Lección 4 Triángulos congruentes Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
Analiza el diagrama.
¿El triángulo
Focos de aprendizaje
Explorar y justificar criterios de congruencia de triángulos usando transformaciones rígidas.
¿Qué necesito saber acerca de dos triángulos antes de poder decir que son congruentes?
¿Cómo puedo comprobar si un criterio que parece indicar que los triángulos son congruentes siempre funciona?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Sabemos que dos triángulos son congruentes si todos los pares de lados y ángulos correspondientes son congruentes. Quizás nos preguntemos si podemos garantizar que dos triángulos son congruentes teniendo menos información.
Por ejemplo, si sabemos que dos de los ángulos de los dos triángulos son congruentes, así como los lados entre ellos, ¿esto es suficiente para concluir que los dos triángulos son congruentes? Y si creemos que esa información es suficiente, ¿cómo podemos justificar que es cierto? El criterio anterior lo llamamos ALA (ángulo-lado-ángulo).
Este es un diagrama que muestra el criterio ALA de congruencia de triángulos:
1.
Según el diagrama, ¿cuáles ángulos son congruentes? ¿Cuáles lados son congruentes?
2.
Para convencernos de que estos dos triángulos son congruentes, ¿qué más necesitamos saber?
3.
Usa papel de calcar para encontrar una secuencia de transformaciones que muestre si estos dos triángulos son congruentes o no.
4.
Haz una lista de tu secuencia de transformaciones:
Tu secuencia de transformaciones es suficiente para mostrar que estos dos triángulos son congruentes, pero ¿cómo podemos garantizar que todos los triángulos que comparten el criterio ALA son congruentes?
Probablemente tu secuencia de transformaciones era como esta:
Trasladar el punto
hasta que coincida con el punto . Rotar el segmento
alrededor del punto hasta que coincida con el segmento . Reflejar el triángulo
con respecto a la recta .
Podemos usar la palabra coincidir cuando queremos decir que dos puntos o segmentos de recta ocupan la misma posición en el plano. Cuando hagamos argumentos con transformaciones, usaremos mucho esta palabra.
Ahora la pregunta es: ¿cómo sabemos que después de la reflexión, el punto
5.
Justifica por qué el criterio ALA garantiza que dos triángulos son congruentes. Responde este problema lo mejor que puedas. Puede ser útil pensar en cómo sabes que el punto
Usa papel de calcar para experimentar con los siguientes pares de triángulos. Intenta determinar si puedes encontrar una secuencia de transformaciones que muestre que los triángulos son congruentes. Ten cuidado: puede haber algunos que no lo sean. Si, después de experimentar, los triángulos parecen ser congruentes, escribe un argumento que explique cómo sabes que este tipo de criterio siempre funciona. Es decir, ¿qué garantiza que los lados y ángulos sin marcar también coinciden?
6.
Criterio:
¿Son congruentes los triángulos?
Escribe tus transformaciones en el orden que las realizaste:
Si los triángulos son congruentes, justifica por qué esto siempre será cierto teniendo en cuenta el criterio:
7.
Criterio:
¿Son congruentes los triángulos?
Escribe tus transformaciones en el orden que las realizaste:
Si los triángulos son congruentes, justifica por qué esto siempre será cierto teniendo en cuenta el criterio:
8.
Criterio:
¿Son congruentes los triángulos?
Escribe tus transformaciones en el orden que las realizaste:
Si los triángulos son congruentes, justifica por qué esto siempre será cierto teniendo en cuenta el criterio:
9.
Criterio:
¿Son congruentes los triángulos?
Escribe tus transformaciones en el orden que las realizaste:
Si los triángulos son congruentes, justifica por qué esto siempre será cierto teniendo en cuenta el criterio:
10.
Basándote en estos experimentos y en tus justificaciones, ¿qué criterios o condiciones parecen garantizar que dos triángulos serán congruentes? Haz una lista de todos los ejemplos que puedas. Asegúrate de incluir el criterio ALA, que trabajamos al inicio.
11.
Tu amigo quiere agregar el criterio AAL a tu lista, a pesar de que no has experimentado con este caso en particular. ¿Qué piensas? ¿Se debería agregar o no? ¿Qué te hace estar convencido de que tienes razón?
12.
