Lección 1 En construcción Desarrollo mi comprensión

Actividad inicial

Analiza el diagrama. (Nota: Los puntos y están en el centro de sus respectivos círculos).

A circle with center N and inscribed angle with endpoints on the circle Point C and Point A. The chord AC has a midpoint B. Point M on line NB with a circle drawn with M as the center.

1.

Escribe afirmaciones que representen las longitudes iguales del diagrama (todas las que puedas).

2.

Escribe afirmaciones que representen los segmentos congruentes del diagrama (todas las que puedas).

3.

Indica cómo sabes cuáles segmentos son congruentes. ¿Hay algunos segmentos que parecen ser congruentes, pero no estás seguro de si realmente lo son?

Focos de aprendizaje

Construir un rombo, una mediatriz y un cuadrado usando únicamente un compás y una regla.

¿Cómo construir figuras geométricas, como rombos y cuadrados, usando objetos geométricos (como círculos y rectas) en vez de herramientas de medición (como reglas y transportadores)?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la antigüedad, una de las pocas herramientas que tenían los constructores y los topógrafos para trazar una parcela o los cimientos de un edificio era un trozo de cuerda.

Hay dos figuras geométricas que se pueden crear con un trozo de cuerda: puedes tensarla para crear un segmento de recta o puedes fijar un extremo, extender la cuerda en toda su longitud, y trazar un círculo con el otro extremo. En las construcciones geométricas suelen imitarse estos dos procesos. Se usa una regla para trazar un segmento de recta y un compás para trazar un círculo (o una parte de un círculo llamada arco). Utilizando solo estas dos herramientas puedes construir todo tipo de figuras geométricas.

Supongamos que quieres construir un rombo usando únicamente un compás y una regla. Podrías empezar dibujando un segmento de recta para definir la longitud de un lado. Luego, trazas otro rayo desde uno de los extremos del segmento de recta para definir un ángulo, como se muestra en el dibujo.

Ray B with line segment AB

Ahora empieza el trabajo duro. No podemos simplemente seguir dibujando segmentos de recta porque necesitamos que los cuatro lados del rombo tengan la misma longitud. Tenemos que dejar de dibujar y empezar a construir.

Construye un rombo

A partir de lo que sabes sobre círculos y segmentos de recta, ¿cómo podrías ubicar el punto en el rayo del diagrama para que la distancia de a sea la misma que la distancia de a ?

1.

Describe cómo ubicarías el punto y cómo sabrías que . Después, marca el punto en el diagrama.

Ray B with line segment AB

Ahora que tenemos tres de los cuatro vértices del rombo, necesitamos ubicar el punto , el cuarto vértice.

2.

Describe cómo ubicarías el punto y cómo sabrías que . Después, marca el punto en el diagrama.

Haz una pausa y reflexiona

Construye la mediatriz de un segmento y un cuadrado (un rombo con ángulos rectos)

La única diferencia entre construir un rombo y construir un cuadrado es que un cuadrado tiene los ángulos rectos. Por lo tanto, necesitamos una forma de construir rectas perpendiculares usando solamente un compás y una regla.

Empezaremos por inventar una forma de construir la mediatriz de un segmento de recta.

3.

Dado el segmento , dobla la hoja de modo que el punto se refleje en el punto . Teniendo en cuenta la definición de reflexión, ¿qué sabes acerca de esta “línea de doblez”?

line segment RS

“Construiste” la mediatriz del segmento y tu estrategia fue doblar la hoja de papel. ¿Hay una forma de construir esta recta usando un compás y una regla?

4.

Experimenta con el compás y mira si puedes crear una estrategia para ubicar los puntos en la “línea de doblez”. Cuando hayas ubicado al menos dos puntos en la “línea de doblez”, usa la regla para terminar de construir la mediatriz. Describe la estrategia que usaste para ubicar los puntos en la mediatriz del segmento .

Ahora que creaste una recta perpendicular al segmento , usaremos el ángulo recto para construir un cuadrado.

5.

Marca el punto medio del segmento como . Luego usa el segmento como un lado del cuadrado. El ángulo recto formado por y la recta perpendicular que pasa por el punto serán otra parte del cuadrado. Continúa trabajando hasta terminar de construir este cuadrado en el diagrama. (Pista: Recuerda que un cuadrado también es un rombo, y ya construiste un rombo en la primera parte de esta actividad).

¿Listo para más?

Dibuja dos puntos cualesquiera sobre una recta y usa las estrategias de construcción que inventaste en la actividad de hoy para construir un cuadrado. El segmento de recta entre los dos puntos que elegiste será un lado de un cuadrado. Asegúrate de mostrar en tu construcción todos los círculos o partes de círculos que usaste para explicar tus ideas.

Aprendizajes

Hoy usé círculos y rectas como herramientas de construcción.

  • Los círculos son herramientas de construcción útiles porque

  • Los círculos congruentes son herramientas de construcción útiles porque

  • Los círculos congruentes que usé en la construcción de la mediatriz me ayudaron a darme cuenta de que

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos sobre construcciones: crear figuras geométricas de forma precisa usando únicamente un compás y una regla. Con solo estas herramientas construimos un rombo a partir de un lado y un ángulo. También construimos la mediatriz de un lado y construimos un cuadrado partiendo de un ángulo recto y un segmento de recta. Nos dimos cuenta de la importancia de la definición de círculo —el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto central fijo—, ya que los círculos nos permiten construir segmentos de recta congruentes.

Repaso

1.

La figura es un rombo.

  1. Usa una regla para dibujar las dos diagonales.

  2. Con un compás, construye un círculo que esté centrado en el punto y que tenga un radio de longitud . Después, construye un círculo que esté centrado en el punto y que tenga un radio de longitud .

  3. ¿Qué observas acerca de las intersecciones de los dos círculos?

Rhombus ABCD

2.

Soluciona el sistema de ecuaciones. Escoge un método adecuado: gráfica, sustitución o eliminación.