Lección 4 Log-aritm-ética Practico lo que aprendí

Actividad inicial

Grafica las siguientes funciones:

a.

$f (x) = \log_{2} (x + 1)$

b.

$g (x) = 2 \log_{2} (x + 1)$

Focos de aprendizaje

Usar las propiedades de los logaritmos para encontrar expresiones algebraicas equivalentes.

Usar las propiedades de los logaritmos para encontrar los valores de expresiones logarítmicas a partir de otros valores ya conocidos.

¿Cómo nos pueden ayudar las propiedades de los logaritmos a trabajar con expresiones logarítmicas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Abe y Mary se sienten bien con sus reglas de los logaritmos y presumen su proeza matemática con todos sus amigos. Entonces ocurre esta conversación:

Stephen: Supongo que piensan que son muy inteligentes porque descubrieron algunas reglas, pero yo quiero saber para qué sirven.

Abe: Bueno, hemos visto varias ocasiones en las que son útiles las expresiones equivalentes. A veces cuando escribes de una forma distinta una expresión que tiene una variable, significa algo distinto.

1.

Escribe algunos ejemplos de ocasiones en las que hayan sido útiles las expresiones equivalentes. Piensa en tus experiencias anteriores.

Mary: Estaba pensando en la lección “Lógica logarítmica”, en la que intentábamos estimar y ordenar ciertos valores de logaritmos. Me preguntaba si podríamos usar nuestras reglas de los logaritmos para encontrar valores desconocidos a partir de valores que conocemos.

Por ejemplo, digamos que quieres calcular $\log_{2} 6$ . Si sabes el valor de $\log_{2} 2$ y de $\log_{2} 3$ , entonces puedes usar la regla del producto y escribir:

$\log_{2} (2 \cdot 3) = \log_{2} 2 + \log_{2} 3$

Stephen: Eso es genial. Todo el mundo sabe que $\log_{2} 2 = 1$ , pero ¿cuál es el valor de $\log_{2} 3$ ?

Abe: Ah, lo vi en algún lugar. Mmm, $\log_{2} 3 = 1.585$ . Entonces la idea de Mary realmente funciona. Tú dices:

$\begin{matrix} \begin{aligned} \log_{2} (2 \cdot 3) & = \log_{2} 2 + \log_{2} 3 \\ = 1 + 1.585 \\ = 2.585 \\ \log_{2} 6 & = 2.585 \end{aligned} \end{matrix}$

2.

Con base en lo que sabes sobre los logaritmos, explica por qué $2.585$ es un valor razonable para $\log_{2} 6$ .

Stephen: ¡Oh, oh! Tengo uno. Puedo descifrar $\log_{2} 5$ así:

$\begin{matrix} \begin{aligned} \log_{2} (2 + 3) & = \log_{2} 2 + \log_{2} 3 \\ = 1 + 1.585 \\ = 2.585 \\ \log_{2} 5 & = 2.585 \end{aligned} \end{matrix}$

3.

¿Tanto Stephen como Mary pueden tener razón? Explica quién tiene razón, quién no tiene razón (si alguno no la tiene) y por qué.

Ahora tú mismo puedes intentar aplicar las reglas de los logaritmos. Usa los valores que se dan y los que sabes por definición, como $\log_{2} 2 = 1$ , para encontrar los siguientes valores. Explica lo que hiciste en el espacio que hay después de cada problema.

$\log_{2} 3 = 1.585$

$\log_{2} 5 = 2.322$

$\log_{2} 7 = 2.807$

Las tres reglas, escritas para cualquier base $b > 1$ son:

Regla del logaritmo de un producto: $\log_{b} x y = \log_{b} x + \log_{b} y$

Regla del logaritmo de un cociente: $\log_{b} \frac{x}{y} = \log_{b} x - \log_{b} y$

Regla del logaritmo de una potencia: $\log_{b} x^{k} = k \log_{b} x$

4.

$\log_{2} 9 =$

5.

$\log_{2} 10 =$

6.

$\log_{2} 12 =$

7.

$\log_{2} (\frac{7}{3})$

8.

$\log_{2} (\frac{30}{7}) =$

9.

$\log_{2} 486 =$

10.

Con base en el trabajo que acabas de hacer, ¿qué otros valores necesitas para encontrar el valor del logaritmo en base $2$ de cualquier número racional?

A veces pensar en expresiones equivalentes con logaritmos puede ser complicado. Considera las siguientes expresiones y decide si siempre son verdaderas, para los números del dominio de la función logarítmica, a veces son verdaderas o nunca son verdaderas. Explica tus respuestas. Si tu respuesta es “a veces es verdadera”, describe las condiciones que se deben cumplir para que la afirmación sea verdadera.

11.

$\log_{4} 5 - \log_{4} x = \log_{4} (\frac{5}{x})$

12.

$\log 3 - \log x - \log x = \log (\frac{3}{x^{2}})$

13.

$\log x - \log 5 = \frac{\log x}{\log 5}$

14.

$5 \log x = \log x^{5}$

15.

$2 \log x + \log 5 = \log (x^{2} + 5)$

16.

$\frac{1}{2} \log x = \log \sqrt{x}$

17.

$\log (x - 5) = \frac{\log x}{\log 5}$

¿Listo para más?

Ya descifraste valores como $\log_{2} 6$ y te sabes algunos valores como $\log_{2} 4$ . ¿Qué otros valores podrías descifrar?

Escribe algunas expresiones logarítmicas más que se puedan calcular. Reta a otro estudiante con tu expresión logarítmica y luego intenta descifrar la expresión logarítmica que escribió ese estudiante.

Aprendizajes

Estrategias para trabajar con expresiones logarítmicas y para usar las propiedades de los logaritmos:

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a encontrar el valor de una expresión logarítmica combinando valores conocidos y usando las propiedades de los logaritmos. Determinamos si ciertas ecuaciones logarítmicas eran verdaderas y reforzamos el hecho de que las reglas del producto y del cociente solo funcionan cuando hay una multiplicación o una división dentro del argumento del logaritmo.

Repaso

Factoriza el máximo factor común de la expresión. Luego reescribe los números que queden dentro de los paréntesis.

1.

$12 + 12 (0.75)$

2.

$200 - 200 (0.4)$

3.

Usa tu calculadora y la definición de $\log x$ (recuerda que la base es $10$ ) para encontrar el valor de $x$ . (Redondea tu respuesta usando cuatro cifras decimales).

$\log x = 2.95$