Lección 4 Triángulos congruentes Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Analiza el diagrama.

Triangle ABC with line segment BD. Point D is located on Line segment AC of the triangle.

¿El triángulo es congruente al triángulo ? Haz una lista de todas las cosas que necesitarías saber para tener certeza de que los dos triángulos son congruentes.

Focos de aprendizaje

Explorar y justificar criterios de congruencia de triángulos usando transformaciones rígidas.

¿Qué necesito saber acerca de dos triángulos antes de poder decir que son congruentes?

¿Cómo puedo comprobar si un criterio que parece indicar que los triángulos son congruentes siempre funciona?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Sabemos que dos triángulos son congruentes si todos los pares de lados y ángulos correspondientes son congruentes. Quizás nos preguntemos si podemos garantizar que dos triángulos son congruentes teniendo menos información.

Por ejemplo, si sabemos que dos de los ángulos de los dos triángulos son congruentes, así como los lados entre ellos, ¿esto es suficiente para concluir que los dos triángulos son congruentes? Y si creemos que esa información es suficiente, ¿cómo podemos justificar que es cierto? El criterio anterior lo llamamos ALA (ángulo-lado-ángulo).

Este es un diagrama que muestra el criterio ALA de congruencia de triángulos:

Triangle ABC with angle A with one congruent arc, tic on line segment AB, and angle B with two congruent arcs. Triangle RST with angle R with one congruent arc, tic on line segment RS, and angle S with two congruent arcs.

1.

Según el diagrama, ¿cuáles ángulos son congruentes? ¿Cuáles lados son congruentes?

2.

Para convencernos de que estos dos triángulos son congruentes, ¿qué más necesitamos saber?

3.

Usa papel de calcar para encontrar una secuencia de transformaciones que muestre si estos dos triángulos son congruentes o no.

4.

Haz una lista de tu secuencia de transformaciones:

Tu secuencia de transformaciones es suficiente para mostrar que estos dos triángulos son congruentes, pero ¿cómo podemos garantizar que todos los triángulos que comparten el criterio ALA son congruentes?

Probablemente tu secuencia de transformaciones era como esta:

  • Trasladar el punto hasta que coincida con el punto .

  • Rotar el segmento alrededor del punto hasta que coincida con el segmento .

  • Reflejar el triángulo con respecto a la recta .

Podemos usar la palabra coincidir cuando queremos decir que dos puntos o segmentos de recta ocupan la misma posición en el plano. Cuando hagamos argumentos con transformaciones, usaremos mucho esta palabra.

Ahora la pregunta es: ¿cómo sabemos que después de la reflexión, el punto va a coincidir con el punto ? (De manera que todos los lados y ángulos coincidan).

5.

Justifica por qué el criterio ALA garantiza que dos triángulos son congruentes. Responde este problema lo mejor que puedas. Puede ser útil pensar en cómo sabes que el punto solo puede quedar encima de y no en otro lugar del plano.

Usa papel de calcar para experimentar con los siguientes pares de triángulos. Intenta determinar si puedes encontrar una secuencia de transformaciones que muestre que los triángulos son congruentes. Ten cuidado: puede haber algunos que no lo sean. Si, después de experimentar, los triángulos parecen ser congruentes, escribe un argumento que explique cómo sabes que este tipo de criterio siempre funciona. Es decir, ¿qué garantiza que los lados y ángulos sin marcar también coinciden?

6.

Triangle JKL with one tic on line segment LK, one arc on angle K, and two tics on line segment KJ. Triangle PQR with one tic on line segment RQ, one arc on angle Q, and two tics on line segment QP.

Criterio:

¿Son congruentes los triángulos?

Escribe tus transformaciones en el orden que las realizaste:

Si los triángulos son congruentes, justifica por qué esto siempre será cierto teniendo en cuenta el criterio:

7.

Triangle RQP with angle R with one arc, angle Q with two arcs, and angle P with three arcs. Triangle UOI with angle U with one arc, angle O with two arcs, and angle I with three arcs.

Criterio:

¿Son congruentes los triángulos?

Escribe tus transformaciones en el orden que las realizaste:

Si los triángulos son congruentes, justifica por qué esto siempre será cierto teniendo en cuenta el criterio:

8.

Triangle GHI with one tic on line segment GH, two tics on line segment HI, and angle I with one arc. Triangle XYZ with one tic on line segment XY, two tics on line segment YZ, and one arc on angle Z.

Criterio:

¿Son congruentes los triángulos?

Escribe tus transformaciones en el orden que las realizaste:

Si los triángulos son congruentes, justifica por qué esto siempre será cierto teniendo en cuenta el criterio:

9.

Triangle ABC with line segment CB with one tic, line segment BA with two tics, and line segment AC with three tics. Triangle PRQ with line segment RQ with one tic, line segment QP with two tics, and line segment PR with three tics.

Criterio:

¿Son congruentes los triángulos?

Escribe tus transformaciones en el orden que las realizaste:

Si los triángulos son congruentes, justifica por qué esto siempre será cierto teniendo en cuenta el criterio:

10.

Basándote en estos experimentos y en tus justificaciones, ¿qué criterios o condiciones parecen garantizar que dos triángulos serán congruentes? Haz una lista de todos los ejemplos que puedas. Asegúrate de incluir el criterio ALA, que trabajamos al inicio.

11.

Tu amigo quiere agregar el criterio AAL a tu lista, a pesar de que no has experimentado con este caso en particular. ¿Qué piensas? ¿Se debería agregar o no? ¿Qué te hace estar convencido de que tienes razón?

12.

Tu amigo también quiere agregar HC (hipotenusa-cateto) a tu lista, a pesar de que no has experimentado con triángulos rectángulos y de que sabes que LLA no funciona en general, a partir de tu trabajo en el problema 8. ¿Qué piensas? ¿Se debería agregar HC para los triángulos rectángulos, o no? ¿Qué te hace estar convencido de que tienes razón?

