Matemáticas III – Glosario | Matemáticas de preparatoria de Open Up (CCSS), Family

A–F

algoritmo de la división para polinomios

Si $f (x)$ y $d (x) \neq 0$ son polinomios y el grado de $d (x)$ es menor o igual que el grado de $f (x)$ , entonces existen polinomios únicos $q (x)$ y $r (x)$ tales que

en donde el grado de $r (x)$ es menor que el grado de $d (x)$ .

Si $r (x) = 0$ , entonces $d (x)$ es un divisor exacto de $f (x)$ , es decir, $d (x)$ es un factor de $f (x)$ .

altura vertical

La distancia perpendicular desde el suelo hasta una posición dada.

ampliación vertical

Ver transformaciones de una función (no rígidas).

amplitud

La altura desde la recta media (recta central) hasta el máximo (pico) de una gráfica periódica. Es la mitad de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del rango.

Para funciones de la forma $y = A \sin b θ$ o $y = A \cos b θ$ , la amplitud es $| A |$ .

anillo

Un anillo es una sección de un sólido de revolución hueco. Su cara es un círculo que tiene un hueco en el centro.

argumento (entrada) de un logaritmo

Ver función logarítmica (logaritmo).

arista / cara / vértice de un sólido de tres dimensiones

Cara: Superficie plana de un sólido.

Arista: Segmento en el que se intersecan dos caras.

Vértice (o esquina): Punto donde se encuentran dos o más aristas.

asíntota

Una recta a la que una gráfica se acerca sin alcanzarla. Una gráfica nunca toca a una asíntota vertical, pero puede que se cruce con una asíntota horizontal o con una asíntota oblicua (también llamada asíntota inclinada).

Las asíntotas horizontales y oblicuas nos ayudan a entender, en general, el comportamiento final de una gráfica en la dirección positiva y en la dirección negativa. Si una función racional tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener una asíntota oblicua.

Una función racional, $f (x)$ , tiene una asíntota oblicua solo cuando el grado del numerador es uno más que el grado del denominador.

asíntota horizontal

Una recta horizontal a la que una gráfica se acerca sin alcanzarla. Las funciones exponenciales tienen una asíntota horizontal. La ubicación de la asíntota horizontal corresponde al valor al que se acerca la función cuando $x$ se hace infinitamente grande o cuando se hace infinitamente pequeño. Una asíntota es una recta imaginaria, pero con frecuencia se representa como una recta punteada en el plano.

$f (x) = 2^{x}$

A medida que $x$ se hace más pequeño, la gráfica de $f (x)$ se acerca a la asíntota horizontal $y = 0$ .

$h (x) = 2^{- x}$

A medida que $x$ se hace más grande, la gráfica de $h (x)$ se acerca a la asíntota horizontal $y = 0$ .

$g (x) = 2^{x} - 3$

A medida que $x$ se hace más pequeño, la gráfica de $g (x)$ se acerca a la asíntota horizontal $y = - 3$ .

Ver también: asíntota.

asíntota inclinada

Ver asíntota.

asíntota vertical

Ver asíntota.

base de un logaritmo

Ver función logarítmica (logaritmo).

binomio

Un polinomio que tiene dos términos.

cantidad

Una cantidad es un número, medida o magnitud. La respuesta a la pregunta “¿Cuánto?” es una cantidad.

caso ambiguo de la ley de los senos

El caso ambiguo de la ley de los senos ocurre cuando conocemos las medidas de dos lados y un ángulo del triángulo. Como el criterio LLA no garantiza la congruencia de triángulos, entonces hay dos triángulos posibles.

Para evitar perder una posible solución de un triángulo oblicuángulo bajo estas condiciones, primero se usa la ley de los cosenos para encontrar la longitud de lado desconocida. Al usar la fórmula cuadrática, se sabrá cuáles son las dos soluciones posibles.

ceros (de una función)

Los ceros de una función $f (x)$ son los valores de $x$ para los cuales $f (x)$ es igual a cero. Los ceros reales corresponden a las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de la función.

círculo unitario

Un círculo de radio $1$ (una unidad). La ecuación del círculo unitario con centro $(0, 0)$ es $x^{2} + y^{2} = 1$ .

El círculo unitario es una herramienta útil para pensar en funciones trigonométricas.

La medida en radianes es la razón $\frac{longitud de arco}{radio}$ . Como $r = 1$ en el círculo unitario, entonces la medida en radianes es igual a la longitud de arco.
Seno de $θ$ es la razón $\frac{y}{r}$ . Como $r = 1$ en el círculo unitario, entonces el seno es la coordenada $y$ .
Coseno de $θ$ es la razón $\frac{x}{r}$ . Como $r = 1$ en el círculo unitario, entonces el coseno es la coordenada $x$ .

