Lección 12Aplicaciones de aritmética con potencias de 10

Objetivo de aprendizaje

Usemos potencias de 10 para ayudarnos a hacer cálculos con números grandes y pequeños.

Metas de aprendizaje

Puedo decir si un número está escrito o no en notación científica.
Puedo usar lo que aprendí sobre potencias de 10 para responder preguntas sobre situaciones de la vida real.

Términos de la lección

notación científica

Calentamiento: ¿Qué información necesitas?

¿Qué información necesitas para responder las siguientes preguntas?

¿Cuántas varas de un metro se necesitan para igualar la masa de la Luna?
Si todas estas varas de un metro se alinearan extremo a extremo, ¿llegarían a la Luna?

Actividad 1: Varas de un metro hasta la Luna

Problema 1

¿Cuántas varas de un metro se necesitan para igualar la masa de la Luna? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 2

Etiqueta la recta numérica y ubica tu respuesta del número de varas de un metro.

Problema 3

Si tomas todas las varas de un metro de la pregunta anterior y las alineas extremo a extremo, ¿llegarán a la Luna? ¿Llegarían más allá de la distancia a la Luna? Si es así, ¿cuántas veces la distancia a la Luna? Explica tu razonamiento.

Problema 4

Un año luz es aproximadamente $10^{16}$ metros. ¿Cuántos años luz alcanzan las varas de un metro? Etiqueta la recta numérica y ubica tu respuesta.

¿Estás listo para más?

Este es un problema que necesitará múltiples pasos para resolverse. Puede que no sepas todos los datos que necesitas para resolver el problema. Eso está bien. Adivina respuestas razonables para cualquier cosa que no sepas. Tu respuesta final será una estimación.

Si todas las personas vivas en la Tierra en este momento se paran juntas muy cerca, ¿cuánta área ocuparían?

Actividad 2: La “ciencia” de la notación científica

La tabla muestra la rapidez de la luz o de la electricidad a través de diferentes materiales. Encierra en un círculo las rapideces que estén escritas en notación científica. Escribe las otras usando notación científica.

material	rapidez (metros por segundo)
espacio	$300, 000, 000$
agua	$2.25 \times 10^{8}$
cobre (electricidad)	$280, 000, 000$
diamante	$124 \times 10^{6}$
hielo	$2.3 \times 10^{8}$
aceite de oliva	$0.2 \times 10^{9}$

Actividad 3: Parejas con notación científica

El profesor les dará a ti y a tu compañero un juego de tarjetas. Algunas de las tarjetas muestran números en notación científica y otras tarjetas muestran números que no están en notación científica.

Baraja las tarjetas y ponlas boca a abajo.
Los jugadores toman turnos para intentar emparejar tarjetas con el mismo valor.
En tu turno, escoge dos tarjetas para poner boca arriba para que todos las vean. Luego:
1. Si las dos tarjetas tienen el mismo valor y una de ellas está escrita en notación científica, quien diga “¡Ciencia!” primero, se queda con las tarjetas y se vuelve el turno de ese jugador. Si ya es tu turno cuando dices “¡Ciencia!”, significa que es tu turno otra vez. Si dices “¡Ciencia!” cuando las tarjetas no son pareja o ninguna está en notación científica, entonces tu oponente obtiene un punto.
2. Si los dos compañeros están de acuerdo en que las dos tarjetas tienen el mismo valor, entonces retíralas del tablero y quédate con ellas. Tú obtienes un punto por cada tarjeta que tengas.
3. Si las dos tarjetas no tienen el mismo valor, entonces ponlas boca abajo en las mismas posiciones y termina tu turno.
Si no es tu turno:
1. Si las dos tarjetas tienen el mismo valor y una de ellas está escrita en notación científica, entonces quien diga “¡Ciencia!” primero, se queda con las tarjetas y se vuelve el turno de ese jugador. Si dices “¡Ciencia!” cuando las tarjetas no son pareja o ninguna está en notación científica, entonces tu oponente obtiene un punto.
2. Asegúrate de que ustedes dos estén de acuerdo en que las dos tarjetas tienen el mismo valor.
  Si están en desacuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo.
Quien tenga más puntos al final gana.

¿Estás listo para más?

Problema 1

¿Cuánto es $9 \times 10^{- 1} + 9 \times 10^{- 2}$ ? Expresa tu respuesta como:

Un decimal
Una fracción

Problema 2

¿Cuánto es $9 \times 10^{- 1} + 9 \times 10^{- 2} + 9 \times 10^{- 3} + 9 \times 10^{- 4}$ ? Expresa tu respuesta como:

Un decimal
Una fracción

Problema 3

Las respuestas a las dos preguntas anteriores deben haber sido cercanas a 1. ¿Hasta qué potencia de 10 tendrías que haber llegado si quisieras que tu respuesta fuera tan cercana a 1 que estuviera a solo $\frac{1}{1, 000, 000}$ ?

Problema 4

¿Hasta qué potencia de 10 tendrías que haber llegado si quisieras que tu respuesta fuera tan cercana a 1 que estuviera a solo $\frac{1}{1, 000, 000, 000}$ ?, ¿puedes seguir sumando números con este patrón para acercarte tanto a 1 como quisieras? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 5

Imagina una recta numérica que va desde tu posición actual (etiquetada con 0) hasta la puerta de la habitación en la que estás (etiquetada con 1). Para llegar a la puerta, tienes que pasar los puntos 0.9, 0.99, 0.999, etc. El filósofo griego Zenón argumentó que nunca podrás pasar por la puerta, porque primero tendrás que pasar por un número infinito de puntos. ¿Qué piensas?, ¿cómo le respondes a Zenón?

Resumen de la lección

El valor total de todas las monedas de veinticinco centavos que se hicieron en el 2014 es 400 millones de dólares. Hay muchas maneras de expresar esto usando potencias de 10. Podemos escribir esto como $400 \cdot 10^{6}$ dólares, $40 \cdot 10^{7}$ dólares, $0.4 \cdot 10^{9}$ dólares o de muchas otras maneras. Una manera especial de escribir esta cantidad se llama notación científica. En notación científica, 400 millones de dólares se escribe como $4 \times 10^{8}$ dólares. En notación científica, el símbolo $\times$ es la manera estándar de mostrar la multiplicación en vez del símbolo de punto ( $\cdot$ ). Escribir el número de esta manera muestra exactamente dónde se ubica entre dos potencias de 10 consecutivas. El $10^{8}$ nos muestra que el número está entre $10^{8}$ y $10^{9}$ . El 4 nos muestra que el número a cuatro décimas partes del camino entre 0 y $10^{9}$ .

Otros ejemplos de notación científica son $1.2 \times 10^{- 8}$ , $9.99 \times 10^{16}$ y $7 \times 10^{12}$ . El primer factor es un número mayor o igual que 1 pero menor que 10. El segundo factor es una potencia entera de 10.

Si recordamos cómo ubicamos estos números grandes (o pequeños) en una recta numérica, la notación científica nos dice qué potencias de 10 debemos ubicar a la izquierda y a la derecha de la recta numérica. Por ejemplo, si queremos ubicar $3.4 \times 10^{11}$ en una recta numérica, sabemos que el número es mayor que $10^{11}$ pero menor que $10^{12}$ . Podemos encontrar este número haciendo un acercamiento en la recta numérica: