Lección 4 Por determinarse Desarrollo mi comprensión

Actividad inicial

¿Cuál es diferente?

Analiza las siguientes funciones cuadráticas y selecciona la que es diferente de las otras.

$f (x) = (x - 3) (x + 2)$

$f (x) = x^{2} + 3 x - 7$

Explicación:

Focos de aprendizaje

Escribir funciones cuadráticas en forma canónica, factorizada y estándar.

Encontrar raíces de una función cuadrática.

Usar las raíces de una función cuadrática para escribirla en forma factorizada.

¿Todas las funciones cuadráticas se pueden escribir en las tres formas que hemos estudiado: estándar, canónica y factorizada?

¿Cómo se relacionan las soluciones de una ecuación cuadrática y los factores de una función cuadrática?

¿Todas las funciones cuadráticas tienen dos raíces?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Israel y Miriam trabajan juntos en una tarea. Necesitan escribir las ecuaciones de unas funciones cuadráticas que están representadas con una tabla o una gráfica. Al principio, su trabajo se veía muy fácil. Sin embargo, a medida que avanzaron en la tarea, el álgebra se puso más retadora y surgieron algunas preguntas interesantes que no ven la hora de hacerle a su profesor. Trabaja en los siguientes problemas de la tarea de Israel y Miriam. Usa la información de la tabla o de la gráfica para escribir la ecuación de la función cuadrática en las tres formas dadas. Puedes empezar con la forma que quieras, pero debes encontrar las tres formas equivalentes.

1.

$x$	$y$
$- 5$	$8$
$- 4$	$3$
$- 3$	$0$
$- 2$	$- 1$
$- 1$	$0$
$0$	$3$
$1$	$8$
$2$	$15$
$3$	$24$
$4$	$35$

Forma estándar:

Forma factorizada:

Forma canónica:

2.

$x$	$y$
$- 5$	$- 7$
$- 4$	$2$
$- 3$	$- 1$
$- 2$	$- 2$
$- 1$	$- 1$
$0$	$2$
$1$	$7$
$2$	$14$
$3$	$23$
$4$	$34$

Forma estándar:

Forma factorizada:

Forma canónica:

3.

$x$	$y$
$- 5$	$9$
$- 4$	$4$
$- 3$	$1$
$- 2$	$0$
$- 1$	$1$
$0$	$4$
$1$	$9$
$2$	$16$
$3$	$25$
$4$	$36$

Forma estándar:

Forma factorizada:

Forma canónica:

4.

$x$	$y$
$- 5$	$10$
$- 4$	$5$
$- 3$	$2$
$- 2$	$1$
$- 1$	$2$
$0$	$5$
$1$	$10$
$2$	$17$
$3$	$26$
$4$	$37$

Forma estándar:

Forma factorizada:

Forma canónica:

5.

Israel está preocupado porque su forma factorizada para la función del problema 4 no le parece correcta. Miriam le sugirió que la pusiera a prueba reemplazando algunos valores de $x$ , para verificar si obtiene los mismos puntos de la tabla. Pon a prueba tu forma factorizada. ¿Obtienes los mismos valores que hay en la tabla?

6.

¿Qué le pudo preocupar a Israel después de escribir la forma factorizada de la función del problema 4?

Estos son algunos ejemplos adicionales tomados de la tarea de Israel y Miriam.

7.

$x$	$y$
$- 5$	$- 7$
$- 4$	$- 2$
$- 3$	$1$
$- 2$	$2$
$- 1$	$1$
$0$	$- 2$
$1$	$- 7$
$2$	$- 14$
$3$	$- 23$
$4$	$- 34$

Forma estándar:

Forma factorizada:

Forma canónica:

8.

$x$	$y$
$- 5$	$11$
$- 4$	$6$
$- 3$	$3$
$- 2$	$2$
$- 1$	$3$
$0$	$6$
$1$	$11$
$2$	$18$
$3$	$27$
$4$	$38$

Forma estándar:

Forma factorizada:

Forma canónica:

9.