Ejemplo: En el círculo unitario que se muestra, el punto $B$ tiene coordenadas $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ . Como $r = 1$ , $\sin 30 °$ es $\frac{1}{2}$ y $\cos 30 °$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . La longitud de arco es $\frac{2 π}{12}$ o $\frac{π}{6}$ .

clausura

Un conjunto es cerrado con respecto a una operación si y solo si al aplicar la operación a cualesquiera dos elementos del conjunto, el resultado también pertenece al conjunto.

cociente

Ver división.

coeficiente principal

El coeficiente principal de un polinomio es el número al lado de la variable que está elevada al mayor exponente.

comportamiento final

El comportamiento de una función $y = f (x)$ para valores de $x$ que son muy grandes (que tienden a $\infty$ ) o que son muy pequeños (que tienden a $- \infty$ ).

composición de funciones

El proceso de usar el valor de salida de una función como valor de entrada de otra función.

$f (x) = 3 x - 1; g (x) = 5 x + 1$

Se reemplaza $x$ por $5 x + 1$ :

$f (g (x)) = 3 (5 x + 1) - 1$

$f (g (x)) = 15 x + 3 - 1 = 15 x + 2$

coordenadas polares

Una forma de representar puntos en el plano usando pares ordenados de la forma $(r, θ)$ , en donde $r$ es la distancia del punto al origen y $θ$ es el ángulo de rotación del punto respecto a la parte positiva del eje $x$ .

curva de distribución

Una gráfica de las frecuencias de distintos valores de una variable en una distribución estadística.

curva de distribución de frecuencias, polígono de frecuencias

Una curva de distribución de frecuencias “suaviza las irregularidades” en una distribución de frecuencias con una curva idealizada que muestra qué tan a menudo un experimento producirá un resultado particular.

densidad

En ciencia, la densidad describe cuánto espacio ocupa un objeto o sustancia (su volumen) con respecto a la cantidad de materia de ese objeto o sustancia (su masa). Si un objeto es pesado y compacto, tiene una densidad alta. Si un objeto es ligero y ocupa mucho espacio, tiene una densidad baja.

$densidad = \frac{masa}{volumen}$

La densidad también puede referirse a cuántas personas están amontonadas en un área pequeña o cuántos árboles crecen en un espacio pequeño o grande. En ese sentido, es una comparación de la cantidad con respecto al espacio ocupado.

$densidad = \frac{cu \overset{´}{a} nto hay}{espacio o \overset{´}{a} rea}$

descomposición de funciones

Escribir una función compuesta en términos de las funciones que la componen.

desplazamiento de fase

Un desplazamiento de fase es una transformación horizontal de la gráfica de una función trigonométrica.

desplazamiento horizontal

Ver transformaciones de una función.

desplazamiento vertical

Ver transformaciones de una función (rígidas).

desviación estándar

Un número que indica cómo se distribuyen unos datos numéricos con relación a su promedio (media) o valor esperado. Una desviación estándar baja significa que la mayoría de los datos están cerca del promedio. Una desviación estándar alta significa que los números están más dispersos. Símbolo para la desviación estándar: $σ$ (sigma).

disco

Ver sólido de revolución.

distribución asimétrica

Cuando la mayoría de los datos están en un lado y el otro parece una “cola” (con pocos datos). Si la cola está a la derecha, decimos que la distribución es asimétrica a la derecha. Si la cola está a la izquierda, la distribución es asimétrica a la izquierda.

distribución bimodal

Una distribución bimodal tiene dos picos que sobresalen.

Los datos tienen dos modas.

Ver también modas.

distribución normal

En una distribución normal de datos, la mayoría de datos se agrupan en el centro del rango y el resto se dispersan simétricamente hacia los extremos. Estas son algunas características de una distribución normal:

Es simétrica.
La media, la mediana y la moda son todas iguales.
La curva de frecuencia es simétrica.
La curva de distribución tiene puntos de inflexión a $\pm 1$ desviaciones estándar de la media.
Tiene una sola moda.

El $68 %$ de la distribución estará a menos de $\pm 1$ desviaciones estándar de la media. El $95 %$ de la distribución estará a menos de $2$ desviaciones estándar de la media. El $99.7 %$ de la distribución estará a menos de 3 desviaciones estándar de la media.

distribución normal estándar

La distribución normal estándar es una distribución normal que tiene media igual a cero y desviación estándar igual a 1. La curva de distribución está centrada alrededor de cero. La desviación estándar es una medida del grado en que los datos se alejan de la media.

