Lección 6 Distintas combinaciones Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Combinar funciones que están definidas por gráficas o tablas.

¿Cómo puedo representar la suma y multiplicación de funciones? ¿Cómo se pueden definir estas operaciones cuando las funciones que se suman o multiplican están definidas por gráficas o tablas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Hemos visto la importancia de combinar distintos tipos de funciones de varias maneras para modelar situaciones. En esta actividad vas a practicar la combinación de funciones cuando se definen de distintas maneras: con una gráfica, con datos numéricos o con una expresión algebraica.

1.

a.

Suma gráficamente las siguientes dos funciones. Es decir, no escribas las reglas algebraicas de cada función para luego sumarlas y graficar el resultado. En cambio, trata de crear la gráfica del resultado solo usando los puntos de las dos gráficas y pensando en qué ocurre cuando se combinan dos funciones con la operación de la suma.

b.

¿Cuáles puntos son más útiles para averiguar la forma de la gráfica de la función combinada? ¿Por qué?

2.

a.

Multiplica gráficamente las siguientes dos funciones. Es decir, no escribas las reglas algebraicas de cada función para luego multiplicarlas y graficar el resultado. En cambio, trata de crear la gráfica del resultado solo usando los puntos de las dos gráficas y pensando en qué ocurre cuando se combinan dos funciones con la operación de la multiplicación.

b.

¿Cuáles puntos son más útiles para averiguar la forma de la gráfica de la función combinada? ¿Por qué?

3.

Para ilustrar la composición de funciones, hemos usado el tipo de diagrama que se muestra. Dibuja un tipo de diagrama similar para ilustrar lo que ocurre cuando dos funciones se combinan con la suma o la multiplicación. Tu diagrama debe mostrar claramente cómo se obtienen los valores de salida para valores de entrada específicos.

4.

Las funciones $f$ y $g$ están definidas numéricamente en la siguiente tabla. Aparte de los puntos dados, no existen otros puntos para estas funciones. Halla los valores de salida de cada una de las combinaciones de funciones que se indican. Escribe todos los puntos que estén definidos a partir de los datos dados. Usa los mismos valores de entrada para todas las funciones.

$x$	$f (x)$	$g (x)$
$0$	$0$	$- 3$
$1$	$2$	$- 2$
$2$	$4$	$- 1$
$3$	$6$	$0$
$4$	$8$	$1$
$5$	$10$	$2$
$6$	$12$	$3$
$7$	$14$	$4$
$8$	$16$	$5$

5.

¿Recuerdas la carrera entre la tortuga y la liebre? Sus amigos y familiares vienen a animarlas y se ubican en distintos lugares del recorrido. Como las liebres son rápidas y están ansiosas por conocer el resultado de la carrera, la mayoría se ha ubicado hacia el final del recorrido. Como las tortugas son lentas y están más ansiosas por animar la salida de su campeona, la mayoría se ha ubicado hacia el principio del recorrido. La densidad (número de animales por metro) de tortugas y liebres a lo largo del recorrido, como función de la distancia de la tortuga (o la liebre) a la línea de partida, está dada por las siguientes funciones:

Tortugas: $a (d) = 243 \cdot {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{20} d}$ ( $a$ está en tortugas por metro, $d$ está en metros)

Liebres: $a (d) = 2^{\frac{1}{10} d}$ ( $a$ está en liebres por metro, $d$ está en metros)

La distancia a la línea de partida es una función del tiempo transcurrido desde el inicio de la carrera y está dada, para la tortuga y la liebre, por las siguientes funciones.

La tortuga: $d (t) = 2^{t}$ ( $d$ está en metros, $t$ está en segundos)

La liebre: $d (t) = t^{2}$ $(d$ está en metros, $t$ está en segundos)

La tortuga y la liebre están ansiosas por saber con cuántos de sus amigos y familiares se encuentran en cada instante de la carrera.

Interpretemos las funciones:

a.

En términos del contexto, ¿qué significan $243$ , $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{20} d$ en la ecuación de las tortugas?

b.

En términos del contexto, ¿qué significa $\frac{1}{10} d$ en la ecuación de las liebres?

c.

Si la carrera es de $100 metros$ , escribe funciones para la tortuga y para la liebre que sirvan para calcular el número de tortugas o liebres con las que se encontrarán en cualquier momento $t$ después de comenzar la carrera. Incluye un dominio restringido o razonable para cada función.

d.

Si la carrera es de $100 metros$ , escribe una función que sirva para calcular cuántos espectadores (liebres y tortugas) están ubicados a cualquier distancia de la línea de partida de la carrera.

e.

¿Quién se ha encontrado con más amigos y familiares $5 segundos$ después de iniciar la carrera: la tortuga o la liebre?

¿Listo para más?

La siguiente es la gráfica de la suma de dos funciones trigonométricas. Trata de encontrar dos funciones cuya suma produzca esta gráfica.

Aprendizajes

Para sumar dos funciones $f (x)$ y $g (x)$ gráficamente:

Para multiplicar dos funciones $f (x)$ y $g (x)$ gráficamente:

Algunos valores estratégicos de $x$ son:

Para sumar o multiplicar dos funciones definidas por una tabla:

Para componer dos funciones definidas por una tabla:

Para sumar o multiplicar dos funciones definidas por expresiones algebraicas:

Para componer dos funciones $f (g (x))$ definidas por expresiones algebraicas:

Con un dominio restringido se define:

Vocabulario

dominio restringido
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a graficar la suma o el producto de dos funciones que solo están definidas por sus gráficas. También aprendimos a completar una tabla de valores de la suma, el producto, la inversa o la composición de funciones que están definidas por tablas. Además, modelamos una situación en contexto en la que decidimos si debíamos usar una composición de funciones o una combinación de funciones.

Repaso

1.

Una empresa de seguros recopiló las edades de los $145$ profesores de una escuela. Las edades están entre $23$ y $65$ años, y se agruparon en intervalos, como se muestra en la tabla.

Intervalo de edades	Punto medio del intervalo	Frecuencia del intervalo
$20 – 30$	$25$	$18$
$30 – 40$	$35$	$37$
$40 – 50$	$45$	$45$
$50 – 60$	$55$	$32$
$60 – 70$	$65$	$13$

Haz un histograma en los ejes dados que muestre la información dada en la tabla. (Nota: El punto medio de cada barra está dado en el eje horizontal. Cada barra debe estar encima del intervalo de edades correspondiente. La frecuencia es la altura vertical).

2.

Usa las leyes de los logaritmos para reescribir $\log \frac{3 x (x - 2)}{{(x + 5)}^{2}}$ como una suma o diferencia de logaritmos. Escribe las potencias como factores.

3.

Reescribe $3 \log u + 4 \log v - \log w$ como un único logaritmo.