Lección 10 Apunta el camino Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Encontrar patrones útiles para escribir ecuaciones de funciones lineales.

¿Hay formas diferentes de escribir la ecuación de una recta?

¿Qué información nos da cada parte de la ecuación de una recta?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

La abuela Billings está haciendo una colcha uniendo varias piezas de tela. Zac y Sione observan y piensan cómo predecir el número de piezas de tela de la colcha en este patrón:

Zac dice: “Me doy cuenta de que cada vez se agregan dos piezas de tela. Pensé que sería más fácil si pudiera imaginar la intersección con el eje $y$ , así que pensé en cómo se vería el 'Patrón 0'. Al restar $2$ , quedaría $1$ pieza de tela para el caso $x = 0$ , por eso escribí $B = 2 n + 1$ ”.

Sione dijo: “También me di cuenta de que el patrón crecía dos cada vez. Vi que el patrón 1 solo tiene $3$ piezas de tela. El patrón 2 tiene $3$ piezas de tela en el centro más $2$ grupos de $1$ pieza de tela en cada lado. El patrón 3 tiene $3$ piezas de tela en el centro más $2$ grupos de $2$ piezas de tela en cada lado. Por eso, escribí $B = 2 (n - 1) + 3$ ”.

1.

¿Qué significa $2 (n - 1)$ en la ecuación de Sione?

2.

¿Las ecuaciones que escribieron Zac y Sione son equivalentes? ¿Cómo lo sabes?

Marcus se unió a la conversación y dijo: “Observé la tira de piezas de tela del medio en los patrones 3 y 4, y me di cuenta de que también se podría escribir $B = 2 (n - 2) + 5$ y $B = 2 (n - 3) + 7$ ”.

3.

¿Estás de acuerdo con Marcus? ¿Todas esas ecuaciones son equivalentes a la ecuación de Zac?

Sione dijo: “¿Qué está pasando aquí? Voy a crear una tabla para entender mejor todo esto”. Sione hizo la siguiente tabla y descubrió un patrón en ella y en las ecuaciones que habían escrito.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (n)$	$1$	$1 + 2$	$1 + 2 + 2 = 5$	$1 + 2 + 2 + 2 = 7$	$1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9$

Sione dijo: “Usé el patrón que vi en la tabla para escribir otra ecuación: $f (n) = 2 (n - 4) + 9$ ”.

Zac dijo: “Ni siquiera necesito ver la tabla. Creo que $f (n) = 2 (n - 5) + 11$ es otra ecuación equivalente”.

4.

Analiza la tabla y compárala con las ecuaciones que se han escrito. Explica cómo Sione pudo haber usado la tabla para descubrir la ecuación $y = 2 (n - 4) + 9$ .

5.

Usa el método de Sione para encontrar una ecuación de acuerdo a cada una de las siguientes tablas.

a.

$x$	$y$
$32$	$50$
$33$	$55$
$34$	$60$

b.

$x$	$y$
$26$	$78$
$28$	$70$
$30$	$62$

c.

$x$	$y$
$- 15$	$32$
$- 14$	$39$
$- 13$	$46$

6.

¿Qué información necesitas para escribir una ecuación usando este método?

7.

Escribe la ecuación de la recta que se muestra en la gráfica usando este método.

8.

Usa este método para escribir la ecuación de la recta con pendiente $- 3$ que contiene al punto $(- 1, - 5)$ .

9.

Zac tiene un reto: “Te apuesto que no puedes usar el patrón para escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos $(1, - 3)$ y $(3, - 5)$ . ¡Inténtalo!”.

10.

Sione todavía está pensando en el patrón: “Me pregunto si podemos usar este patrón para graficar rectas pensando en el punto de partida y usando la pendiente”. Intenta hacer eso con la ecuación $f (x) = - 2 (x + 1) - 3$ .

Punto de partida:

Pendiente:

11.

Zac se pregunta: “¿Qué tienen de especial las rectas para que todo esto funcione?”. ¿Qué le responderías a Zac?

¿Listo para más?

La abuela Billings empezó a armar su colcha y creó esté patrón de crecimiento:

Intenta encontrar al menos dos ecuaciones equivalentes para modelar el número de cuadrados del patrón.

Aprendizajes

La forma punto-pendiente viene de la fórmula de la pendiente:

Al reorganizar un poco:

Vocabulario

forma punto-pendiente de una recta
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos un patrón nuevo y eficiente para escribir la ecuación de una recta. El método se puede usar con una tabla, una gráfica o dos puntos cualquiera de la recta.

Repaso

Crea una gráfica y una ecuación explícita a partir de la información dada.

1.

El primer término es $2$ y los términos aumentan de $3$ en $3$ .

Ecuación:

2.

El primer término es $2$ y cada nuevo término es $3$ veces el término anterior.

Ecuación:

Reescribe cada expresión agrupando términos semejantes.

3.

$24 - 10 (2 x + 8) + 62 + 7 x$

4.

$7 (2 x + 1) - 5 x - 3 (3 x + 1)$