* Las distribuciones normales no tienen todas la misma media ni la misma desviación estándar.

dividendo

Ver división.

división

Con polinomios:

divisor

Ver división.

dominio

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de $x$ que hacen que la función produzca valores de salida reales $y$ . El dominio es un dominio continuo si los valores de $x$ que se pueden usar como valores de entrada de la función están en un intervalo.

Elegir un dominio más pequeño para una función se llama restringir el dominio. El dominio se puede restringir para hacer que la función sea invertible.

A veces el contexto mismo restringe un dominio.

Otros términos que también se usan para referirse al dominio son los valores de entrada y la variable independiente.

dominio restringido

El dominio que resulta de limitar el dominio inicial de una función para que su inversa también sea una función.

ecuación cuadrática

Una ecuación que se puede escribir en la forma $y = a x^{2} + b x + c, en donde a \neq 0$

Forma estándar: $f (x) = a x^{2} + b x + c, en donde a \neq 0$

Ejemplo: $x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Forma factorizada: $(x - 4) (x + 2) = 0$

Forma canónica: ${(x - 1)}^{2} - 9 = 0$

Forma recursiva: $f (1) = - 9; f (n) = f (n - 1) + (2 n - 3)$

(Nota: La forma recursiva solo se usa cuando la función es discreta).

ecuación explícita

Es una ecuación que relaciona un valor de entrada con un valor de salida.

Ejemplo: en $f (t) = 4 t + 1$ , la $t$ es la entrada y $f (t)$ es la salida.

La ecuación explícita también se llama regla de la función, fórmula explícita o regla explícita.

ecuación recursiva

También llamada fórmula recursiva o regla recursiva. Ver ejemplos en las entradas de sucesión aritmética, sucesión geométrica y ecuaciones cuadráticas.

en sentido de las manecillas del reloj / en sentido contrario a las manecillas del reloj

en sentido de las manecillas del reloj: moverse en la misma dirección en la que se mueven las manecillas de un reloj.

en sentido contrario a las manecillas del reloj: moverse en la dirección opuesta a la que se mueven las manecillas de un reloj.

estadístico de una muestra

Un estadístico o estadístico de una muestra es cualquier cantidad que se calcula a partir de la muestra. Es un número que da información a partir de solo una parte de una población.

estudio observacional

Un estudio en el que el investigador observa a los individuos sin interferir.

En este tipo de estudio, los investigadores observan el comportamiento de los participantes/individuos y tratan de no influir de ninguna manera, para poder aprender sobre el parámetro de interés.

expansión binomial

El resultado de desarrollar un binomio elevado a un exponente.

Ejemplo:

${(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b) = 1 a^{2} + 2 a b + 1 b^{2}$

El triángulo de Pascal (ver diagrama) sirve para encontrar los coeficientes en una expansión binomial. Cada fila nos da los coeficientes de ${(a + b)}^{n}$ (se comienza con $n = 0$ ). Para encontrar los coeficientes binomiales de ${(a + b)}^{n}$ , se usa la $n$ -ésima fila y siempre se comienza con la variable inicial elevada a la $n$ . Los dos exponentes que hay en cada término siempre suman $n$ . Los coeficientes binomiales de ${(a + b)}^{5}$ son, en orden, $1$ , $5$ , $10$ , $10$ , $5$ y $1$ . Por eso, la expansión binomial es $1 a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 b^{5}$ .

experimento

En un experimento, los investigadores separan a los participantes en dos grupos: el grupo de control (no reciben el tratamiento) y el grupo de tratamiento (sí lo reciben). Después, manipulan las variables para intentar determinar el efecto del tratamiento. Finalmente se comparan los resultados.

factor de un polinomio

$(x - r)$ es un factor de la función polinómica $y = P (x)$ si no hay residuo al dividir $P (x)$ entre $x - r$ .

factorizar

Factorizar un número: significa descomponerlo en números que al multiplicarlos se obtiene el número original.

Ejemplo: Factorizar $75$ : $75 = 3 \times 25$ , o $15 \times 5$ o $3 \times 5 \times 5$ .

Factor: un número entero no negativo que divide exactamente a otro número. En el ejemplo anterior, $3$ , $5$ , $15$ y $25$ son todos factores de $75$ .

En álgebra, la factorización puede ser más complicada. En vez de factorizar un número, como $75$ , se te puede pedir factorizar una expresión, como $15 a^{2} b$ .

Los números $3$ y $5$ , y las variables $a$ y $b$ son todos factores. La variable $a$ es un factor que aparece dos veces.

frecuencia

El número de veces que ocurrió un evento en un experimento o estudio.

función básica

Es la función más simple en una familia de funciones. Al transformar una función básica de varias maneras, se forma la familia de funciones.

función coseno inverso

función cuadrática

función cúbica

Un polinomio de grado $3$ . La función básica es $y = x^{3}$ .

función impar

Ver función: impar.

función inversa

función invertible

Una función es invertible si y solo si su inversa existe y es una función.

