Lección 5 Potencias gemelas Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Muestra con un ejemplo por qué funciona cada una de estas reglas de los exponentes:

1.

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

2.

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

3.

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

4.

${(a \cdot b)}^{m} = a^{m} \cdot b^{m}$

5.

${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$

Usa la regla 3 para completar estas afirmaciones:

6.

Por la regla 3, $\frac{a^{3}}{a^{3}} = \underset{―}{}$ . Al dividir entre los factores comunes y simplificar, queda $\frac{a^{3}}{a^{3}} = \underset{―}{}$ .

Entonces, $\underset{―}{}$ .

7.

Por la regla 3, $\frac{a^{3}}{a^{4}} = \underset{―}{}$ . Al dividir entre los factores comunes y simplificar, queda $\frac{a^{3}}{a^{4}} = \underset{―}{}$ .

Entonces, $\underset{―}{}$ .

Focos de aprendizaje

Relacionar las características clave de las funciones exponenciales con las propiedades de los exponentes negativos.

Reescribir expresiones exponenciales que incluyen exponentes negativos.

¿Cómo me ayuda mi comprensión de las propiedades de los exponentes a explicar las características clave de las funciones exponenciales?

¿Cómo me ayuda mi comprensión de las propiedades de los exponentes a reescribir expresiones exponenciales que tienen exponentes negativos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Carlos y Clarita trabajaban en su tarea de matemáticas y se dieron cuenta de algo interesante.

Carlos: “Estuve mirando la gráfica de $f (x) = 2^{x}$ en mi calculadora para entender cómo son los valores de salida para las entradas negativas. Veo esto”.

1.

¿Qué observas en la gráfica de Carlos, en particular cuando $x$ es negativo?

Clarita: “A veces nos ayuda hacer una tabla y buscar patrones en los números. Voy a intentarlo”.

2.

Completa la tabla de Clarita. Asegúrate de que tu tabla corresponda a la gráfica y registra cualquier patrón que veas. Durante toda la actividad, usa fracciones en vez de decimales para visualizar los patrones más fácilmente.

$x$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 4$
$f (x) = 2^{x}$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$

Carlos: “Hay algo muy raro. Mira la gráfica de $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ”.

3.

Compara las gráficas de $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ y $f (x) = 2^{x}$ . ¿En qué se parecen y en qué se diferencian?

Clarita: “Deberíamos hacer una tabla para comparar las dos funciones. Agregué una fila a mi tabla anterior”.

4.

a.

Completa la tabla de Clarita y asegúrate de que corresponde a las gráficas de las funciones.

$x$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 4$
$f (x) = 2^{x}$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$
$g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

b.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian los valores de la tabla?

¿Cómo explicarías las semejanzas y diferencias que observaste?

Carlos: “Recuerdo la propiedad de exponentes negativos que dice que $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ . Los exponentes negativos siempre tienen un ‘gemelo’: una expresión equivalente que se escribe con un exponente positivo”.

5.

Explica cómo se relaciona lo que Carlos recuerda sobre los exponentes negativos con lo que observaste en $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ y $f (x) = 2^{x}$ , o con la actividad anterior sobre exponentes negativos.

Clarita: “Creo que podemos tratar de usar estos exponentes negativos con bases que sean diferentes a $2$ ”.

6.

Intenta aplicar la regla de la multiplicación, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , a estas expresiones. Cuando termines, usa otro método para verificar que tus respuestas son correctas.

a.

$2^{5} \cdot 2^{- 3}$

b.

$3^{2} \cdot 3^{- 2}$

7.

Intenta aplicar la regla de la división, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ , a estas expresiones. Cuando termines, usa otro método para verificar que tus respuestas son correctas.

a.

$\frac{3^{2}}{3^{- 1}}$

b.

$\frac{5^{- 2}}{5^{3}}$

8.

Intenta aplicar la regla de la potencia de una potencia, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ , a estas expresiones. Cuando termines, usa otro método para verificar que tus respuestas son correctas.

a.

${(3^{3})}^{- 2}$

b.

${(5^{- 1})}^{- 2}$

Carlos: “Al trabajar con exponentes negativos, me he dado cuenta de algo: ¡puedo encontrar dos expresiones exponenciales distintas para la misma función!”.

9.

Carlos ya escribió $g (x) = {\frac{1}{2}}^{x}$ para esta función. ¿En qué otra expresión está pensando?

10.

¿Puedes escribir dos expresiones diferentes para esta función?

Clarita: “¡Guau!, interesante. Entonces, ¿cómo puedo saber si una función exponencial es siempre creciente o siempre decreciente antes de graficarla?”.

11.

¿Cómo responderías la pregunta de Clarita?

¿Listo para más?

Pensemos en exponentes negativos con bases negativas. Encuentra los siguientes valores:

a.

${(- 3)}^{- 2}$

b.

${(- 3)}^{- 3}$

c.

$- 3^{- 2}$

d.

¿Qué pasa si intentamos usar $- 3$ como base de la función exponencial? Marca algunos puntos de la gráfica de $f (x) = {(- 3)}^{x}$ . Asegúrate de usar valores enteros positivos y negativos, y también valores fraccionarios de $x$ .

Aprendizajes

Para manipular expresiones que tienen exponentes negativos, aprendí algunas estrategias útiles como:

En los últimos días aprendí varias cosas sobre las funciones exponenciales. Cada una de estas observaciones puede justificarse con las propiedades de los exponentes:

Del comportamiento final de la función exponencial podemos decir que uno de sus extremos se aproxima al eje $x$ como asíntota:

Vocabulario

asíntota
asíntota horizontal
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección nos dimos cuenta de varias características de las gráficas y las tablas de las funciones exponenciales que se pueden explicar usando nuestra comprensión de los exponentes negativos. También usamos las reglas de los exponentes para cambiar la forma de las expresiones numéricas que tienen exponentes negativos.

Repaso

Reescribe los radicales.

1.

$\sqrt{18}$

2.

$\sqrt[3]{24}$

3.

$\sqrt[5]{64}$

4.

$\sqrt{75}$

Usa las reglas de las funciones para encontrar los valores indicados.

5.

$f (x) = 5 x - 8$

a.

Encuentra $f (3)$ .

b.

Encuentra $x$ si $f (x) = 27$ .

c.

Encuentra $f (- 2)$ .

6.

$g (x) = 3 {(4)}^{x}$

a.

Encuentra $g (4)$ .

b.

Encuentra $x$ si $g (x) = 12$ .

c.

Encuentra $g (- 1)$ .