Lección 4 Componer y descomponer Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Analizar la composición de funciones en el contexto de una situación del mundo real.

¿Hay maneras de combinar funciones aparte de sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas?

¿Cómo modelo situaciones en contextos en los que una función depende de la salida de otra función?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

El día se hace cada vez más caluroso en el parque de diversiones. Tú y tus amigos deciden refrescarse en la atracción “Salto en aguas turbulentas”. Mientras hacen la fila, el ingeniero les explica las matemáticas relacionadas con el diseño del área de espera de una atracción.

“Como ven”, dice el ingeniero, “podemos mover unas cadenas para ampliar o reducir el área de espera. El área que necesitamos depende de la hora del día. Recolectamos datos de cada atracción y con esta información usamos funciones para modelar el tiempo de espera típico de las personas y cuánta área de espera necesitamos”.

Por supuesto, el ingeniero tiene las funciones que modelan esta atracción en particular.

• Promedio de personas en la fila como función del tiempo: $p (t) = 3,000 (\cos \frac{1}{5} (t - 3))$

$t$ es el número de horas antes o después del mediodía. Por ejemplo, $t = 2$ representa las 2:00 p.m. y $t = - 2$ representa las 10:00 a.m.
$p$ es el número de personas en la fila.

• Área de espera requerida como función del número de personas en la fila: $a (p) = 4 p + 100$

$a$ , el área de espera, se mide en pies cuadrados

• Tiempo de espera de una persona como función del número de personas en la fila: $w (p) = 60 \cdot (\frac{p - 1, 500}{1, 500})$

$w$ , el tiempo de espera, se mide en minutos

Interpretemos las funciones

1.

¿A qué hora del día hay el mayor número de personas en la fila?

2.

De acuerdo a la función del promedio de personas en la fila, ¿cuál es el máximo número posible de personas en la fila?

3.

De acuerdo a esta misma función, ¿a qué horas crees que abren y cierran el parque de diversiones?

4.

En términos del contexto-historia, ¿qué crees que representan el $4$ y el $100$ en la regla de la función del área de espera, $a (p) = 4 p + 100$ ?

5.

En términos del contexto-historia, ¿cuál puede ser el significado del $1,500$ en la regla de la función del tiempo de espera, $w (p) = 60 \cdot (\frac{p - 1, 500}{1, 500})$ ?

6.

Para cada horario de la siguiente tabla, ¿cuál es el área de espera requerida para la fila del “Salto en aguas turbulentas”?

a.

Hora del día	Área de espera requerida (sq. ft.)
10:00 a.m.
12:00 p.m.
2:00 p.m.
4:00 p.m.
8:00 p.m.

b.

Para cada hora, debiste hacer ciertos cálculos. Describe cómo encontraste el área de espera para las distintas horas.

c.

¿Puedes crear una sola regla para el área de espera como función de la hora del día?

7.

Para cada hora de la siguiente tabla, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona que llega al final de la fila del “Salto en aguas turbulentas”?

a.

Hora del día	Tiempo de espera (minutos)
10:00 a.m.
12:00 p.m.
2:00 p.m.
4:00 p.m.
8:00 p.m.

b.

Para cada hora, debiste hacer ciertos cálculos. Describe cómo encontraste el tiempo de espera para las distintas horas.

c.

¿Puedes crear una sola regla para el tiempo de espera como función de la hora del día?

Haz una pausa y reflexiona

Para controlar la multitud cuando las filas se alargan, algunos empleados vestidos de piratas (de acuerdo a la temática del “Salto en aguas turbulentas”) acompañan a las personas en la fila. Sus bromas distraen a los visitantes, que escuchan sus chistes de piratas. El número de empleados requeridos depende del número de personas que esperan en la fila.

Número de piratas requeridos como función del número de personas en la fila: $c (p) = \frac{p}{150}$
- $p$ representa el número de personas en la fila
- $c$ representa el número de empleados requeridos

8.

