Lección 2 Ferraris en reversa Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Entender la inversa de una función cuadrática.

Descubrir qué relación hay entre el dominio y el rango de una función y el dominio y el rango de su inversa.

Entender cuándo la inversa de una función también es una función.

¿Todas las funciones tienen inversas? Si es así, ¿todas las inversas siempre son funciones?

¿Qué tipo de función es la inversa de una función cuadrática?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Cuando la gente aprende a conducir, suelen decirles que cuanto más rápido conduzcan, más tiempo tardarán en detenerse. Por eso, al conducir en la autopista, debes dejar más espacio entre tu auto y el auto que está en frente que cuando conduces despacio por un vecindario. ¿Te has preguntado sobre la relación que hay entre la velocidad a la que conduces y la distancia que recorres antes de detenerte, después de pisar el freno?

1.

Piensa un minuto al respecto. ¿Qué factores crees que podrían marcar la diferencia en la distancia que recorre un auto después de pisar el freno?

De hecho, se han hecho muchos experimentos (sobre todo por parte de departamentos de policía y compañías de seguros) para poder modelar matemáticamente la relación entre la velocidad de un auto y la distancia de frenado (la distancia que recorre el auto hasta detenerse después de que se pisa el freno).

2.

Imagínate el auto de tus sueños. Tal vez un Ferrari 550 Maranello, un auto italiano muy veloz. Los experimentos realizados han mostrado que en carreteras lisas y secas, la relación entre la distancia de frenado ( $d$ ) y la velocidad ( $s$ ) está dada por $d (s) = 0.03 s^{2}$ . La velocidad se da en millas/hora y la distancia se da en pies.

a.

¿Cuántos pies debe haber entre tu auto y el auto que está en frente si conduces el Ferrari a $55 mph$ ?

b.

¿Qué distancia debes mantener entre tu auto y el auto que está en frente si conduces a $100 mph$ ?

c.

Si un auto promedio mide más o menos $16 pies$ de largo, ¿aproximadamente cuánto espacio debe haber, en términos de longitudes de auto, entre tu auto y el auto que está en frente si conduces a $100 mph$ ?

d.

Para muchas personas tiene sentido que si el auto se mueve a cierta velocidad y luego va el doble de rápido, la distancia de frenado será el doble. ¿Esto es verdadero? Explica por qué sí o por qué no.

3.

Grafica la relación entre la distancia de frenado, $d (s)$ , y la velocidad, $s$ .

4.

Según la empresa Ferrari, la velocidad máxima del auto es aproximadamente $217 mph$ . Usa esta información para describir todas las características matemáticas de la relación entre la distancia de frenado y la velocidad del Ferrari modelada por $d (s) = 0.03 s^{2}$ . Tu respuesta debe incluir el dominio y el rango, así como las intersecciones con los ejes $x$ y $y$ , los máximos o mínimos, y los intervalos en los que la función crece y decrece.

5.

¿Qué pasaría si la conductora del Ferrari 550 fuera a toda velocidad y de repente pisara el freno para detenerse porque vio un gato en la carretera? El auto derrapa hasta detenerse y, afortunadamente, el gato se salva. La conductora se baja y mide las marcas de frenado que dejó el auto. Se da cuenta de que la distancia de frenado es $31 pies$ .

a.

¿A qué velocidad iba cuando ella pisó el freno?

b.

Si ella no hubiera visto el gato hasta estar a $15 pies$ de distancia del animal, ¿cuál es la máxima velocidad a la que podría desplazarse justo antes de pisar el freno para evitar atropellar al gato?

6.

Parte del trabajo de los policías es investigar los accidentes de tránsito para determinar la causa y saber quién tuvo la culpa. Ellos usan las marcas de frenado para medir la distancia de frenado y usan relaciones matemáticas para calcular las velocidades, tal como lo hemos hecho (aunque suelen usar fórmulas diferentes que tienen en cuenta otros factores, como las condiciones de la carretera). Volvamos al caso del Ferrari en una carretera lisa y seca, ya que conocemos la relación. Haz una tabla que muestre la velocidad a la que se desplazaba el auto en función de la distancia de frenado.

7.

Escribe una ecuación de la función $s (d)$ , que da la velocidad a la que se desplazaba el auto en términos de la distancia de frenado.

8.

Grafica la función $s (d)$ y describe sus características: dominio, rango, intersecciones con los ejes $x$ y $y$ , mínimos e intervalos en los que la función crece o decrece.

Características de $s (d)$ :

9.

¿Qué observas con respecto a la gráfica de $s (d)$ comparada con la gráfica de $d (s)$ ? ¿Cuál es la relación entre las funciones $d (s)$ y $s (d)$ ?

10.

Considera la función $d (s) = 0.03 s^{2}$ definida en el dominio de todos los números reales, y no solo en el dominio de esta situación problema. ¿Cómo cambia la gráfica comparada con la gráfica de $d (s)$ del problema 3?

11.

Al cambiar el dominio de $d (s)$ , ¿cómo cambia la gráfica de la inversa de $d (s)$ ?

12.

¿La inversa de $d (s)$ es una función? Justifica tu respuesta.

¿Listo para más?

Encuentra un dominio en el que la función sea invertible. Luego, encuentra la inversa.

$f (x) = \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 4$

Aprendizajes

Características de las funciones y sus inversas:

Notación, convenciones y vocabulario

Función invertible:

Vocabulario

dominio
ecuación cuadrática
función cuadrática
función invertible
función uno a uno
intervalos en los que crece o en los que decrece una función
máximo / mínimo
rango de una función
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección analizamos una función cuadrática y su inversa. Descubrimos las características que tienen en común varios tipos de funciones y sus inversas. Aprendimos que algunas funciones son invertibles, y que si una función no es invertible, el dominio se puede restringir para que la función sea invertible.

Repaso

Despeja $x$ .

1.

$\sqrt{x^{2} + x - 11} = 3$

2.

Sean $f (x) = 5 x$ y $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

Encuentra $f (g (x))$ .