Lección 1La mitad de eso de nuevo

Objetivo de aprendizaje

Usemos fracciones para describir aumentos y disminuciones.

Metas de aprendizaje

Entiendo que “la mitad de eso de nuevo” y “multiplicar por $\frac{3}{2}$ ” significan lo mismo.
Puedo usar la propiedad distributiva para reescribir una expresión tal como $x + \frac{1}{2} x$ de la manera $(1 + \frac{1}{2}) x$ .

Términos de la lección

diagrama de cinta
porcentaje
tasa unitaria

Calentamiento: Observa y pregúntate: diagramas de cinta

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Actividad 1: Caminar la mitad de eso de nuevo

Problema 1

Completa la tabla para mostrar la distancia total que se caminó en cada caso.

La tortuga de Jada caminó 10 pies y luego la mitad de esa longitud de nuevo.
El hermano menor de Jada caminó 3 pies y luego la mitad de esa longitud de nuevo.
El hámster de Jada caminó 4.5 pies y luego la mitad de esa longitud de nuevo.
El robot de Jada caminó 1 pie y luego la mitad de esa longitud de nuevo.
Una persona caminó $x$ pies y luego la mitad de esa longitud de nuevo.

distancia inicial	distancia total
$10$
$3$
$4.5$
$1$
$x$

Problema 2

Explica cómo calculaste la distancia total en cada caso.

Problema 3

Dos estudiantes escribieron cada uno una ecuación para representar la relación entre la distancia inicial que se caminó ( $x$ ) y la distancia total que se caminó ( $y$ ).

Mai escribió $y = x + \frac{1}{2} x$ .
Kiran escribió $y = \frac{3}{2} x$ .

¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Zenón saltó 8 metros. Luego, saltó la mitad de esa distancia de nuevo (4 metros). Luego, saltó la mitad de eso otra vez (2 metros). Entonces, después de tres saltos, él estaba a $8 + 4 + 2 = 14$ metros del lugar en el que empezó.

Zenón siguió saltando cada vez la mitad de nuevo. ¿Qué tan lejos estaría después de 4 saltos?, ¿5 saltos?, ¿6 saltos?
Antes de empezar a saltar, Zenón hizo una marca en el piso exactamente a 16 metros del lugar donde empezó a saltar. ¿Qué tan cerca de la marca puede llegar Zenón si continúa saltando cada vez la mitad de nuevo? (Considera investigar sobre la paradoja de Zenón).

Actividad 2: Más y menos

Problema 1

Empareja cada situación con un diagrama. Es posible que un diagrama no tenga pareja.

Han comió $x$ onzas de arándanos. Mai comió $\frac{1}{3}$ menos que eso.
Mai montó en bicicleta $x$ millas. Han montó en bicicleta $\frac{2}{3}$ más que eso.
Han compró $x$ libras de manzanas. Mai compró $\frac{2}{3}$ de eso.

Problema 2

Para cada diagrama, escribe una ecuación que represente la relación entre $x$ y $y$ .

Diagrama A:

Diagrama B:

Diagrama C:

Diagrama D:

Problema 3

Escribe una historia para uno de los diagramas que no tiene pareja.

Actividad 3: Clasificación de tarjetas: representaciones de relaciones proporcionales

Tu profesor te dará un juego de tarjetas que tienen relaciones proporcionales representadas de 3 maneras diferentes: descripciones, ecuaciones y tablas. Mezcla las tarjetas y ponlas boca arriba.

Túrnate con un compañero para emparejar una descripción con una ecuación y una tabla.
- Para cada grupo de 3 que encuentres, explica a tu compañero cómo sabes que las tarjetas corresponden.
- Para cada grupo de 3 que tu compañero encuentre, escucha con atención su explicación y si estás en desacuerdo, explícale tu razonamiento.
Cuando estén de acuerdo con todos los grupos de 3, verifiquen sus respuestas con la hoja de respuestas. Si hay errores, discutan por qué y revisen sus respuestas.

Resumen de la lección

Usar la propiedad distributiva hace más corto el proceso de calcular la cantidad total en situaciones que involucran sumar o restar una fracción de la cantidad original.

Por ejemplo, un día Clare corre 4 millas. El siguiente día, ella planea correr la misma distancia más la mitad de nuevo. ¿Qué tan lejos planea correr el siguiente día?

Mañana ella correrá 4 millas más $\frac{1}{2}$ de 4 millas. Podemos usar la propiedad distributiva para encontrar esto en un solo paso: $1 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 4 = (1 + \frac{1}{2}) \cdot 4$

Clare planea correr $1 \frac{1}{2} \cdot 4$ o 6 millas.

Esto también funciona cuando disminuimos por una fracción. Si Tyler gastó $x$ dólares en una camiseta nueva y Noah gastó $\frac{1}{3}$ menos que Tyler, entonces Noah gastó $\frac{2}{3} x$ dólares pues $x - \frac{1}{3} x = \frac{2}{3} x$ .