Si una función no es invertible en todo su dominio, el dominio se puede restringir para que sea invertible.

Ver función uno a uno.

función lineal

función logarítmica (logaritmo)

La inversa de una función exponencial se llama una función logarítmica.

Si $a^{x} = b$ , entonces $\log_{a} b = x$ .

La base del logaritmo y la base del exponente son la misma. Un logaritmo tiene 3 partes: el argumento (entrada), la base y la salida.

función par

Ver función: par.

función polinomial

Una función de la forma

$y = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + \dots a_{n - 3} x^{3} + a_{n - 2} x^{2} + a_{n - 1} x + a_{n},$

en la que todos los exponentes son enteros positivos y todos los coeficientes $a_{0}, . . ., a_{n}$ son constantes.

función racional

Una función $f (x)$ es una función racional si es de la forma $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ , en donde $P$ y $Q$ son polinomios en $x$ y $Q$ no es el polinomio cero.

función seno inverso

función tangente inversa

función uno a uno

Una función $f$ es uno a uno si no hay dos entradas distintas que tienen la misma salida. Si ninguna recta horizontal interseca la gráfica de $f$ en más de un punto, la función es uno a uno.

La función $y = x^{3}$ es una función uno a uno.

Es una función invertible.

La función $y = x^{2}$ NO es una función uno a uno porque cada valor de salida $y$ ocurre dos veces, para dos entradas distintas del dominio (excepto el valor del vértice). No es una función invertible.

función: par, impar

Una función $f (x)$ es una función impar si $f (- θ) = - f (θ)$ . Ejemplo: $f (x) = x^{3}$ es una función impar. La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Esto significa que al rotarse $180 °$ , se ve exactamente igual.

Una función $f (x)$ es una función par si $f (- θ) = f (θ)$ . Ejemplo: $f (x) = x^{2}$ es una función par. La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje $y$ .

funciones trigonométricas

La trigonometría se puede extender para definir funciones trigonométricas de ángulos de rotación de cualquier valor, incluidos valores negativos. Para esto, se usa la siguiente posición estándar para el ángulo: el vértice es el origen y el rayo inicial apunta hacia la parte positiva del eje $x$ . Una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj es positiva y una rotación en sentido de las manecillas del reloj es negativa. Con esta nueva definición de las funciones trigonométricas, la trigonometría se puede aplicar en comportamientos periódicos.

funciones trigonométricas recíprocas

Las razones recíprocas del seno, el coseno y la tangente.

$Cosecante: \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{hipotenusa}{opuesto} = \frac{c}{a}$

$Secante: \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{hipotenusa}{adyacente} = \frac{c}{b}$

$Cotangente: \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{adjacente}{opuesto} = \frac{b}{a}$

G–L

grado de un polinomio

El mayor exponente del polinomio.

grupo de control

El grupo de control se usa en un experimento para comprobar si cierto tratamiento funciona. Es un grupo de referencia que no recibe tratamiento o recibe un tratamiento neutral. Para evaluar los efectos del tratamiento, se comparan los resultados del grupo de tratamiento con los resultados del grupo de control.

grupo de tratamiento

En un estudio sobre el efecto de un tratamiento experimental, el grupo de tratamiento es el grupo de participantes que reciben el tratamiento.

El grupo de control es el grupo de participantes que no reciben el tratamiento durante el experimento.

identidades de ángulo doble

Ver identidades trigonométricas.

identidades de la suma y la resta

Ver identidades trigonométricas.

identidades trigonométricas

Afirmaciones que son verdaderas para todos los valores de $θ$ (theta).

Identidades de tangente y cotangente	$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$ $\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}$
Identidades de recíprocos	$\csc θ = \frac{1}{\sin θ}$ $\sin θ = \frac{1}{\csc θ}$ $\sec θ = \frac{1}{\cos θ}$ $\cos θ = \frac{1}{\sec θ}$ $\cot θ = \frac{1}{\tan θ}$ $\tan θ = \frac{1}{\cot θ}$
Identidades pitagóricas	$\sin^{2} θ + c o s^{2} θ = 1$ $\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ $\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ$
Identidades de funciones pares/impares	$\sin (- θ) = - \sin θ$ $\cos (- θ) = \cos θ$ $\tan (- θ) = - \tan θ$
Identidades periódicas	Si $n$ es un número entero, $\sin (θ + 2 π n) = \sin θ$ $\cos (θ + 2 π n) = \cos θ$ $\tan (θ + π n) = \tan θ$
Identidades de ángulo doble	$\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ$ $\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$ $\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1$ $\cos (2 θ) = 1 - 2 \sin^{2} θ$
Identidades de la suma y la resta	$\begin{matrix} \sin (α \pm β) = \\ \sin α \cos β \pm \cos α \sin β \end{matrix}$ $\begin{matrix} \cos (α \pm β) = \\ \cos α \cos β \pm \sin α \sin β \end{matrix}$

Si el ángulo $x$ está en grados y $b$ es el mismo ángulo en radianes, entonces

$\frac{π}{180} = \frac{b}{x} ∴ b = \frac{π x}{180} y x = \frac{180 b}{π}$

Definiciones de las funciones trigonométricas inversas
$y = \sin^{- 1} x$ Dominio: $[- 1, 1]$ Rango $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$y = \cos^{- 1} x$ Dominio: $[- 1, 1]$ Rango: $[0, π]$
$y = \tan^{- 1} x$ Dominio: $(- \infty, \infty)$ Rango: $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Definiciones de las funciones

trigonométricas inversas

$y = \sin^{- 1} x$

Dominio: $[- 1, 1]$

Rango $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

$y = \cos^{- 1} x$

Dominio: $[- 1, 1]$

Rango: $[0, π]$

$y = \tan^{- 1} x$

Dominio: $(- \infty, \infty)$

Rango: $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

inferencia (estadística)

Usar los resultados de una muestra para sacar conclusiones sobre una población.

interés compuesto continuo

Una cuenta bancaria con interés compuesto continuo gana intereses constantemente sobre el dinero, incluido el capital inicial y el interés acumulado.

intersección con el eje x

El punto o puntos en los que una recta o curva se cruza con el eje $x$ . El valor de $y$ de estos puntos es $0$ . Una recta no horizontal solo se cruza con el eje $x$ una vez. Una curva puede cruzarse con el eje $x$ varias veces.

intervalo de valores probables

Un rango de valores probables de un parámetro de la población. Se halla a partir de un estadístico de una muestra.

intervalos en los que crece o en los que decrece una función

En un intervalo donde crece una función, los valores de $y$ aumentan. En un intervalo donde decrece una función, los valores de $y$ disminuyen. Los intervalos donde crece una función (o donde decrece una función) son los valores de $x$ que corresponden al aumento o disminución en los valores de $y$ .

ley de los cosenos

En un triángulo con ángulos $A$ , $B$ y $C$ , y lados de longitudes $a$ , $b$ y $c$ , donde $a$ es opuesto a $A$ , b es opuesto a $B$ y $c$ es opuesto a $C$ , estas igualdades son verdaderas:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos B$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$

La ley de los cosenos es útil para encontrar las siguientes medidas:

La longitud del tercer lado de un triángulo si conocemos cuánto miden dos lados y cuánto mide el ángulo entre ellos.
Los ángulos de un triángulo si conocemos cuánto miden los tres lados.

ley de los senos

En un triángulo con ángulos $A$ , $B$ y $C$ , y lados de longitudes $a$ , $b$ y $c$ , donde $a$ es opuesto a $A$ , b es opuesto a $B$ y $c$ es opuesto a $C$ , estas igualdades son verdaderas: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ .

logaritmo común

Un logaritmo en base $10$ . Se escribe $\log x$ , que abrevia $\log_{10} x$ .

logaritmo natural

El logaritmo en base $e$ . Se escribe $\ln x$ , que es una abreviación de $\log_{e} x$ .

longitud de arco

Es la longitud que tiene un arco de un círculo. Es parte de la circunferencia.

Ecuación para encontrar la longitud de arco:

$s = r θ$

En la ecuación, $r$ es el radio y $θ$ es el ángulo central en radianes.

M–R

margen de error

El margen de error es un estadístico que mide el error en los resultados de una encuesta que se hace a las personas de una muestra aleatoria. Cuanto mayor es el margen de error, menos confianza se debe tener en que el resultado de la encuesta refleja el resultado de una encuesta hecha a toda la población.

máximo / mínimo

Un máximo es un punto en el que el valor de la función es el mayor posible.

Un mínimo es un punto en el que el valor de la función es el menor posible.

media de una muestra

La media de una muestra es el promedio de todos los datos de la muestra. Si la muestra es aleatoria, entonces la media de la muestra se puede usar para estimar la media de la población. El símbolo de la media de una muestra es $\overset{―}{x}$ ( $x$ barra).

media de una población

La media de una población es un promedio de una característica de un grupo de individuos.

El símbolo de la media de una población es $μ$ .

moda o modas

El valor o los valores que ocurren con más frecuencia en un conjunto de datos de una variable. Es una medida de tendencia central.

Puede haber más de una moda según la distribución de los datos. Pueden estar uniformemente distribuidos, tener un pico principal (unimodal), dos picos principales (bimodal) o varias ubicaciones con frecuencias altas (multimodal).

