Lección 3 Propiedades de los logaritmos Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

1.

Grafica la ecuación $y = 2 + \log_{2} (x + 3)$ .

2.

Escribe la ecuación para la función logarítmica en base $2$ que está representada por la siguiente gráfica:

Focos de aprendizaje

Usar gráficas para descubrir propiedades de los logaritmos.

Justificar conjeturas sobre los logaritmos.

¿A partir de las gráficas de las funciones logarítmicas podemos intuir algunas propiedades algebraicas de los logaritmos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Mientras Abe y Mary trabajan juntos en su tarea de matemáticas, a Abe se le ocurre una idea brillante.

Abe: Estaba mirando esta función logarítmica que graficamos en la lección “Grafiquemos logaritmos”:

$y = \log_{2} (x + b)$ .

Empecé a pensar que tal vez podía simplemente “distribuir” el logaritmo y así obtener:

$y = \log_{2} x + \log_{2} b$ .

Lo que digo es que pienso que estas son expresiones equivalentes, entonces podría escribirlo así:

$\log_{2} (x + b) = \log_{2} x + \log_{2} b$ .

Mary: No estoy segura de eso. Los logaritmos son complicados y no creo que se pueda hacer lo mismo aquí que cuando distribuyes un número.

1.

¿Qué piensas? ¿Cómo puedes verificar si la idea de Abe funciona?

2.

Si la idea de Abe funciona, escribe algunos ejemplos que ilustren por qué funciona. Si la idea de Abe no funciona, escribe un contraejemplo.

Abe: Solo sé que algo sucede con estos logaritmos. Acabo de graficar $f (x) = \log_{2} (4 x)$ y esta es la gráfica:

Es raro porque creo que esta gráfica es solamente una traslación de $y = \log_{2} x$ . ¿Es posible que la ecuación de esta gráfica se pueda escribir de más de una manera?

3.

¿Cómo responderías a la pregunta de Abe? ¿Hay condiciones que permitan que la misma gráfica tenga distintas ecuaciones?

Mary: Cuando dices “una traslación de $y = \log_{2} x$ ”, ¿quieres decir que es solamente un desplazamiento vertical u horizontal? ¿Cuál podría ser esa ecuación?

4.

Encuentra una ecuación para $f (x)$ que muestre a la función como un desplazamiento horizontal o vertical de $y = \log_{2} x$ .

Mary: Me pregunto por qué el desplazamiento vertical resultó siendo de $2$ unidades hacia arriba cuando la $x$ se multiplicó por $4$ . Me pregunto si tiene algo que ver con la potencia a la que está elevada la base, ya que esta es una función logarítmica. Intentemos ver qué sucede con $y = \log_{2} (8 x)$ y con $y = \log_{2} (16 x)$ .

5.

Para cada una de estas gráficas, intenta escribir una ecuación equivalente que sea un desplazamiento vertical de $y = \log_{2} x$ .

a.

$y = \log_{2} (8 x)$

Ecuación equivalente:

b.

$y = \log_{2} (16 x)$

Ecuación equivalente:

Mary: ¡Cielos! ¡Creo que sé qué está pasando aquí! Esto es lo que vemos a partir de las gráficas:

$\begin{matrix} \begin{aligned} \log_{2} (4 x) & = 2 + \log_{2} x \\ \log_{2} (8 x) & = 3 + \log_{2} x \\ \log_{2} (16 x) & = 4 + \log_{2} x \end{aligned} \end{matrix}$

Esta es la parte brillante: Sabemos que $\log_{2} 4 = 2$ , $\log_{2} 8 = 3$ y $\log_{2} 16 = 4$ . Entonces:

$\begin{matrix} \begin{aligned} \log_{2} (4 x) & = \log_{2} 4 + \log_{2} x \\ \log_{2} (8 x) & = \log_{2} 8 + \log_{2} x \\ \log_{2} (16 x) & = \log_{2} 16 + \log_{2} x \end{aligned} \end{matrix}$

Creo que se parece a la cosa “distributiva” que intentabas hacer, pero como no puedes realmente distribuir una función, entonces es solamente una regla de multiplicación logarítmica. Creo que mi regla sería esta:

$\log_{2} (a b) = \log_{2} a + \log_{2} b$

6.

¿Cómo puedes expresar la regla de Mary en palabras?

7.