Tu amigo también quiere agregar HC (hipotenusa-cateto) a tu lista, a pesar de que no has experimentado con triángulos rectángulos y de que sabes que LLA no funciona en general, a partir de tu trabajo en el problema 8. ¿Qué piensas? ¿Se debería agregar HC para los triángulos rectángulos, o no? ¿Qué te hace estar convencido de que tienes razón?
¿Listo para más?
Mientras Sione y Zac trabajan en el primer problema de esta lección, hacen críticas de sus argumentos y se esfuerzan por mejorar la precisión de su lenguaje.
Sione ha estado observando a Zac experimentar con el siguiente par de triángulos que tienen tres partes correspondientes que son congruentes. Le surge esta duda: “Encontraste condiciones que hacen que los triángulos sean congruentes en tus experimentos, ¿cómo sabemos que esas condiciones funcionan para todos los triángulos, y no solo para estos triángulos?”.
Argumento de Zac:
Zac dice: “Entiendo lo que hice con el primer grupo de triángulos. Creo que puedo hacer lo mismo con cualquier par de triángulos que tengan marcados como congruentes un ángulo, un lado y un ángulo (las partes del criterio ALA)”.
“Podemos trasladar el punto
¿Qué piensas acerca del argumento de Zac? ¿Con ese argumento estás convencido de que los dos triángulos son congruentes? ¿Faltan ideas fundamentales que crees que se deberían tener en cuenta? Reflexiona sobre estas preguntas mientras lees la discusión de Sione y Zac.
Sione no está seguro de que el argumento de Zac sea muy convincente. Le pregunta a Zac: “¿Cómo sabes que el punto
1.
¿Cómo crees que Zac podría responder la pregunta de Sione?
Mientras Zac piensa en una respuesta a la pregunta, Sione añade lo siguiente: “En realidad, no usaste toda la información sobre las partes congruentes de los triángulos”.
“¿Qué quieres decir?”, pregunta Zac.
Sione responde: “Comenzaste usando el hecho de que
“Es cierto, pero ¿en realidad qué significa decir que dos ángulos son congruentes?”, agrega Zac. “Los ángulos son más que solo sus vértices”.
2.
¿Cómo pueden ayudar las preguntas de Zac y de Sione a mejorar el argumento de Zac?
Argumento de Sione:
“Comenzaría de la misma forma que tú. Trasladaría el punto
Al comienzo, Zac está confundido con el argumento de Sione, pero hace diagramas, marca y dibuja con detenimiento cada una de las afirmaciones hasta que poco a poco comienza a tener sentido.
3.
Haz lo mismo que Zac para darle sentido al argumento de Sione. ¿Qué ideas se hicieron más claras al dibujar su demostración? ¿Qué partes de su argumento no son claras para ti?
Aprendizajes
Cuando trabajamos con transformaciones, usamos palabras como coincide, superpuesto o es llevado a para referirnos a
Una forma de justificar una afirmación es usar el método de demostración por contradicción, en el que
Criterios suficientes que garantizan que dos triángulos son congruentes:
Criterios que no garantizan que dos triángulos sean congruentes (y observaciones sobre qué podría pasar si se presentan esas condiciones):
Notación, convenciones y vocabulario
Usamos la siguiente notación para indicar que las partes correspondientes de dos triángulos son congruentes.
Dados dos triángulos:
LAL (lado-ángulo-lado) significa:
ALA (ángulo-lado-ángulo) significa:
LLL (lado-lado-lado) significa:
Vocabulario
- coincidir (sobreponer o llevar a)
- contraejemplo
- criterios de congruencia de triángulos: ALA, LAL, AAL, LLL
- demostración por contradicción
- partes correspondientes (en un triángulo)
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos que para poder afirmar que dos triángulos son congruentes, no es necesario saber que todos los pares de ángulos y lados correspondientes son congruentes. En muchos casos, basta con que tres partes correspondientes sean congruentes para garantizar la congruencia de los triángulos. Pudimos justificar los criterios de congruencia de los triángulos, apoyándonos en las propiedades de las transformaciones rígidas que preservan las medidas de distancia y las medidas de los ángulos.
1.
Cuadrilátero
a.
Marca los lados y ángulos correspondientes en las figuras.
b.
Haz una lista de las ocho afirmaciones de congruencia sobre los segmentos de recta y los ángulos.
c.
Indica si para llevar un cuadrilátero al otro usando transformaciones rígidas es necesario realizar una reflexión. Justifica tu respuesta.
2.
Despeja