Ver medidas de tendencia central.

módulo

El módulo del número complejo $a + b i$ es $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2} .}$ Es la distancia entre el origen $(0, 0)$ y el punto $(a, b)$ en el plano complejo.

La distancia entre dos números del plano complejo es el módulo de la diferencia de los dos números. La fórmula se parece mucho a la fórmula de distancia entre dos puntos.

Ejemplo: Dados dos números complejos

$a + b i$ y $c + d i$ , la distancia entre ellos es

$d = \sqrt{{(c - a)}^{2} + {(d - b)}^{2}}$

Distancia entre $1 + 3 i$ y $- 2 - 1 i$ :

$d = \sqrt{{(- 2 - 1)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$

muestra

Una parte de la población que se selecciona para representar a toda la población. El muestreo es el proceso de seleccionar y estudiar solo una muestra para hacer conjeturas sobre toda la población. Una buena muestra representa a toda la población.

Tipos de muestreo:

muestreo aleatorio simple: cada posible muestra del mismo tamaño de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.

muestreo sistemático: un método para elegir una muestra aleatoria de una población. Por lo general, en este proceso se selecciona primero un punto de partida fijo en la población y después se obtienen más observaciones usando un intervalo constante entre las muestras que se toman.

muestreo por conglomerados: se divide la población en grupos separados entre sí, llamados conglomerados. Luego, se selecciona una muestra aleatoria simple de conglomerados de la población. Se analizan los datos de los conglomerados muestreados.

muestreo aleatorio estratificado: se divide la población en grupos separados, llamados estratos. Luego, de cada grupo se extrae una muestra de probabilidad (a menudo una muestra aleatoria simple).

muestreo por conveniencia: para obtener la muestra, se seleccionan personas que son fáciles de contactar.

muestreo de participantes voluntarios: para obtener la muestra, se seleccionan personas que deciden participar voluntariamente.

muestreo aleatorio estratificado

Ver muestra.

muestreo aleatorio simple

Ver muestra.

muestreo de participantes voluntarios

Ver muestra.

muestreo por conglomerados

Ver muestra.

muestreo por conveniencia

Ver muestra.

muestreo sistemático

Ver muestra.

multiplicidad

La multiplicidad de un cero de un polinomio es el número de veces que aparece su factor correspondiente. Por ejemplo, si $p (x) = (x + 2) (x - 1) (x - 1) (x - 1)$ , los ceros o raíces de $p (x)$ son $x = 2$ (con multiplicidad $1$ ) y $x = 1$ (con multiplicidad $3$ ).

La multiplicidad de una raíz influye en la forma de la gráfica de un polinomio. Si una raíz de un polinomio tiene multiplicidad impar, la gráfica se cruzará con el eje $x$ en el valor de la raíz.

Gráfica de $p (x) = (x + 2) (x - 1) (x - 1) (x - 1)$ :

$x = 2$ tiene multiplicidad 1 y $x = 1$ tiene multiplicidad $3$ .

Si una raíz de un polinomio tiene multiplicidad par, la gráfica toca el eje $x$ en el valor de la raíz, pero no se cruza con este.

Se muestra la gráfica de $q (x) = (x + 2) (x - 1) (x - 1)$ .

$x = 2$ tiene multiplicidad $1$ y $x = 1$ tiene multiplicidad $2$ .

número irracional

Un número irracional es un número real que no puede escribirse en la forma $\frac{n}{d}$ , en donde $n$ y $d$ son enteros y $d \neq 0$ . $\overset{―}{Q}$ se usa a veces para referirse al conjunto de los números irracionales. La barra de arriba significa NO racionales.

par conjugado

Un par de números cuyo producto es un número racional distinto de cero.

Los números $(a + \sqrt{b})$ y $(a - \sqrt{b})$ forman un par conjugado.

El producto es un número racional: $(a + \sqrt{b}) (a - \sqrt{b}) = a^{2} - {(\sqrt{b})}^{2} = a^{2} - b$ .

parámetro

Un número que representa una característica de una población (como la media o la desviación estándar).

parámetro de interés (estadística)

Un parámetro de interés es una característica que queremos saber acerca de la población.

Un parámetro es una cantidad numérica que caracteriza a la población o describe algún aspecto de toda la población.

La media y la desviación estándar son ejemplos de parámetros.

parámetro de la población

Un parámetro de la población es el valor real de una medida estadística de una población como, por ejemplo, la media o la desviación estándar.

pareja de entrada y salida

Las parejas de entrada y salida se forman a partir de una función. Estas parejas también se llaman pares ordenados, pares de coordenadas, y par de variable independiente y variable dependiente. En el par ordenado $(x, y)$ , $x$ es la entrada y $y$ es la salida.

pendiente

Una función lineal tiene una pendiente (o tasa de cambio) constante $(m)$ . La pendiente de una recta se puede encontrar usando la gráfica. Contamos el cambio vertical en unidades cuando nos movemos horizontalmente 1 unidad. Un movimiento hacia abajo es negativo. Un movimiento hacia la izquierda es negativo.

