Lección 4 Círculos de adentro hacia afuera Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Este problema fue el “Boleto de salida” de la lección anterior.

Dado que: es un diámetro del círculo que se muestra en el diagrama.

Circle with inscribed angles ACB, ADB, and AEB.

1.

¿Qué observas acerca de los tres ángulos inscritos, , y ?

2.

Enuncia un teorema teniendo en cuenta estas observaciones.

Focos de aprendizaje

Analizar las relaciones que hay entre ángulos circunscritos y círculos.

Anteriormente, aprendimos que un círculo se puede inscribir en un triángulo de manera que el círculo sea tangente a los tres lados. ¿Qué relación hay entre los radios del círculo inscrito y los lados del triángulo que son tangentes al círculo?

¿Cómo construyo rectas que sean tangentes a un círculo a partir de un punto que está fuera del círculo?

¿Cómo mido el ángulo circunscrito que se forma cuando dos rectas tangentes al círculo se intersecan?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la lección “Centros de un triángulo" te debiste convencer, a partir de las notas de Kolton y el diagrama, de que es posible ubicar un punto que sea equidistante de los tres lados de un triángulo. Por eso, para todo triángulo es posible encontrar un círculo que se inscriba en el triángulo.

1.

Básate en el trabajo de Kolton para construir, con regla y compás, los círculos que se pueden inscribir en los siguientes triángulos.

Triangle ABC, Triangle MON, Triangle QRS

2.

Después de ubicar el centro del círculo inscrito, ¿cómo sabes dónde están ubicados los puntos de tangencia del círculo y los lados del triángulo?

Para construir un círculo inscrito en el problema 1, no bastó ubicar el centro del círculo inscrito usando las bisectrices. También tuvimos que ubicar los puntos en los lados de los triángulos que eran equidistantes del centro. Al experimentar o al razonar, debiste concluir que estos puntos están en las rectas perpendiculares a los lados del triángulo y que pasan por el centro del círculo. Usaremos esta observación durante el resto de la lección. (Si aún no estás convencido de que la siguiente afirmación es verdadera, sigue pensando en cómo justificarla durante el resto de la sección “Exploración”).

Teorema: Una recta tangente a un círculo es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

3.

Los ángulos formados por rectas que son tangentes a un círculo se llaman ángulos circunscritos. Usa un transportador para medir los ángulos circunscritos con relación a los arcos que ellos intersecan en cada uno de los triángulos del problema 1. Haz una conjetura sobre las medidas de los ángulos circunscritos. Después, demuestra tu conjetura usando lo que ya sabes sobre ángulos inscritos y ángulos centrales.

Mi conjetura sobre las medidas de ángulos circunscritos:

Demostración de mi conjetura:

Circle D with circumscribed angle ABC

¿Qué más podemos aprender sobre los cuadriláteros cuyos vértices son el centro del círculo, los dos puntos de tangencia y el vértice del ángulo circunscrito, como se muestra en el diagrama?

4.

Demuestra que:

Circle D with circumscribed angle ABC and chord AC

El cuadrilátero es un ejemplo de un tipo de cuadrilátero que se llama una cometa.

5.

Demuestra que la diagonal biseca los ángulos opuestos .

6.

Demuestra que las diagonales de una cometa son perpendiculares entre sí.

¿Listo para más?

A partir de tu trabajo en esta actividad y en la anterior, describe un procedimiento para construir una recta que sea tangente a un círculo y que pase por un punto dado fuera del círculo. ¿Puedes demostrar que tu procedimiento funciona?

Revisa tu estrategia con un compañero y mejora tu demostración de que siempre funciona para construir una recta tangente a un círculo.

Aprendizajes

Teorema: Los ángulos inscritos en un semicírculo (medio círculo) porque .

El ángulo circunscribe al círculo si:

La medida de un ángulo circunscrito es:

Circle D with circumscribed angle ABC

Los segmentos tangentes que van desde hasta son .

El cuadrilátero es una cometa. Un cuadrilátero es una cometa si cumple las siguientes condiciones:

Las diagonales de una cometa son .

Resumen de la lección

En esta lección descubrimos un tipo de cuadrilátero que se llama cometa, que apareció al inscribir un círculo dentro de un triángulo. Dos lados de la cometa van desde el vértice del ángulo circunscrito hasta los puntos de tangencia en el círculo. Los otros dos lados son los radios del círculo que van hasta los puntos de tangencia. Analizamos las características de la cometa y desarrollamos una fórmula para la medida del ángulo circunscrito con relación al arco intersecado.

Repaso

1.

En el triángulo , dibuja la altura que va del vértice al lado opuesto. Después, usa trigonometría para encontrar la medida de la altura. Deja tu respuesta en términos de , o .

(Pista: La respuesta será una ecuación de la forma ).

Triangle ABC with Angle C 49 degrees and AC 17

2.

Escribe la ecuación trigonométrica que se necesita para encontrar el ángulo . Después, despeja .

Right triangle ABC with Angle C x, adjacent side 75 m, and opposite side 30 m.