Lección 5 Tal vez yo sea irracional, pero tú eres imaginario Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Relacionar números irracionales con cantidades físicas como la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Comprender expresiones que tienen números negativos dentro de una raíz cuadrada, como $\sqrt{- 1}$ .

Sumar, restar y multiplicar números complejos.

¿Los números como $\sqrt{- 1}$ se pueden reescribir?

¿Qué tipos de números forman el sistema numérico?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Parte 1: Números irracionales

1.

Comprueba que $4 (x - \frac{5}{2}) (x + \frac{3}{2}) = 0$ y $4 x^{2} - 4 x - 15 = 0$ son ecuaciones equivalentes (muestra lo que hiciste). Luego, ubica las soluciones de las ecuaciones cuadráticas en la siguiente recta numérica:

2.

Comprueba que $(x - 2 + \sqrt{2}) (x - 2 - \sqrt{2}) = 0$ y $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ son ecuaciones equivalentes (muestra lo que hiciste). Luego, ubica las soluciones de las ecuaciones cuadráticas en la siguiente recta numérica:

Quizás te haya resultado difícil ubicar en la recta numérica los puntos exactos que representan las soluciones del segundo par de ecuaciones cuadráticas. Los siguientes diagramas te pueden ayudar.

3.

Encuentra el perímetro de este triángulo isósceles. Expresa tu respuesta agrupando los términos semejantes.

Con un número decimal podemos obtener el valor aproximado del perímetro de este triángulo, pero el perímetro exacto es $2 + \sqrt{2}$ . Observa que esta notación representa un solo número —el perímetro del triángulo—, aunque esté escrito como la suma de dos términos.

4.

Explica cómo podrías usar este diagrama para ubicar las dos soluciones de las ecuaciones cuadráticas del problema 2: $2 + \sqrt{2}$ y $2 - \sqrt{2}$ .

5.

¿Los números que ubicamos en la recta numérica de esta manera son racionales o irracionales? Explica tu respuesta.

Las ecuaciones cuadráticas de los problemas 1 y 2 tienen soluciones que se pueden ubicar en una recta numérica. Las soluciones del primer grupo de ecuaciones cuadráticas son números racionales. Las soluciones del segundo grupo de ecuaciones cuadráticas son números irracionales.

Idea principal #1: El conjunto de números que contiene todos los números racionales y todos los números irracionales se llama el conjunto de los números reales. La ubicación de todos los puntos en una recta numérica se puede representar usando números reales.

Haz una pausa y reflexiona:

Parte 2: Números imaginarios y complejos

En la lección anterior, “Por determinarse”, descubriste que al usar la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de la ecuación $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ , se obtiene $- 2 + \sqrt{- 1}$ y $- 2 - \sqrt{- 1}$ . Como la raíz cuadrada de un número negativo no tiene valores definidos en los números reales, Euler propuso que se incluyera un número nuevo, $i = \sqrt{- 1}$ , lo que acabaría conociéndose como el sistema de los números complejos.

6.

Teniendo en cuenta la definición de Euler de $i$ , ¿cuál sería el valor de $i^{2}$ ?

Con la introducción del número $i$ , se puede representar la raíz cuadrada de cualquier número negativo. Por ejemplo, $\sqrt{- 2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{2} \cdot i$ y $\sqrt{- 9} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{- 1} = 3 i$ .

7.

Encuentra los valores de las siguientes expresiones. Muestra en detalle lo que hiciste.

a.

${(\sqrt{2} \cdot i)}^{2}$

b.

$3 i \cdot 3 i$

Idea principal #2: Los números como $3 i$ y $\sqrt{2} \cdot i$ se llaman números imaginarios puros. Los números como $- 2 - i$ y $- 2 + i$ , que tienen un término real y un término imaginario, se llaman números complejos.

Idea principal #3: Los números complejos no son números reales, no están en la recta numérica real que incluye todos los números racionales y los números irracionales. Observa también que los números reales son un subconjunto de los números complejos porque un número real se obtiene cuando la parte imaginaria de $a + b i$ es $0$ , es decir, $a + 0 i$ .

Las operaciones con números complejos y con números reales tienen las mismas propiedades, pero hay algunas cosas a las que debemos prestar atención. Por ejemplo, cuando se suman o restan dos números complejos, los números de la parte real son términos semejantes y los números de la parte imaginaria son términos semejantes.

Por ejemplo: $(3 + 4 i) + (5 - 2 i) = 8 + 2 i$ . Si los quieres alinear verticalmente, como un polinomio, se mantendrán los términos semejantes organizados. Cuando se restan números complejos, es útil cambiar los signos del número que se resta y luego sumar, como lo hicimos con los polinomios.

Por ejemplo: $(7 + 2 i) - (3 - 5 i)$ se puede escribir como $(7 + 2 i) + (- 3 + 5 i) = 4 + 7 i$ .