Si tenemos dos puntos, podemos usar la fórmula para encontrar la pendiente. Dados dos puntos distintos $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ en la recta, la pendiente es:

$m = \frac{(y_{2} - y_{1})}{(x_{2} - x_{1})}$

periodo de rotación

El periodo de rotación es el tiempo que tarda una rotación completa de la rueda de la fortuna.

periodo de una función periódica

La duración de un ciclo completo de un movimiento cíclico o periódico. El diagrama muestra la gráfica de $y = \sin θ$ . La gráfica comienza en $0$ . En $2 π$ , la gráfica comienza a repetirse porque completó un ciclo. El periodo es $2 π$ .

población (en estadística)

El grupo de individuos que se estudiará para responder una pregunta de investigación.

producto

Un producto es el resultado de una multiplicación.

proporción de una muestra

La proporción de individuos de una muestra que pertenecen a cierto grupo.

El símbolo es $\hat{p}$ ( $p$ sombrero).

proporción de una población

Una proporción de una población es una fracción de la población que tiene cierta característica. Se denota con la letra $p$ y se puede escribir como fracción, por ejemplo, $p = \frac{156}{1000}$ , o como decimal, $p = 0.156$ .

puntaje z

Es el número de desviaciones estándar a las que un valor dado de $x$ está por encima o por debajo de la media en una distribución normal. Para transformar los datos de una distribución normal a una distribución normal estándar, se usa la fórmula:

$puntaje z = \frac{dato - media}{desviaci \overset{´}{o} n est \overset{´}{a} ndar}$

punto de inflexión

Un punto en el que una curva cambia de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba, o viceversa.

En una curva normal hay dos puntos de inflexión. Cada uno está a una desviación estándar de la media.

radián

Una unidad de medida de ángulos. 1 radián es la medida del ángulo formado en el centro de un círculo por un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.

En general, la medida de un ángulo en radianes es la razón entre la longitud del arco que corresponde al ángulo y el radio del círculo.

raíces: reales y complejas

Las soluciones de una ecuación de la forma $f (x) = 0$ .

rango de una función

Es el conjunto de todos los valores de $y$ que se obtienen al evaluar la función en todos los posibles valores de $x$ . Es el conjunto de todos los posibles valores de salida de la función. Los valores en el rango también se conocen como los valores de la variable dependiente.

rayo final o lado final

El lado de un ángulo en posición estándar que no está en la parte positiva del eje $x$ , pero tiene un extremo en el origen (su centro de rotación).

rayo inicial

Ver ángulo de rotación en posición estándar.

recta media de una función trigonométrica

Una recta horizontal alrededor de la cual oscila la gráfica de una función periódica. La ecuación de la recta media es $y = k$ , en donde $k$ es el valor de la traslación vertical de la función.

reflexión

Una reflexión es un tipo de transformación rígida (isometría). En una reflexión, los puntos de la preimagen y la imagen están a la misma distancia de una recta llamada la recta de reflexión. Los segmentos que unen los puntos correspondientes son perpendiculares a la recta de reflexión.

Al reflejar una figura, su orientación se invierte.

residuo

Ver división.

resta de polinomios

En los números, la resta y la suma son operaciones opuestas. Esto también es válido en los polinomios. El diagrama muestra cómo se relacionan las partes de un problema de suma y un problema de resta.

S–X

sección transversal de un sólido

La cara que se forma cuando un plano corta un objeto de tres dimensiones.

símbolos de estadísticos de una muestra y parámetros de la población correspondientes

Estadístico de la muestra	Parámetro de la población	Descripción
$n$	$N$	número de individuos de la muestra o población
$\overset{―}{x}$ “ $x$ barra”	$μ$ “mu”	media
$s$	$σ$ “sigma”	desviación estándar
$r$	$ρ$ “ro”	coeficiente de correlación lineal
$\hat{p}$ “ $p$ sombrero”	$p$	proporción

simulación

Un modelo de un evento aleatorio; suele hacerse con ayuda de tecnología.

Uno de sus propósitos es comprobar una hipótesis sin tener que realizar un experimento real. A veces se usa una simulación porque es más barato, más rápido y menos arriesgado que un experimento real.

sistema de coordenadas rectangulares

Es el plano de dos dimensiones que nos permite visualizar la forma de una función al graficarla. También se conoce como sistema de coordenadas cartesianas.