Miriam observa que las gráficas de las funciones de los problemas 7 y 8 tienen el mismo vértice. Israel observa que las gráficas de las funciones de los problemas 2 y 7 son imágenes una de la otra reflejadas con respecto al eje $x$ . ¿Qué observas acerca de las raíces de las funciones de los problemas 7, 8 y 2?

El teorema fundamental del álgebra

Una función polinomial es una función de la forma:

$y = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + . . . a_{n - 3} x^{3} + a_{n - 2} x^{2} + a_{n - 1} x + a_{n}$

en la que todos los exponentes son enteros positivos y todos los coeficientes $a_{0}$ , ..., $a_{n}$ son constantes.

A medida que la teoría para encontrar raíces de funciones polinomiales evolucionaba, un matemático, Albert Girard (1595-1632), hizo la siguiente afirmación que se conoce como el teorema fundamental del álgebra: Una función polinomial de grado $n$ tiene $n$ raíces.

10.

En la siguiente unidad estudiarás funciones polinomiales que tienen términos de mayor orden, como $x^{3}$ o $x^{5}$ . Teniendo en cuenta lo que hiciste en esta actividad, ¿crees que este teorema se cumple en las funciones cuadráticas? Es decir, ¿todas las funciones de la forma $y = a x^{2} + b x + c$ siempre tienen dos raíces? Analiza las gráficas de cada una de las funciones cuadráticas para las cuales escribiste ecuaciones en esta actividad. ¿Todas tienen dos raíces? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Listo para más?

A menudo las raíces cuadradas se pueden escribir en formas equivalentes. Una manera es encontrar factores que son cuadrados perfectos para extraerlos del radicando. Por ejemplo, $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2 \sqrt{2}$ . Podemos verificar que el número $2 \sqrt{2}$ es equivalente a $\sqrt{8}$ al multiplicarlo por sí mismo y usar la propiedad conmutativa de la multiplicación para reorganizar los factores: $2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . Si permitimos, por lo menos temporalmente, que $\sqrt{- 1}$ sea un factor válido, muestra de qué manera puedes representar $\sqrt{- 8}$ de una forma equivalente. Después, multiplica por sí misma a tu nueva representación de $\sqrt{- 8}$ para comprobar que funciona. Teniendo en cuenta lo que hiciste, reescribe las siguientes expresiones radicales:

a.

$\sqrt{- 75}$

b.

$\sqrt{- 36}$

c.

$\sqrt{- 32}$

d.

$\sqrt{- 48}$

Aprendizajes

Observaciones sobre las intersecciones con el eje $x$ y las raíces de una función cuadrática:

Vocabulario

ceros, raíces, soluciones
intersección con el eje x
raíces: reales y complejas
teorema fundamental del álgebra
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección analizamos soluciones de ecuaciones cuadráticas y las relacionamos con la gráfica de la función. Las soluciones de una ecuación cuadrática se pueden usar para escribir la función en forma factorizada. Para esto, usamos un proceso que es inverso a solucionar una ecuación con el método de factorización. Descubrimos que cuando la gráfica de la función cuadrática no se cruza con el eje $x$ , las soluciones que se obtienen con la fórmula cuadrática incluyen la raíz cuadrada de un número negativo. Aunque no hay un número real que se pueda elevar al cuadrado para obtener un número negativo, estas expresiones parecen funcionar como raíces cuadradas. Como el teorema fundamental del álgebra predice que todas las funciones cuadráticas tienen dos raíces, queda pendiente por resolver cuál es la naturaleza de las soluciones que involucran la raíz cuadrada de un número negativo.

Repaso

1.

Escribe una forma equivalente de la raíz cuadrada: $\sqrt{180}$ . (Déjala en forma radical).

2.

Encuentra las intersecciones con el eje $x$ que corresponden a cada ecuación cuadrática. Si es posible, factoriza la expresión. Si no, usa la fórmula cuadrática.

a.

$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

b.

$2 x^{2} + 6 x - 5 = 0$