Ahora intenta resolver estos problemas tú solo:

8.

a.

$(13 + 2 i) + (- 12 - 5 i)$

b.

$(- 7 + 12 i) + (3 - 6 i)$

c.

$(8 - i) - (7 - 3 i)$

d.

$(- 9 + 4 i) - (9 - 4 i)$

Multiplicar números complejos es lo mismo que multiplicar números irracionales como $(2 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{5})$ o binomios como $(x + 5) (x - 2)$ , solo que tiene un paso extra. Cada vez que aparece $i^{2}$ debe escribirse como $- 1$ . Después la expresión se puede reescribir.

Por ejemplo, multipliquemos $(4 + 2 i) (3 - 5 i)$ usando el método de diagrama de área.

Al sumar términos semejantes, obtenemos $12 - 14 i - 10 i^{2}$ . Después reemplazamos $i^{2} = - 1$ , y reescribimos la expresión agrupando términos semejantes: $12 - 14 i - 10 (- 1) = 12 - 14 i + 10 = 22 - 14 i$

	$4$	$+ 2 i$
$3$	$12$	$6 i$
$- 5 i$	$- 20 i$	$- 10 i^{2}$

Inténtalo. Usa el método de diagrama de área o distribuye los términos horizontalmente.

9.

a.

$(3 + 2 i) (5 + 7 i)$

b.

$(10 - 3 i) (4 - 6 i)$

Estos dos números complejos se llaman conjugados porque son iguales excepto por el signo opuesto del segundo término. Comprueba lo que ocurre aquí:

10.

a.

$(4 + 2 i) (4 - 2 i)$

b.

$(3 + 5 i) (3 - 5 i)$

c.

¿Qué observas en las soluciones? ¿Por qué da este resultado?

Ahora pensemos en las soluciones complejas de las ecuaciones cuadráticas.

11.

Dada la función $f (x) = x^{2} + 4 x + 5$ , encuentra los valores de $x$ para los cuales $f (x) = 0$ .

12.

Comprueba una de tus soluciones mostrando en detalle lo que hiciste.

13.

¿Las soluciones de la ecuación $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ son las intersecciones de $f (x)$ con el eje $x$ ? Explica tu respuesta.

14.

Encuentra las soluciones de la ecuación $x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Ahora que hemos comprobado que los números complejos son números funcionales y útiles, pensemos nuevamente en el teorema fundamental del álgebra.

Retomemos: El teorema fundamental del álgebra

Recuerda lo que vimos en la lección anterior:

Una función polinomial es una función de la forma: $y = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + \dots a_{n - 3} x^{3} + a_{n - 2} x^{2} + a_{n - 1} x + a_{n}$ en la que todos los exponentes son enteros positivos y todos los coeficientes $a_{0} \dots a_{n}$ son constantes.

A medida que la teoría para encontrar raíces de funciones polinomiales evolucionaba, un matemático, Albert Girard (1595-1632), hizo la siguiente afirmación que se conoce como el teorema fundamental del álgebra: Una función polinomial de grado $n$ tiene $n$ raíces.

15.

Teniendo en cuenta tu trabajo en esta actividad, ¿crees que este teorema se cumple en las funciones cuadráticas? Es decir, ¿todas las funciones de la forma $y = a x^{2} + b x + c$ siempre tienen dos raíces?

¿Listo para más?

Las soluciones de la ecuación $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ se pueden escribir como $- 2 + i$ y $- 2 - i$ . Por ello, la forma factorizada de $x^{2} + 4 x + 5$ se puede escribir como $(x + 2 - i) (x + 2 + i)$ .

Comprueba que $x^{2} + 4 x + 5$ y $(x + 2 - i) (x + 2 + i)$ son equivalentes. Para esto, desarrolla la expresión y agrupa términos semejantes para obtener la forma estándar. Muestra en detalle lo que hiciste.

Aprendizajes

Intersecciones con el eje $x$ :

Raíces:

Si la gráfica de una función cuadrática interseca el eje $x$ ,

Si la gráfica de una función cuadrática no interseca el eje $x$ ,

Vocabulario

conjugados complejos
número complejo
número imaginario
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección relacionamos los números irracionales con las medidas de figuras geométricas y mostramos dónde está ubicado un número irracional en la recta numérica. Además, encontramos soluciones irracionales de ecuaciones cuadráticas y las usamos para escribir la ecuación en forma factorizada. También conocimos un conjunto nuevo de números que está definido en términos de $\sqrt{- 1} = i$ y $i^{2} = - 1$ . Analizamos de qué manera estos números se incluyen en el sistema numérico y realizamos operaciones aritméticas con ellos.

números reales

2.

Soluciona la ecuación: $5 x^{2} + 2 x + 6 = 0$