Lección 1 Recorre cualquier distancia Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas.

Encontrar el perímetro de una figura geométrica en el plano de coordenadas.

¿Cómo puedo encontrar la distancia que hay entre dos puntos si estos no están en la misma recta vertical ni horizontal?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Las presentaciones del equipo de baile de la preparatoria Crawford durante el descanso del medio tiempo en los partidos de fútbol americano y baloncesto son muy populares. Cuando las bailarinas preparan la coreografía de los pasos de baile que presentarán en el campo de fútbol americano, organizan sus posiciones en una cuadrícula, como se muestra:

Para uno de sus bailes, ellas planean hacer patrones en los que sostienen cintas largas y anchas. Las cintas comenzarán en una bailarina que está en el centro y terminarán en las demás seis bailarinas. Así se ve este patrón en la cuadrícula:

Las bailarinas se preguntan cuánto deben medir las cintas. Gabriela ( $G$ ) está parada en el centro y algunas bailarinas creen que la cinta que va desde Gabriela ( $G$ ) hasta Courtney ( $C$ ) será más corta que la que va desde Gabriela ( $G$ ) hasta Brittney ( $B$ ).

1.

¿Cuánto debe medir cada cinta?

2.

Explica cómo encontraste la longitud de cada cinta.

Las bailarinas ya terminaron de usar las cintas en el patrón anterior. Ellas piensan que pueden usar las mismas cintas para formar un patrón nuevo, así:

3.

¿Las cintas del patrón anterior serán lo suficientemente largas para llegar hasta Brittney ( $B$ ) y Courtney ( $C$ ) en el patrón nuevo? Explica tu respuesta.

Gabriela observa que sus cálculos de las longitudes de las cintas le recuerdan algo que hizo en su clase de Matemáticas. Ella dice: “¡Hey!, me pregunto si hay un proceso parecido a lo que hemos hecho para encontrar la distancia entre cualquier par de puntos de la cuadrícula”. Ella razona así:

“Empiezo con dos puntos y dibujo un segmento de recta entre ellos que represente la distancia que busco. Como estos dos puntos podrían estar en cualquier lugar, los nombro $A (x_{1}, y_{1})$ y $B (x_{2}, y_{2})$ . Mmm... después de encontrar las longitudes de las cintas, ¿qué fue lo que hice?”.

4.

Revisa el proceso que usaste para encontrar las longitudes de las cintas y escribe tus pasos aquí en términos de los puntos $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ .

5.

Usa el proceso que escribiste en el problema 4 para encontrar la distancia que hay entre dos puntos que están bastante alejados el uno del otro, de manera que sea más eficiente usar la fórmula que escribiste en el problema 4 que graficar y contar. Por ejemplo, úsalo para encontrar la distancia entre $(- 11, 25)$ y $(23, - 16)$ .

6.

Usa tu proceso para encontrar el perímetro del patrón hexagonal del problema 3.

¿Listo para más?

Encuentra varios puntos que estén a $3$ unidades del punto $(1, 1)$ . Marca $(1, 1)$ y marca todos los puntos que hayas encontrado. ¿Qué observas acerca de la gráfica de los puntos que marcaste?

Aprendizajes

Pasos en palabras	Pasos en símbolos

La fórmula de la distancia:

Para encontrar el perímetro de una figura geométrica en el plano de coordenadas:

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a encontrar la distancia entre dos puntos. Con el teorema de Pitágoras, desarrollamos una fórmula que podemos usar para encontrar la longitud de un segmento entre dos puntos. La fórmula se puede usar para encontrar las longitudes de los lados de una figura geométrica en el plano de coordenadas al calcular el perímetro.

Repaso

1.

El punto $A$ está marcado en el plano de coordenadas.

Rota el punto $A$ $90 °$ alrededor del origen y en sentido contrario a las manecillas del reloj. Marca las coordenadas nuevas. El punto nuevo es $A^{'}$ . Compara las coordenadas de $A$ con las coordenadas de $A^{'}$ .
Rota el punto $A$ $90 °$ alrededor del origen y en sentido de las manecillas del reloj. Marca las coordenadas nuevas. El nuevo punto nuevo es $A^{″}$ . Compara las coordenadas de $A$ con las coordenadas de $A^{″}$ .

2.

Completa las coordenadas que faltan. Después, encuentra $A C$ y $C E$ .