 2)$
	$(- 1, 1)$	$(- 1, - 2)$	$(- \frac{1}{2}, 1)$	$(- 4, 1)$
	$(0, 0)$	$(0, 0)$	$(0, 0)$	$(- 3, 0)$
	$(1, 1)$	$(1, - 2)$	$(\frac{1}{2}, 1)$	$(- 2, 1)$
	$(2, 2)$	$(2, - 4)$	$(1, 2)$	$(- 1, 2)$

6.

Completa la tabla:

	preimagen (gráfica de la función básica)	imagen 1	imagen 2	imagen 3
notación geométrica	$(x, y)$
notación de funciones	$f (x) = \sin (x)$
relación con la función básica	$f (x)$
algunos puntos de la imagen	$(0, 0)$	$(0, 2)$	$(0, 0)$	$(0, 0)$
	$(\frac{π}{2}, 1)$	$(\frac{π}{2}, 3)$	$(\frac{π}{4}, 1)$	$(\frac{π}{2}, - 2)$
	$(π, 0)$	$(π, 2)$	$(\frac{π}{2}, 0)$	$(π, 0)$
	$(\frac{3 π}{2}, - 1)$	$(\frac{3 π}{2}, 1)$	$(\frac{3 π}{4}, - 1)$	$(\frac{3 π}{2}, 2)$
	$(2 π, 0)$	$(2 π, 2)$	$(π, 0)$	$(2 π, 0)$

7.

Completa la tabla:

	preimagen (gráfica de la función básica)	imagen 1	imagen 2	imagen 3
notación geométrica	$(x, y)$
notación de funciones	$f (x) = \sqrt{x}$
relación con la función básica	$f (x)$
algunos puntos de la imagen	$(0, 0)$	$(0, 0)$	$(0, 0)$	$(3, 0)$
	$(1, 1)$	$(1, \frac{1}{2})$	$(2, 1)$	$(4, 1)$
	$(4, 2)$	$(4, 1)$	$(8, 2)$	$(7, 2)$
	$(9, 3)$	$(9, \frac{3}{2})$	$(18, 3)$	$(12, 3)$
	$(16, 4)$	$(16, 2)$	$(32, 4)$	$(19, 4)$

¿Listo para más?

Ensaya con combinaciones más complicadas de transformaciones de distintas funciones básicas.

Puedes empezar con esta transformación: $(x, y) \to (2 x + 3, 2 y - 1)$

Escoge una función básica para transformarla y escríbela aquí:

Crea una tabla de la función básica y una tabla de la función después de la transformación.

Con base en lo anterior, escribe una regla que represente la función después de la transformación.

Aprendizajes

Todas las familias de funciones .

Una operación realizada fuera de la función .

$f (x) + k$ hace esto: .
$k \cdot f (x)$ hace esto: .

Una operación realizada dentro de la función .

$f (x + k)$ hace esto: .
$f (k x)$ hace esto: .

Vocabulario

función básica
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos las transformaciones de funciones. Comparamos las tablas de las funciones básicas y las tablas de las transformaciones de esas funciones. Descubrimos que todas las funciones se transforman de la misma manera. También explicamos el comportamiento de algunas transformaciones horizontales, como el desplazamiento a la izquierda o a la derecha, o la ampliación o reducción horizontal.

Repaso

1.

Grafica las siguientes funciones lineales en la cuadrícula. La función $f (x) = x$ ya está graficada. En cada nueva función, explica qué le hace el número $2$ a la gráfica de $f (x) = x .$ Presta atención a la pendiente, a la intersección con el eje $x$ y a la intersección con el eje $y$ . Identifica qué cambia y qué permanece igual en la gráfica.

$f_{1} (x) = x + 2$
$f_{2} (x) = x - 2$
$f_{3} (x) = 2 x$

2.

Calcula $f (x)$ .

a.

$f (125) = \log_{5} x$

b.

$f (\frac{1}{125}) = \log_{5} x$

c.

$f (1) = \log_{5} x$