Lección 7 Ideas radicales Practico lo que aprendí

Actividad inicial

Si $n$ es un número entero positivo mayor que $1$ y tanto $a$ como $b$ son números reales positivos, entonces:

$\sqrt[n]{a^{n}} = a$
$\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

a.

Ilustra cada una de estas reglas de los radicales con un ejemplo numérico.

b.

Muestra por qué cada una de las siguientes reglas es verdadera. Para esto, reescribe cada expresión radical usando exponentes racionales.

Focos de aprendizaje

Usar las propiedades de los exponentes para cambiar la forma de las expresiones radicales.

¿Cuál manera es más eficiente para cambiar la forma de una expresión radical: usar radicales o usar exponentes?

¿Cómo nos ayudan las propiedades de los exponentes a explicar los métodos para representar y manipular radicales?

Indicaciones de uso de tecnología para la lección de hoy:

Convertir exponentes racionales a radicales: Casio ClassPad Casio fx-9750GIII

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Tia y Tehani ya saben que $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ . Ahora se preguntan cuál forma es mejor usar al manipular expresiones radicales numéricas y algebraicas: la forma radical o la forma exponencial.

Tia dice que prefiere usar radicales porque ella entiende las siguientes propiedades de los radicales (no hay que recordar demasiadas):

Si $n$ es un número entero positivo mayor que $1$ y tanto $a$ como $b$ son números reales positivos, entonces:

$\sqrt[n]{a^{n}} = a$
$\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Tehani dice que prefiere usar exponentes porque ella entiende las siguientes propiedades de los exponentes (y hay más propiedades que se pueden usar):

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$
${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$
${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$
$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0$
$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Tia y Tehani están de acuerdo en que es importante entender las siguientes reglas que expresan la relación que hay entre los radicales y los exponentes:

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ y $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$

Si usa su notación preferida, Tia puede reescribir $\sqrt[3]{x^{8}}$ así:

$\sqrt[3]{x^{8}} = \sqrt[3]{x^{3} \cdot x^{3} \cdot x^{2}} = \sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} = x \cdot x \cdot \sqrt[3]{x^{2}} = x^{2} \sqrt[\cdot 3]{x^{2}}$

(Tehani señala que Tia también usó algunas reglas de los exponentes).

Por otro lado, Tehani puede reescribir $\sqrt[3]{x^{8}}$ así:

$\sqrt[3]{x^{8}} = x^{\frac{8}{3}} = x^{2 + \frac{2}{3}} = x^{2} \cdot x^{\frac{2}{3}}$ o $x^{2} \sqrt[\cdot 3]{x^{2}}$

En cada problema, cambia la forma de la expresión como crees que lo harían Tia y Tehani.

1.

Expresión original:

$\sqrt{27}$

Lo que Tia y Tehani podrían hacer para cambiar la forma de la expresión:

Método de Tia:

Método de Tehani:

2.

Expresión original:

$\sqrt[3]{32}$

Lo que Tia y Tehani podrían hacer para cambiar la forma de la expresión:

Método de Tia:

Método de Tehani:

3.

Expresión original:

$\sqrt{20 x^{7}}$

Lo que Tia y Tehani podrían hacer para cambiar la forma de la expresión:

Método de Tia:

Método de Tehani:

4.

Expresión original:

$\sqrt[3]{\frac{16 x y^{5}}{x^{7} y^{2}}}$

Lo que Tia y Tehani podrían hacer para cambiar la forma de la expresión:

Método de Tia:

Método de Tehani:

Haz una pausa y reflexiona

Una de las convenciones en matemáticas es reescribir expresiones para que no tengan exponentes negativos. Una de las maneras más fáciles de hacer esto es reescribir los exponentes negativos como positivos en el primer paso, pero también hay otras maneras. Completa cada tabla escribiendo una descripción de qué hacer en cada paso junto con su justificación. Aquí hay un ejemplo completamente resuelto.

	Problema:	Paso 1:	Paso 2:	Respuesta:
EJEMPLO	$\frac{x}{x^{- 3}}$	Reescribir usando exponentes positivos $x \cdot x^{3}$ (porque $x^{3} = \frac{1}{x^{- 3}}$ )	Usar las reglas de los exponentes $x^{1 + 3}$ (regla de la multiplicación)	$x^{4}$

Problema:

Paso 1:

Paso 2:

Respuesta:

EJEMPLO

$\frac{x}{x^{- 3}}$

Reescribir usando exponentes positivos

$x \cdot x^{3}$

(porque $x^{3} = \frac{1}{x^{- 3}}$ )

Usar las reglas de los exponentes

$x^{1 + 3}$

(regla de la multiplicación)

$x^{4}$

5.

Problema:	Paso 1:	Paso 2:	Respuesta:
$\frac{y^{- 3}}{y^{- 1}}$	Reescribir usando exponentes positivos	Usar las reglas de los exponentes	$\frac{1}{y^{2}}$

6.

Problema:	Paso 1:	Paso 2:	Respuesta:
$\frac{3 x^{- 9}}{6 x^{- 11}}$			$\frac{x^{2}}{2}$

7.

Problema:	Paso 1:	Paso 2:	Respuesta:
$\frac{a^{2} b^{- 3}}{a^{3} b^{- 1}}$

8.

Problema:	Pasos:			Respuesta:
${(\frac{2 x}{y})}^{- 5}$	Elevar todo a la potencia $- 5$	Reescribir usando exponentes positivos	Agrupar factores comunes

9.

Problema:	Pasos:			Respuesta:
${(\frac{c^{4} d}{c^{- 2}})}^{- 4}$

¿Listo para más?

Ahora considera este reto: la respuesta a un problema de simplificación está escrita en la última columna. Tu trabajo es crear “el problema”. El problema debe ser una expresión equivalente a la respuesta dada y debe contener exponentes negativos. Después de escribir el problema, muestra cómo cambiar la forma para obtener la respuesta dada. ¡Rétate y trata de inventar los problemas más complicados que puedas!

Problema:	Pasos:			Respuesta:
				$\frac{3 d^{7}}{25 c^{6}}$
				$\frac{x^{2} z^{7}}{y^{5}}$
				$1$

Aprendizajes

Estrategias para reescribir expresiones radicales (con raíz $n$ -ésima) de formas equivalentes:

Estrategias para cambiar la forma de las expresiones exponenciales:

Vocabulario

radical
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a usar las propiedades de los radicales y de los exponentes para cambiar la forma de algunas expresiones radicales y exponenciales complicadas. Para explicar por qué funcionan las estrategias para cambiar la forma de las expresiones radicales, podemos escribir las expresiones radicales en forma exponencial.

Repaso

1.

Completa las tablas con base en la ecuación explícita dada. Prepárate para explicar cómo se relacionan los números de las ecuaciones con los valores de las tablas.

a.

$f (x) = - 5 x + 17$

$x$	$f (x)$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$

b.

$f (x) = - 5 (x - 2) + 17$

$x$	$f (x)$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$

c.

$f (x) = - 5 (x + 1) + 17$

$x$	$f (x)$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$

2.

En cada caso, encuentra las intersecciones con los ejes $x$ y $y$ , y luego grafica la función.

a.

$f (x) = 2 (x - 3)$

Intersección con el eje $x$ :

Intersección con el eje $y$ :

b.

$f (x) = - 3 (x + 1) + 6$

Intersección con el eje $x$ :

Intersección con el eje $y$ :