¿Esta afirmación es verdadera? Si lo es, escribe algunos ejemplos que ilustren por qué funciona. Si no es verdadera, escribe un contraejemplo.

Mary: Me pregunto si sucede algo similar cuando tienes una división dentro del argumento de una función logarítmica. Voy a intentar con más ejemplos. Si mi teoría funciona, entonces todas estas gráficas van a ser solamente desplazamientos verticales de $y = \log_{2} x$ .

8.

Estos son los ejemplos de Mary y sus gráficas. Para probar la teoría de Mary, intenta escribir una ecuación equivalente para cada una de estas gráficas que sea un desplazamiento vertical de $y = \log_{2} x$ .

a.

$y = \log_{2} (\frac{x}{4})$

Ecuación equivalente:

b.

$y = \log_{2} (\frac{x}{8})$

Ecuación equivalente:

9.

Usa estos ejemplos para escribir una regla para la división dentro del argumento de un logaritmo que se parezca a la regla que Mary escribió para la multiplicación.

10.

¿Esta afirmación es verdadera? Si lo es, escribe algunos ejemplos que ilustren por qué funciona. Si no es verdadera, escribe un contraejemplo.

Abe: Definitivamente eres brillante por pensar en esa regla de la multiplicación. Pero yo soy un genio porque usé tu regla de la multiplicación para encontrar una regla para las potencias. Digamos que comienzas con:

$\log_{2} (x^{3})$

Eso es realmente lo mismo que tener $\log_{2} (x \cdot x \cdot x)$ .

Entonces puedo usar tu regla de la multiplicación y escribir $\log_{2} x + \log_{2} x + \log_{2} x$ .

Observo que hay 3 términos que son el mismo. Eso hace que sea $3 \log_{2} x$ .

Así que esta es mi regla: $\log_{2} (x^{3}) = 3 \log_{2} x$ .

Si tu regla es verdadera, entonces he demostrado mi regla de la potencia.

Mary: No creo que sea realmente una regla de la potencia, a menos que funcione para cualquier potencia. Tú solamente mostraste que funciona para 3.

Abe: ¡Rayos! Está bien. Voy a decir que puede ser cualquier número $x$ elevado a cualquier potencia $k$ . Esta es mi regla de la potencia:

$\log_{2} (x^{k}) = k \log_{2} x$

¿Estás satisfecha?

11.

Escribe un argumento acerca de la regla de la potencia de Abe. ¿Es verdadera o no?

Abe: Antes de que nos ganemos el premio Nobel de matemáticas, supongo que tenemos que pensar si estas reglas funcionan o no para cualquier base.

12.

Las tres reglas, escritas para cualquier base $b > 1$ son:

Regla del logaritmo de un producto: $\log_{b} x y = \log_{b} x + \log_{b} y$

Regla del logaritmo de un cociente: $\log_{b} \frac{x}{y} = \log_{b} x - \log_{b} y$

Regla del logaritmo de una potencia: $\log_{b} x^{k} = k \log_{b} x$

Argumenta por qué estas reglas van a funcionar con cualquier base $b > 1$ si funcionan para la base 2.

¿Listo para más?

Encuentra un ejemplo que ilustre las reglas de los logaritmos en bases distintas a la base $2$ . Por ejemplo, podríamos ilustrar la regla del producto de un logaritmo en base $3$ así:

$\log_{3} 27 = 3$ y $\log_{3} (3 \cdot 9) = \log_{3} 3 + \log_{3} 9 = 1 + 2 = 3$ .

Aprendizajes

Propiedades de los logaritmos:

Resumen de la lección

En esta lección examinamos algunas gráficas para encontrar expresiones equivalentes de funciones logarítmicas. Justificamos las siguientes tres propiedades de los logaritmos que son verdaderas para cualquier base logarítmica:

Regla del logaritmo de un producto: $\log_{b} (x y) = \log_{b} x + \log_{b} y$

Regla del logaritmo de un cociente: $\log_{b} (\frac{x}{y}) = \log_{b} x - \log_{b} y$

Regla del logaritmo de una potencia: $\log_{b} (x^{k}) = k \log_{b} x$

Repaso

1.

Reescribe la expresión usando exponentes. $\sqrt[3]{(54 x^{6})}$

2.

Reescribe $\log_{2} \sqrt[3]{8}$ usando un exponente fraccionario.

3.

Reescribe la ecuación $6^{5} = 7,776$ en forma logarítmica.