Lección 1 ¡Centrado! Desarrollo mi comprensión
Actividad inicial
En actividades anteriores definimos un círculo como el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto llamado el centro. También definimos círculos concéntricos como dos o más círculos que tienen el mismo centro. En esta unidad serán útiles muchos otros términos relacionados con círculos. La siguiente actividad te ayudará a familiarizarte con estos términos.
Haz lo siguiente con un compañero:
Lean la definición de un término. Dibujen un ejemplo del término en uno de los dos círculos y márquenlo con el término nuevo del vocabulario. Deben decidir juntos si el dibujo propuesto corresponde a la definición.
Hagan lo anterior hasta que todos los términos se hayan mostrado y marcado en el diagrama.
Nota: Si les ayuda, usen lápices de colores para escribir comentarios en sus diagramas.
Cuerda: un segmento de recta cuyos extremos están sobre el círculo.
Secante: una recta que interseca el círculo en exactamente dos puntos.
Tangente: una recta que interseca el círculo exactamente en un punto.
Diámetro: una cuerda que pasa por el centro del círculo.
Radio: un segmento de recta que tiene un extremo en el centro del círculo y el otro extremo en un punto del círculo.
Nota: Las palabras radio y diámetro también se usan para referirse a las longitudes de estos segmentos.
Arco: una parte de un círculo.
Ángulo central: un ángulo en el cual el vértice está en el centro del círculo y los lados pasan por un par de puntos del círculo.
Ángulo inscrito: un ángulo que se forma cuando dos cuerdas, dos rectas secantes o una recta secante y una tangente se intersecan en un punto del círculo.
Arco intersecado: la parte de un círculo que está entre dos rectas, rayos o segmentos de recta que intersecan el círculo.
Focos de aprendizaje
Encontrar el centro de rotación a partir de dos figuras que son la preimagen y la imagen.
¿Cómo se puede ubicar el centro de una rotación dada solo a partir de las figuras que son la preimagen y la imagen final?
Al usar un compás para dibujar un círculo, se empieza con un punto como centro y un radio, y después se construye el círculo. Pero ¿qué pasa si el círculo ya está dibujado? ¿Cómo se averigua la ubicación de su centro y el valor de su radio?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Franklin y Fabio saben cómo construir la imagen de una rotación si conocen el centro y el ángulo de rotación, pero hoy encontraron un problema diferente: ¿cómo encontrar el centro de rotación si se conoce la preimagen y su imagen rotada? Ellos decidieron explorar esta idea con sus amigos Miranda y Mateo.
Cada pareja de amigos crea un “acertijo” para la otra pareja. Una pareja hace un dibujo en papel cuadriculado en el que se muestra la rotación de una figura, pero no se marca el centro de rotación. La otra pareja tiene que descifrar dónde está el centro de rotación. Estos son los “acertijos” creados por cada pareja.
El acertijo de Franklin y Fabio
El acertijo de Miranda y Mateo
Miranda y Mateo creen que el acertijo que inventaron es demasiado fácil porque solo tiene un punto que es la preimagen y otro que es el punto rotado.
Miranda dice: “El centro de rotación está en
Mateo está en desacuerdo. Él dice: “El centro de rotación está en el punto
Entre risas, Fabio dice: “Están equivocados. No usamos
Miranda responde: “Puedo ver cómo los dos puntos que sugerimos pueden ser el centro de rotación, pero ahora creo que si solo tenemos un par de puntos que son la preimagen y la imagen, entonces cualquier punto puede ser el centro de rotación”.
1.
Este acertijo resultó ser más complicado de lo que Miranda y Mateo creían. Escribe al menos tres puntos más que se podrían considerar como el centro de rotación y justifica cada elección.
2.
Recuerda la última afirmación de Miranda: “Cualquier punto puede ser el centro de rotación”. ¿Qué piensas sobre esta afirmación?, ¿estás de acuerdo o en desacuerdo? Si estás de acuerdo, explica por qué. Si estás en desacuerdo, sugiere una mejor afirmación acerca del conjunto de puntos que se pueden usar como el centro de rotación de un solo punto rotado y su preimagen.
3.
Ahora analiza el acertijo que Miranda y Mateo le plantearon a Franklin y Fabio. Encuentra el centro de rotación en este caso. Si crees que puede haber más de un centro de rotación, describe cómo se relacionan todos los posibles centros de rotación.
4.
Describe y muestra un proceso para encontrar el centro de rotación de una figura con ayuda de las mediatrices de segmentos que unen varios pares de puntos de preimagen e imagen. Demuestra que tu proceso funciona. Es decir, asegúrate de demostrar todas las afirmaciones que hagas. Usa un vocabulario matemático correcto. Al escribir tu descripción, puedes usar algunos de estos términos asociados con círculos que definiste en la “Actividad inicial”.
(Nota: No todas las palabras serán útiles para responder el problema 4, pero lo serán en actividades futuras. Por eso, aquí se dan como referencia).
Círculo
Círculos concéntricos
Cuerda
Secante
Tangente
Diámetro
Radio
Arco
Ángulo central
Ángulo inscrito
Arco intersecado
Mi proceso para encontrar el centro de rotación de una figura que tiene varios pares de puntos de preimagen e imagen, junto con mi justificación de por qué el proceso funciona:
¿Listo para más?
Demuestra el siguiente teorema: En un círculo, la mediatriz de una cuerda biseca el ángulo central que está formado por los radios que van del centro del círculo hasta los extremos de la cuerda.
Aprendizajes
Dados dos puntos en un plano, un punto se puede llevar al otro con una rotación centrada en
Dada una figura formada por varios pares de preimagen e imagen, el centro de rotación se puede encontrar así:
Describe:
Muestra:
A partir de estas ideas, podemos demostrar que un ángulo central de un círculo se puede bisecar así:
Describe:
Muestra:
Vocabulario
Resumen de la lección
En esta lección pensamos cómo encontrar el centro de una rotación si solo tenemos la preimagen y la imagen. Esto nos llevó a usar una estrategia que involucra mediatrices de segmentos. Usamos este teorema: los puntos de la mediatriz de un segmento son equidistantes de los extremos del segmento. También usamos su recíproco: los puntos equidistantes de los extremos de un segmento están en su mediatriz. Encontramos una relación entre las mediatrices y la transformación de rotación. Con esta relación demostramos un teorema sobre el ángulo central que se forma al dibujar radios que van hasta los extremos de una cuerda.
1.
Los trapecios
2.
Encuentra el área y la circunferencia de un círculo que tiene un radio de