Lección 6 Medio interesado o más interés Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Observa y pregúntate

En una lección anterior analizaste este contexto:

El medicamento que toma un paciente se va degradando en su torrente sanguíneo. Supón que a un perro se le da una dosis de $60 miligramos$ de un medicamento antiparasitario y cada hora se degrada $20 %$ del medicamento. ¿Cuántos miligramos de la dosis de $60 miligramos$ aún permanecen en el torrente sanguíneo del perro al cabo de $3 horas$ , de $4.25 horas$ y de $n horas$ ?

Estas son tres representaciones del contexto. Escribe al menos dos cosas que observas y una cosa que te preguntas sobre estas representaciones.

Representación # 1

Representación # 2

Representación #3

$A (t) = 60 {(0.8)}^{t}$

Focos de aprendizaje

Analizar cómo funcionan las propiedades de los exponentes al usar exponentes racionales.

Escribir funciones exponenciales equivalentes usando distintos factores de crecimiento.

¿Qué significan los exponentes racionales y los exponentes negativos en distintas situaciones?

¿Las leyes de los exponentes valen para exponentes racionales?

¿Cómo cambia el factor de crecimiento si consideramos el crecimiento exponencial en un mes en vez de en un año?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Carlos y Clarita, los gemelos Martínez, han manejado un negocio cada verano durante los últimos $5$ años. Su primer negocio fue un puesto de limonada en el vecindario, que obtuvo una pequeña ganancia. Su padre les sugirió depositar esa ganancia en una cuenta de ahorros de un banco cercano. Su interés anual era $5 %$ . Meses después, la familia Martínez se mudó y los gemelos decidieron dejar el dinero en el mismo banco. Carlos recordó que tenían ese dinero al leer el extracto bancario anual que recibieron por correo.

Carlos le dijo a Clarita: “Recuerda que papá dijo que podremos retirar este dinero del banco cuando tengamos $20$ años. Ahora tenemos $$ 382.88$ en la cuenta. Me pregunto: ¿cuánto habrá dentro de $5$ años?”.

1.

Carlos calcula el saldo de la cuenta $1$ año a la vez. Él ya calculó el saldo de los primeros $4$ años. Describe cómo puede encontrar el saldo del próximo año. Registra ese valor en la tabla.

Año	Dinero
$0$	$382.88$
$1$	$402.02$
$2$	$422.12$
$3$	$443.23$
$4$	$465.39$
$5$

2.

Clarita cree que calcular el saldo de la cuenta año por año es innecesario. Más bien, Carlos podría haber escrito una fórmula para el $n - \overset{´}{e} simo$ año y luego evaluarla en $n = 5$ . Escribe la fórmula de Clarita para el $n - \overset{´}{e} simo$ año y úsala para hallar el saldo de la cuenta al final del quinto año.

3.

Carlos se sorprendió de que la fórmula de Clarita diera el mismo saldo de cuenta que su estrategia de calcular año por año. Explica por qué pasa eso. Intenta convencer a Carlos.

Carlos dijo: “No recuerdo cuánto dinero ganamos ese verano. Me pregunto si podemos averiguar cuánto depositamos en la cuenta hace cinco años si sabemos el saldo actual de la cuenta”.

4.

Carlos siguió usando su estrategia para ampliar su tabla año por año, $5$ años hacia atrás. Explica qué crees que está haciendo para encontrar las cantidades de dinero de su tabla año por año. Sigue completando la tabla hasta llegar a $- 5$ , el número que Carlos usa para representar “hace $5$ años”.

Año	Dinero
$- 5$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$	$364.65$
$0$	$382.88$
$1$	$402.02$
$2$	$422.12$
$3$	$443.23$
$4$	$465.39$
$5$

Explicación:

5.

Clarita evaluó su fórmula en $n = - 5$ . Nuevamente, Carlos se sorprendió de que obtuvieron el mismo resultado. Explica por qué funciona el método de Clarita.

Clarita cree que dejar el dinero en el banco $5$ años más no es una buena idea. Ella sugiere que inviertan el dinero en su próximo negocio de verano. “Tendremos costos iniciales y este dinero los cubrirá sin que tengamos que retirar dinero de otras cuentas”.

Carlos comentó: “Retiremos nuestro dinero a mitad de año. ¿Crees que vamos a perder los intereses de este año?”.

“No, nos pagarán los intereses que corresponden a la mitad de un año”, respondió Clarita.

“Pero ¿cuánto dinero será?”, preguntó Carlos.

6.

Calcula el saldo de la cuenta y el interés que crees que le deberían pagar a Carlos y Clarita si retiran su dinero dentro de $\frac{1}{2}$ año. Recuerda que actualmente tienen $$ 382.88$ en la cuenta y que ganan un $5 %$ de interés anual. Describe tu estrategia.

Clarita usó esta estrategia para encontrar el saldo de la cuenta: reemplazar $\frac{1}{2}$ por $n$ en la fórmula $A = 382.88 {(1.05)}^{n}$ .

Carlos tenía algunas preguntas sobre la estrategia de Clarita:

¿Por qué número multiplicamos cuando usamos ${(1.05)}^{\frac{1}{2}}$ como factor?
¿Qué pasa si multiplicamos por ${(1.05)}^{\frac{1}{2}}$ y luego multiplicamos el resultado por ${(1.05)}^{\frac{1}{2}}$ otra vez? ¿No debería dar eso el valor de un año completo de interés? ¿Es correcto?
Si multiplicar por ${(1.05)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(1.05)}^{\frac{1}{2}}$ es lo mismo que multiplicar por $1.05$ , ¿qué parece indicar eso sobre el valor de ${(1.05)}^{\frac{1}{2}}$ ?

7.

Responde, lo mejor que puedas, las preguntas que tiene Carlos.

Haz una pausa y reflexiona

Mientras Carlos reflexiona sobre lo que han hecho, Clarita observa la fecha del extracto bancario que inició toda la conversación. Ella dice: “¡Este extracto es de hace tres meses! Eso significa que el banco nos debe pagar $\frac{3}{4}$ del interés que corresponde a $1$ año”.

“Entonces ¿cuánto interés nos debe pagar el banco?”, preguntó Carlos.

8.

Responde la pregunta de Carlos de tantas maneras como puedas: ¿cuál será el saldo de la cuenta en $\frac{3}{4}$ de año (nueve meses) si el interés anual es $5 %$ y el saldo actual es $$ 382.88$ ?

Ahora Carlos sabe que puede calcular intereses de una cuenta en periodos de menos de un año. Él quiere saber cuánto dinero hay cada mes en una cuenta si el interés anual es $5 %$ anual y el depósito inicial es $$ 300$ .

Primero, Carlos piensa en el dinero que hay cada mes en la cuenta durante el primer año. Él sabe que al final del año el saldo de la cuenta será $$ 315$ porque aumenta $5 %$ en el año completo.

9.

Completa la tabla que muestra cuánto dinero hay en la cuenta cada mes durante los primeros $12$ meses.

Depósito	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{12}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{6}{12}$	$\frac{7}{12}$	$\frac{8}{12}$	$\frac{9}{12}$	$\frac{10}{12}$	$\frac{11}{12}$	$1 a \tilde{n} o$
$$ 300$												$$ 315$

10.

¿Por qué número multiplicaste el saldo de la cuenta cada mes para obtener el saldo del mes siguiente?

Carlos sabe que si el tiempo $t$ se mide en años, la ecuación exponencial del saldo $A$ de la cuenta es $A = 300 {(1.05)}^{t}$ . Con base en lo que hizo para hallar el saldo cada mes, Carlos escribe esta ecuación para la misma cuenta: $A = 300 {({1.05}^{\frac{1}{12}})}^{12 t}$ .

11.

Verifica que ambas ecuaciones dan el mismo resultado. Usa las propiedades de los exponentes para explicar por qué las ecuaciones son equivalentes.

12.

¿Qué significa la expresión $12 t$ en esta ecuación?

Carlos le muestra su ecuación a Clarita. Ella sugiere que su ecuación también se podría plantear como $A = 300 {(1.004)}^{12 t}$ ya que ${1.05}^{\frac{1}{12}} = 1.004$ . Carlos responde: “Sé que el número $1.05$ en la ecuación $A = 300 {(1.05)}^{t}$ significa que gano $5 %$ de interés anual. ¿Qué significa el número $1.004$ en tu ecuación?”.

13.

Responde la pregunta de Carlos: ¿qué significa el número $1.004$ en $A = 300 {(1.004)}^{12 t}$ ?

Haz una pausa y reflexiona

Las propiedades de los exponentes se pueden usar para explicar por qué ${[{(1.05)}^{\frac{1}{12}}]}^{12 t} = {1.05}^{t}$ . Estos son otros ejemplos del uso de las propiedades de los exponentes con exponentes racionales. Reescribe cada expresión usando las propiedades de los exponentes y explica qué significa la expresión en términos del contexto.

14.

${(1.05)}^{\frac{1}{12}} \cdot {(1.05)}^{\frac{1}{12}} \cdot {(1.05)}^{\frac{1}{12}}$

15.

${[{(1.05)}^{\frac{1}{12}}]}^{6}$

16.

${(1.05)}^{\frac{- 1}{12}}$

17.

${(1.05)}^{2} \cdot {(1.05)}^{\frac{1}{4}}$

18.

$\frac{{(1.05)}^{2}}{{(1.05)}^{\frac{1}{2}}}$

¿Listo para más?

Usa la igualdad ${[{(1.05)}^{\frac{1}{12}}]}^{12} = 1.05$ para explicar por qué ${(1.05)}^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{1.05}$ .

Aprendizajes

Las siguientes propiedades de los exponentes, que tienen sentido para exponentes positivos, también valen y tienen sentido para exponentes enteros negativos y para exponentes fraccionarios:

Podemos interpretar el factor con el exponente negativo en $a b^{- x}$ así:

Podemos interpretar el factor con el exponente fraccionario en $a b^{\frac{m}{n}}$ así:

Resumen de la lección

En esta lección continuamos explorando el significado de los exponentes racionales, incluidos exponentes enteros negativos y fraccionarios. Aprendimos que las propiedades de los exponentes valen para todos los exponentes racionales, y no solo para los exponentes enteros.

Repaso

Usa las reglas de los exponentes para encontrar tres expresiones equivalentes a la expresión dada.

1.

$5^{7}$

2.

$3^{- 4}$

Reescribe cada expresión.

3.

$x^{a} \cdot x^{b}$

4.

$\frac{y^{5} \cdot y^{3}}{y^{6}}$

5.

$\frac{{(n^{2})}^{5}}{n^{7}}$