¿Cuántos empleados se necesitan para distraer a las personas que esperan en cada una de las siguientes horas del día?

Hora del día	Empleados requeridos
10:00 a.m.
12:00 p.m.
2:00 p.m.
4:00 p.m.
8:00 p.m.
$t$ horas antes o después del mediodía ( $t < 0$ : antes del mediodía. $t > 0$ : después del mediodía)

En los días calurosos y soleados se usan rociadores para refrescar a los visitantes que esperan. El número de rociadores que se deben encender depende del tamaño del área de espera que se habilite para las personas en la fila.

Número de rociadores requeridos como función del área de espera: $m (t) = \frac{a}{1,000}$
- $a$ , el área de espera, se mide en pies cuadrados.
- $m$ representa el número de rociadores que se deben encender.

9.

¿Cuántos rociadores se deben encender para refrescar a los visitantes que esperan en cada una de las siguientes horas del día?

Hora del día	Rociadores requeridos
10:00 a.m.
12:00 p.m.
2:00 p.m.
4:00 p.m.
8:00 p.m.
$t$ horas antes o después del mediodía ( $t < 0$ : antes del mediodía. $t > 0$ : después del mediodía)

10.

Explica cómo el siguiente diagrama te puede ayudar a pensar en lo que hiciste en los problemas anteriores. ¿Cómo la notación del diagrama muestra la forma en que has combinado funciones en esta actividad? Esta forma de combinar funciones se llama composición de funciones.

Interpretemos las funciones

11.

En términos del contexto-historia, ¿qué puede significar el $150$ en la regla de la función de los empleados requeridos, $c (t) = \frac{p}{150}$ ?

12.

En términos del contexto-historia, ¿qué puede significar el $1,000$ en la regla de la función del número de rociadores requeridos, $m (t) = \frac{a}{1,000}$ ?

¿Listo para más?

¿La composición de funciones es conmutativa? Es decir, ¿importa cuál función usamos primero y cuál después? En tu respuesta, incluye ejemplos basados en las funciones que se usaron en las actividades anteriores.

Aprendizajes

Aunque podemos combinar funciones sumándolas, restándolas, multiplicándolas o dividiéndolas, también podemos combinarlas usando la composición de funciones. Para componer dos funciones, .

La operación de composición de funciones se representa con o con .

La composición de funciones se puede usar para crear modelos de . Por ejemplo,

Necesitamos usar una composición de funciones en la ecuación del tiempo de espera, $w (t) = 60 (\frac{3, 000 \cos (\frac{1}{5} (t - 3)) - 1, 500}{1, 500})$ , ya que el tiempo de espera es una función de .
Necesitamos usar una composición de funciones en ecuaciones de la rueda de la fortuna, como $h (t) = 25 \sin (18 t) + 30$ , ya que la distancia vertical al centro de la rueda es una función de y el ángulo de rotación es una función de .

Vocabulario

composición de funciones
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos una nueva operación para combinar funciones llamada composición de funciones. Esta la usamos cuando la salida de una función era la entrada de otra función.

Repaso

1.

La expresión $5 x^{3}$ tiene $2$ operaciones. Una de las operaciones está “dentro” de la segunda operación. Identifica la operación que está “adentro” y llama $u$ al resultado: . Luego, reemplaza $u$ en la expresión inicial para que la operación de “afuera” se aplique a $u$ . Escribe tu respuesta. Para esto, llena los espacios en blanco en la afirmación “Si... entonces...”.

Si , entonces .

2.

Si el problema 1 tuviera la expresión ${(5 x)}^{3}$ , ¿la respuesta cambiaría? Explica.

3.

Cada ecuación tiene un logaritmo. Escribe una ecuación equivalente que tenga una exponencial.

a.

$\log_{2} (\frac{1}{4}) = - 2$

b.

$\log 873 = N$

c.

$\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2}$