Lección 2 Grafiquemos logaritmos Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Grafica cada par de funciones en la misma gráfica.

1.

$y = x^{2}$ y $y = - {(x + 1)}^{2} + 3$

2.

$y = 2^{x}$ y $y = 2^{x} - 3$

Focos de aprendizaje

Identificar características que tienen en común las gráficas de las funciones logarítmicas.

Transformar la gráfica de una función logarítmica.

¿Cuáles son las características de las gráficas de las funciones logarítmicas?

¿Cómo podemos usar las características de la función básica para transformar las funciones logarítmicas?

¿En qué se parecen y en qué se diferencian el proceso de transformar las gráficas de las funciones logarítmicas y el de transformar las gráficas de las funciones cuadráticas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

1.

Construye una tabla de valores y dibuja una gráfica de cada una de las siguientes funciones. Asegúrate de elegir por lo menos dos valores que estén en el intervalo $(0, 1)$ .

a.

$f (x) = \log_{2} x$

b.

$g (x) = \log_{3} x$

c.

$k (x) = \log_{10} x$

2.

¿Cómo decidiste qué valores de $x$ usar en la tabla?

3.

¿Cómo usaste los valores de $x$ para encontrar los valores de $y$ de la tabla?

4.

¿En qué se parecen las gráficas?

5.

¿En qué se diferencian las gráficas?

6.

¿Qué efecto tiene cambiar la base en la gráfica de una función logarítmica?

Ahora enfoquémonos en la función $k (x) = \log_{10} x$ de manera que podamos usar tecnología para observar los efectos de cambiar los parámetros de la función. Es común usar $10$ como base en las funciones exponenciales y logarítmicas. Por eso, la función suele escribirse sin la base: $k (x) = \log x$ .

7.

Usa tecnología para graficar $y = \log x$ . ¿En qué se parecen y en qué se diferencian esta gráfica y la que tú dibujaste?

8.

¿En qué crees que se van a diferenciar la gráfica de $y = a + \log x$ y la gráfica de $y = \log x$ ?

9.

Grafica $y = a + \log x$ usando varios valores de $a$ para comprobar tu predicción. ¿Qué efecto tiene $a$ en la gráfica? Escribe un argumento general para explicar por qué esto es verdadero para todas las funciones logarítmicas.

10.

¿En qué crees que se van a diferenciar la gráfica de $y = \log (x + b)$ y la gráfica de $y = \log x$ ?

11.

Grafica $y = \log (x + b)$ usando varios valores de $b$ para probar tu predicción.

a.

¿Qué efecto tiene sumar $b$ ?

b.

¿Qué efecto tendrá restar $b$ (o sumar un número negativo)?

c.

Escribe un argumento general para explicar por qué esto es verdadero para todas las funciones logarítmicas.

12.

Escribe una ecuación para cada una de las siguientes funciones que son transformaciones de $f (x) = \log_{2} x$ .

a.

b.

13.

Grafica las siguientes funciones:

a.

$f (x) = 2 + \log_{2} (x - 1)$

b.

$g (x) = - 1 + \log_{2} (x + 2)$

14.

Compara las transformaciones de las gráficas de las funciones logarítmicas con las transformaciones de las gráficas de las funciones cuadráticas. ¿Qué semejanzas y qué diferencias observas?

¿Listo para más?

Grafica: $y = 3 \log_{2} x$ .

¿Qué efecto tiene el $3$ de la ecuación en la gráfica?

Aprendizajes

Características de las funciones logarítmicas, $b > 1$ :

Cómo graficar rápidamente las funciones logarítmicas:

Ejemplo con la función: $y = - 2 + \log_{2} (x - 1)$ .

Notación, convenciones y vocabulario

Asíntota vertical:

Vocabulario

ampliación vertical
asíntota
asíntota vertical
desplazamiento horizontal
desplazamiento vertical
función básica
reflexión
transformaciones de una función (rígidas)
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección graficamos funciones logarítmicas a mano y usamos tecnología para determinar las características que tenían en común las gráficas. También usamos tecnología para identificar cómo se ven las transformaciones en las ecuaciones de las funciones logarítmicas. Examinamos las gráficas de funciones transformadas para escribir sus ecuaciones, y graficamos funciones transformadas a partir de sus ecuaciones.

Repaso

1.

a.

Evalúa $\log_{2} 128$ .

b.

Evalúa $\log_{5} 125$ .

2.

Reescribe ${(5 x^{- 3})}^{- 2} \cdot 5 x^{- 4}$ . Tu respuesta debe tener solamente exponentes positivos.