Cada punto del plano está definido por un par ordenado. ¡El orden es importante! El primer número siempre es la coordenada $x$ ; el segundo es la coordenada $y$ .

sólido de revolución

Un objeto de tres dimensiones que se forma al girar una figura de dos dimensiones alrededor de un eje.

Un disco es una sección del sólido de revolución. La cara de cada disco es un círculo.

Un anillo es una sección de un sólido de revolución hueco. Su cara es un círculo que tiene un hueco en el centro.

solución inválida

Una solución que se encuentra al solucionar una ecuación, pero que no es solución de la ecuación original.

sustraendo

Ver resta de polinomios.

tasa de cambio (pendiente)

Una tasa que describe cómo cambia la salida de una función en relación con la entrada.

Las tasas de cambio de una función nos ayudan a entender la función y clasificarla.

En una función lineal, si $x$ es la variable independiente y $y$ es la variable dependiente, la tasa de cambio es $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ y se llama la pendiente.

Una función exponencial tiene una tasa de cambio exponencial.

Una función cuadrática tiene una tasa de cambio lineal.

Una función cúbica tiene una tasa de cambio cuadrática.

teorema del límite central (TLC)

Este teorema permite conocer la distribución de la media de una muestra sin tener que tomar más muestras para comparar las distintas medias.

La idea básica del TLC es que con una muestra lo suficientemente grande, la distribución del estadístico de la muestra, ya sea la media o una proporción, se volverá aproximadamente normal y el centro de la distribución será el parámetro real.

teorema del residuo para polinomios

El teorema del residuo dice que si un polinomio $f (x)$ se divide entre $x - a$ , el residuo es igual a $f (a)$ .

¿Por qué esto es verdadero? El algoritmo de la división se puede usar para demostrar el teorema del residuo.

tiempo transcurrido

El tiempo que pasa desde que la persona que se mueve en una rueda de la fortuna estaba en la posición de más a la derecha (posición estándar con el rayo inicial en el eje $x$ positivo).

transformaciones de una función (rígidas)

Una transformación rígida de una función consiste en un desplazamiento hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, o una reflexión vertical u horizontal de la gráfica de la función.

Desplazamiento vertical

$f (x) + k$

Hacia arriba cuando $k > 0$

Hacia abajo cuando $k < 0$

Desplazamiento horizontal

$f (x + k)$

Hacia la izquierda cuando $k > 0$

Hacia la derecha cuando $k < 0$

Reflexión

$- f (x)$ : reflexión con respecto al eje $x$

$f (- x)$ : reflexión con respecto al eje $y$

Una dilatación (vertical) es una transformación no rígida dada por $k f (x)$ , que hace que la función crezca más rápidamente o más lentamente dependiendo del valor de $k$ . Si $k > 1$ , crece más rápidamente y la gráfica se estira. Si $0 < k < 1$ , la función crece más lentamente y la gráfica se comprime verticalmente.

triángulo acutángulo

Un triángulo que tiene tres ángulos agudos.

Los ángulos $A$ , $B$ y $C$ son todos agudos.

El triángulo $△ A B C$ es un triángulo acutángulo.

triángulo de Pascal

Un arreglo triangular de números llamado en honor al famoso matemático Blaise Pascal. Todos los números a los lados izquierdo y derecho son $1$ (incluido el número en la parte superior del triángulo). Para obtener cualquier otro número del triángulo, se suman los dos números que están encima de este. El número de la parte superior se considera la fila $0$ del triángulo.

triángulo de referencia

Un triángulo rectángulo que se forma al unir el eje $x$ con el rayo final de un ángulo en posición estándar. En el diagrama, el triángulo de referencia es $△ A C D$ .

triángulos rectángulos especiales

Hay dos triángulos rectángulos especiales. Son especiales porque sus longitudes se pueden encontrar sin usar trigonometría.

trinomio

Un polinomio que tiene tres términos.

tronco

La parte inferior de un sólido (como una pirámide o un cono) que queda después de cortar una parte superior con un plano paralelo a la base.

unimodal

Ver moda o modas.

variable independiente / variable dependiente

En una función, la variable independiente es la entrada de la función y la variable dependiente es la salida que se obtiene al aplicar la regla de la función. Juntas, estas variables también se llaman pares ordenados, pares de coordenadas y parejas de entrada y salida. El dominio es el conjunto de valores de la variable independiente y el rango es el conjunto de valores de la variable dependiente.

velocidad angular

La velocidad angular es la tasa a la que cambia el ángulo al que está un objeto. Puede medirse en $(\frac{grados}{segundo})$ , aunque por lo general se mide en $(\frac{radianes}{segundo})$ .

A–F

G–L

M–R

S–X

Y–Z