¿Listo para más?

Mientras Sione y Zac trabajan en el primer problema de esta lección, hacen críticas de sus argumentos y se esfuerzan por mejorar la precisión de su lenguaje.

Sione ha estado observando a Zac experimentar con el siguiente par de triángulos que tienen tres partes correspondientes que son congruentes. Le surge esta duda: “Encontraste condiciones que hacen que los triángulos sean congruentes en tus experimentos, ¿cómo sabemos que esas condiciones funcionan para todos los triángulos, y no solo para estos triángulos?”.

A black triangle ABC a green triangle A', B', C', green triangle R, S C" connected to black triangle RST

Argumento de Zac:

Zac dice: “Entiendo lo que hice con el primer grupo de triángulos. Creo que puedo hacer lo mismo con cualquier par de triángulos que tengan marcados como congruentes un ángulo, un lado y un ángulo (las partes del criterio ALA)”.

“Podemos trasladar el punto hasta que coincida con el punto . Después, rotar el segmento alrededor del punto hasta que coincida con el segmento . Y por último, podemos reflejar el triángulo con respecto a la recta . Así, todo coincide y por eso los triángulos son congruentes”. (El profesor de Zac y de Sione les sugirió que usaran la palabra coincide cuando quieran decir que dos puntos o segmentos de recta ocupan la misma posición en el plano. A ellos les gusta la palabra, así que planean usarla mucho).

¿Qué piensas acerca del argumento de Zac? ¿Con ese argumento estás convencido de que los dos triángulos son congruentes? ¿Faltan ideas fundamentales que crees que se deberían tener en cuenta? Reflexiona sobre estas preguntas mientras lees la discusión de Sione y Zac.

Sione no está seguro de que el argumento de Zac sea muy convincente. Le pregunta a Zac: “¿Cómo sabes que el punto coincide con el punto después de reflejar el triángulo?”.

1.

¿Cómo crees que Zac podría responder la pregunta de Sione?

Mientras Zac piensa en una respuesta a la pregunta, Sione añade lo siguiente: “En realidad, no usaste toda la información sobre las partes congruentes de los triángulos”.

“¿Qué quieres decir?”, pregunta Zac.

Sione responde: “Comenzaste usando el hecho de que cuando trasladaste el triángulo , de manera que el vértice coincidiera con el vértice . Y usaste el hecho de que cuando rotaste el segmento para que coincidiera con el segmento , ¿pero cuándo usaste el hecho de que ?”.

“Es cierto, pero ¿en realidad qué significa decir que dos ángulos son congruentes?”, agrega Zac. “Los ángulos son más que solo sus vértices”.

2.

¿Cómo pueden ayudar las preguntas de Zac y de Sione a mejorar el argumento de Zac?

Argumento de Sione:

“Comenzaría de la misma forma que tú. Trasladaría el punto hasta que coincidiera con el punto . Rotaría el segmento alrededor del punto hasta que coincidiera con el segmento . Por último, reflejaría el triángulo con respecto al segmento , dice Sione. “Pero me gustaría estar seguro de que los puntos y coinciden. Sé que un ángulo está formado por dos rayos que comparten un extremo común. Como sé que el rayo coincide con el rayo y que , eso significa que el rayo coincide con el rayo . También sé que el rayo coincide con el rayo y que , entonces el rayo debe coincidir con el rayo . Como el rayo y el rayo se intersecan en el punto , y el rayo y el rayo se intersecan en el punto , los puntos y también deben coincidir, porque los rayos correspondientes coinciden. Por lo tanto, , y , ¡porque ambos ángulos están formados por rayos que coinciden!”.

Al comienzo, Zac está confundido con el argumento de Sione, pero hace diagramas, marca y dibuja con detenimiento cada una de las afirmaciones hasta que poco a poco comienza a tener sentido.

3.

Haz lo mismo que Zac para darle sentido al argumento de Sione. ¿Qué ideas se hicieron más claras al dibujar su demostración? ¿Qué partes de su argumento no son claras para ti?

Aprendizajes

Cuando trabajamos con transformaciones, usamos palabras como coincide, superpuesto o es llevado a para referirnos a

Una forma de justificar una afirmación es usar el método de demostración por contradicción, en el que

Criterios suficientes que garantizan que dos triángulos son congruentes:

Criterios que no garantizan que dos triángulos sean congruentes (y observaciones sobre qué podría pasar si se presentan esas condiciones):

Notación, convenciones y vocabulario

Usamos la siguiente notación para indicar que las partes correspondientes de dos triángulos son congruentes.

Dados dos triángulos:

LAL (lado-ángulo-lado) significa:

ALA (ángulo-lado-ángulo) significa:

LLL (lado-lado-lado) significa:

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos que para poder afirmar que dos triángulos son congruentes, no es necesario saber que todos los pares de ángulos y lados correspondientes son congruentes. En muchos casos, basta con que tres partes correspondientes sean congruentes para garantizar la congruencia de los triángulos. Pudimos justificar los criterios de congruencia de los triángulos, apoyándonos en las propiedades de las transformaciones rígidas que preservan las medidas de distancia y las medidas de los ángulos.

Repaso

1.

Cuadrilátero Cuadrilatero

a.

Marca los lados y ángulos correspondientes en las figuras.

Quadrilateral WASP and Quadrilateral BLUE

b.

Haz una lista de las ocho afirmaciones de congruencia sobre los segmentos de recta y los ángulos.

c.

Indica si para llevar un cuadrilátero al otro usando transformaciones rígidas es necesario realizar una reflexión. Justifica tu respuesta.

2.

Despeja en la ecuación: