Lección 2 Dilataciones en círculo Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Tracé el borde de un plato en un papel y recorté este círculo. Quiero ubicar su centro sin doblar el papel por la mitad porque dañaría el círculo. ¿Cómo puedo hacerlo?

1.

Este problema fue el “Boleto de salida” de la lección anterior. Describe tu estrategia para encontrar el centro del círculo de tu compañero.

2.

Con tu compañero, describan cómo lo anterior les puede ayudar a encontrar el área o la circunferencia de este círculo.

Focos de aprendizaje

Demostrar que todos los círculos son semejantes.

Parece intuitivamente obvio que los círculos son semejantes. Pero ¿cómo demostrarlo?

¿Qué características clave de los círculos se muestran en el hecho de que todos los círculos son semejantes?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

La afirmación “todos los círculos son semejantes” puede parecer razonable porque todos los círculos tienen la misma forma, aunque tengan tamaños diferentes. Sin embargo, podemos aprender mucho acerca de las propiedades de los círculos al demostrar esta afirmación.

Recuerda que en la definición de semejanza se pide encontrar una secuencia de dilataciones y de transformaciones rígidas que lleven una figura a la otra.

Liam le describe a Noah cómo se podría demostrar que el círculo $A$ es semejante al círculo $B$ .

Liam dice: “Trasladamos el círculo $A$ hasta que su centro coincida con el centro del círculo $B$ . Después, ampliamos el círculo $A$ usando una dilatación hasta que los puntos del círculo $A$ coincidan con los puntos del círculo $B$ . O podemos encoger el círculo $B$ usando una dilatación hasta que los puntos del círculo $B$ coincidan con los puntos del círculo $A$ ”.

Noah tiene algunas preguntas:

“Después de la traslación, ¿cuál es el factor de escala de la ampliación que lleva el círculo $A$ al círculo $B$ ?”.
“¿Cuál es el factor de escala de la reducción que lleva el círculo $B$ al círculo $A$ ?”.
“¿Cómo sabes que el resultado de la dilatación todavía es un círculo?”.

1.

¿Cómo responderías las preguntas de Noah?

Teniendo en cuenta la discusión de Liam y Noah, probablemente estamos convencidos de que el círculo $A$ y el círculo $B$ son semejantes. Otra manera de convencernos de que los dos círculos son semejantes consiste en encontrar el punto en la recta $\overset{\leftrightarrow}{R S}$ que es el centro de la dilatación que lleva el círculo $A$ al círculo $B$ .

2.

Ubica en $\overset{\leftrightarrow}{R S}$ el centro de la dilatación que lleva el círculo $A$ al círculo $B$ . Explica cómo sabes que el punto que encontraste es el centro de la dilatación. (Observa que ambos círculos se dibujaron de manera que fueran tangentes a $\overset{\leftrightarrow}{R S}$ ).

3.

Dibuja algunas cuerdas, triángulos u otros polígonos inscritos en cada círculo que sean semejantes entre sí. Explica cómo sabes que las figuras correspondientes son semejantes.

4.

Usa las figuras que dibujaste en el problema 3 para escribir afirmaciones sobre proporcionalidad que sepas que son verdaderas.

5.

Tal vez no hayas considerado esta afirmación sobre proporcionalidad. ¿Cómo puedes convencerte de que es verdadera?

$\frac{circunferencia de un c \overset{´}{ı} rculo A}{di \overset{´}{a} metro de un c \overset{´}{ı} rculo A} = \frac{circunferencia de un c \overset{´}{ı} rculo B}{di \overset{´}{a} metro de un c \overset{´}{ı} rculo B}$

Como la razón de la circunferencia al diámetro es el mismo factor de escala para todos los círculos, se le ha dado el nombre $π$ (pi).

6.

¿La circunferencia del círculo $B$ es cuántas veces la circunferencia del círculo $A$ ?

7.

¿Crees que la siguiente ecuación de proporción es verdadera o falsa? ¿Por qué?

$\frac{\overset{´}{a} rea del c \overset{´}{ı} rculo B}{\overset{´}{a} rea del c \overset{´}{ı} rculo A} = \frac{circunferencia del c \overset{´}{ı} rculo B}{circunferencia del c \overset{´}{ı} rculo A}$

¿Listo para más?

Desarrolla una estrategia para encontrar el centro de dilatación de dos círculos que no tienen sus centros marcados.

Aprendizajes

Cuando encontramos el centro de un círculo, usamos los siguientes teoremas:

Todos los círculos son semejantes.

Una manera en la que podemos demostrar esto es trasladar y después dilatar con un factor de y con centro en .

Otra manera en la que podemos demostrar esto es encontrar el centro de dilatación que lleva un círculo a otro. Para encontrar este centro, podemos dibujar las dos rectas siguientes de forma que estas unan puntos correspondientes en los dos círculos:

El centro de dilatación será la intersección de estas dos rectas.

Para encontrar el factor de escala de esta dilatación, podemos , que será lo mismo que .

En círculos semejantes, las características que se pueden medir y que están relacionadas por medio de este factor de escala incluyen , y .

El factor de escala del área entre dos círculos semejantes es

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a demostrar que dos círculos son semejantes. Un método consistió en trasladar un círculo y hacerlo coincidir con el otro círculo. Después, podemos dilatar el círculo más pequeño con respecto a este centro común hasta que coincida con el círculo exterior. Un segundo método consistió en encontrar el centro de dilatación que llevaría un círculo al otro. Al usar las fórmulas para encontrar la circunferencia o el área de círculos, estábamos suponiendo que todos los círculos son semejantes.

Repaso

1.

Encuentra las medidas de los ángulos $x$ y $y$ .

2.

Construye la recta de reflexión. Después, escribe la ecuación de la recta de reflexión.

Ecuación: