Lección 10 Sistemas a toda marcha Practico lo que aprendí

Actividad inicial

En el “Boleto de salida” de la lección anterior resolviste el siguiente problema. Hoy podrás ver todos los métodos que tus compañeros usaron para resolverlo.

Soluciona el siguiente sistema de dos ecuaciones en dos variables usando cualquiera de las siguientes estrategias: $\begin{matrix} - 4 x + 3 y = 8 \\ 4 x - 2 y = 4 \end{matrix}$

Con una gráfica
Con el método de sustitución
Con el método de eliminación de variables
Con matrices y reducción por filas (por ejemplo, obtener valores de $1$ y $0$ en las posiciones adecuadas de la matriz al sumar filas o multiplicarlas por una constante)
Con una ecuación de matrices y la matriz inversa multiplicativa

Focos de aprendizaje

Solucionar sistemas de ecuaciones lineales de $n \times n$ .

¿Cuál es la manera más eficiente de solucionar sistemas de ecuaciones que tienen $n$ variables y $n$ ecuaciones lineales?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Carlos y Clarita intentan averiguar el precio de un galón de pintura, de una brocha y de un rollo de cinta de enmascarar basándose en las siguientes compras:

Semana 1: Carlos compró $2$ galones de pintura y $1$ rollo de cinta de enmascarar. Pagó $$ 30$ .

Semana 2: Carlos compró $1$ galón de pintura y $4$ brochas. Pagó $$ 20$ .

Semana 3: Carlos compró $2$ brochas y $1$ rollo de cinta de enmascarar. Pagó $$ 10$ .

En la actividad anterior, “Retomemos: Solucionemos sistemas usando matrices”, analizaste un método para solucionar sistemas usando una ecuación de matrices y la matriz inversa multiplicativa. En esta actividad queremos extender esta estrategia e incluir sistemas que tienen más de dos ecuaciones y más de dos variables.

1.

Multiplica cada par de matrices:

a.

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}]$

b.

$[\begin{matrix} 0.4 & 0.2 & - 0.4 \\ - 0.1 & 0.2 & 0.1 \\ 0.2 & - 0.4 & 0.8 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}]$

2.

¿Qué propiedad se muestra en la multiplicación del problema 1a?

3.

¿Qué propiedad se muestra en la multiplicación del problema 1b?

4.

El siguiente sistema de ecuaciones representa el problema de Carlos y Clarita. Reescribe el sistema como una ecuación de matrices en la forma $A X = B$ , donde $A$ , $X$ y $B$ son matrices.

$\begin{matrix} 2 g + 0 b + 1 t = 30 \\ 1 g + 4 b + 0 t = 20 \\ 0 g + 2 b + 1 t = 10 \end{matrix}$

5.

Soluciona tu ecuación de matrices usando la multiplicación de matrices. Muestra en detalle lo que hiciste para que los demás puedan entenderlo.

Haz una pausa y reflexiona

Pudimos solucionar fácilmente la ecuación anterior con multiplicación de matrices porque ya teníamos la inversa multiplicativa de $A$ . La inversa multiplicativa de una matriz de $2 \times 2$ se puede encontrar a mano fácilmente con los métodos de las lecciones anteriores. En cambio, la inversa multiplicativa de una matriz de $n \times n$ puede ser difícil de encontrar a mano. En estos casos usaremos tecnología para encontrarla y por eso este método se podrá usar en todos los sistemas lineales de $n$ ecuaciones y $n$ cantidades desconocidas. Puedes usar recursos en línea como https://openup.org/XsBpit.

6.

Soluciona el siguiente sistema usando una ecuación de matrices y matrices inversas multiplicativas. Puedes usar tecnología para encontrar la matriz inversa multiplicativa. Asegúrate de escribir todo lo que usas, incluida la matriz inversa multiplicativa.

$\begin{matrix} x + 2 y + 2 z = 16 \\ 2 x + y + 3 z = 17 \\ x + 2 y + z = 13 \end{matrix}$

7.

Soluciona el siguiente sistema usando una ecuación de matrices y matrices inversas multiplicativas. Puedes usar tecnología para encontrar la matriz inversa multiplicativa, pero asegúrate de escribir todo lo que uses, incluida la matriz inversa multiplicativa. (Nota: Si trabajaste en la sección “¿Listo para más?” de la lección anterior, ya encontraste la matriz inversa multiplicativa que usarás para solucionar este sistema).

$\begin{matrix} 2 x + z = 7 \\ x + 3 y + z = 11 \\ x + 2 y + z = 6 \end{matrix}$

8.

Soluciona el siguiente sistema usando una ecuación de matrices y matrices inversas multiplicativas. Usa tecnología para encontrar la matriz inversa multiplicativa y el producto de matrices que te ayudará a obtener la respuesta:

$\begin{matrix} 2 w + x + y + 2 z = 7 \\ w + 2 x + y + 3 z = 10 \\ \begin{matrix} 2 w - x + 2 y + 5 z = - 2 \\ 3 w + 2 x + 2 y + z = 5 \end{matrix} \end{matrix}$

9.

¿Por qué necesitamos cuatro ecuaciones cuando hay cuatro variables?

10.

Soluciona el siguiente sistema usando tecnología:

$\begin{matrix} 2 w + x + y + 2 z = 7 \\ 4 w + 2 x + 2 y + 4 z = 14 \\ \begin{matrix} 2 w - x + 2 y + 5 z = - 2 \\ 4 w - 2 x + 4 y + 10 z = - 4 \end{matrix} \end{matrix}$

¿Listo para más?

Usa tecnología para resolver el siguiente problema:

Tres de los amigos de Carlos y Clarita compran útiles escolares en la papelería. Stan compra $1 cuaderno$ , $3$ paquetes de lápices y $2 marcadores$ por $$ 7.50$ . Jan compra $2 cuadernos$ , $6$ paquetes de lápices y $5 marcadores$ por $$ 15.50$ . Fran compra $1 cuaderno$ , $2$ paquetes de lápices y $2 marcadores$ por $$ 6.25$ . ¿Cuánto cuesta cada uno de estos $3$ útiles?

Aprendizajes

Para solucionar un sistema de ecuaciones en $n$ variables, se necesita

Si el determinante de una matriz es igual a $0$ ,

El método que preferimos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales $n \times n$ es

Lo preferimos porque

Resumen de la lección

En esta lección extendimos el método para solucionar sistemas de ecuaciones usando ecuaciones de matrices y la matriz inversa multiplicativa en sistemas de ecuaciones de $n \times n$ . También usamos tecnología para encontrar la matriz inversa multiplicativa.

Repaso

1.

Escribe una ecuación explícita para los valores de la tabla.

$x$	$f (x)$
$- 1$	$9$
$0$	$18$
$1$	$27$
$2$	$36$
$3$	$45$

2.

Escribe una ecuación explícita para los valores de la tabla.

$x$	$g (x)$
$1$	$15$
$2$	$45$
$3$	$135$
$4$	$405$
$5$	$1, 215$

3.

Soluciona la ecuación.

$x^{2} - 8 = 0$

4.

Soluciona la ecuación.

$3 x - 7 = 4 (x - 5)$