Lección 2 Las ecuaciones de Elvira Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Las cantidades son características que pueden contarse o medirse, como una docena de huevos, $25 millas$ o $60 minutos$ . Observa que las cantidades siempre incluyen una unidad de medida: huevos, millas, minutos. Algunas cantidades surgen al combinar otras medidas, como las millas por galón o los pies por minuto.

1.

Describe cómo medirías la eficiencia de combustible del automóvil de tu familia en millas por galón.

2.

Describe cómo medirías la rapidez de una pelota de béisbol en pies por segundo.

3.

Describe cómo medirías el área de una habitación rectangular en pies cuadrados.

4.

Describe cómo calcularías los ingresos de un puesto de frutas de carretera si se venden $20$ bolsas de naranjas a $$ 5$ la bolsa.

Focos de aprendizaje

Usar unidades para interpretar y resolver ecuaciones cuyas variables principalmente representan cantidades, como en una fórmula.

¿Qué significa resolver una ecuación que tiene varias variables?

¿Cómo puedo usar las descripciones y las unidades asociadas a las variables como ayuda para solucionar este tipo de ecuaciones?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

A Elvira, la administradora de la cafetería, le gusta llevar la cuenta de las cosas que puede contar o medir en la cafetería. Ella cree que esto la ayuda a mejorar la eficiencia de la cafetería. Para acordarse de llevar la cuenta de las cantidades importantes, hizo una tabla de variables y descripciones de las cosas que quiere registrar. Esta es la tabla de las cosas que quiere registrar.

1.

En la tercera columna de la tabla, escribe las unidades que corresponden a cada una de las variables descritas.

Símbolo	Significado (descripción de lo que significa el símbolo en contexto)	Unidades (qué se está contando o midiendo)
$S$	Número de estudiantes que compran el almuerzo en la fila de la ensalada
$W$	Número de estudiantes que compran el almuerzo en la fila de los sándwiches
$P$	Número de estudiantes que compran el almuerzo en la fila de la pizza
$F$	Número de personas que sirven la comida en la cafetería
$M_{T}$	Número de minutos que tarda servir el almuerzo a todos los estudiantes
$C$	Número de clases en la escuela
$P_{L}$	Precio por almuerzo
$A$
$R$
$T$
$D_{F}$
$M$

Elvira escribió la siguiente ecuación para describir una relación de la cafetería que le parece importante. Ella creó una nueva variable, $A$ , para describir esta relación.

$A = \frac{S + W + P}{C}$

2.

¿Qué representa $A$ en términos de la situación de la cafetería? Registra esta información en la tabla.

3.

Usa lo que sabes sobre cómo manipular ecuaciones para despejar $S$ en la ecuación. Tu solución será de la forma $S = una expresi \overset{´}{o} n$ escrita en términos de las variables $A$ , $C$ , $W$ y $P$ .

4.

¿Tiene sentido tu expresión de $S$ en términos del significado de las otras variables? Explica por qué sí o por qué no.

Esta es otra de las ecuaciones de Elvira.

$R = P_{L} (S + W + P)$

5.

¿Qué representa $R$ en términos de la situación de la cafetería? Registra esta información en la tabla.

6.

Usa lo que sabes sobre cómo manipular ecuaciones para despejar $P_{L}$ en la ecuación.

7.

¿Tiene sentido tu expresión de $P_{L}$ en términos del significado de las otras variables? Explica por qué sí o por qué no.

8.

Elvira se da cuenta de que usa mucho la expresión $S + W + P$ al escribir otras expresiones. Por eso, decide representar esta expresión usando la variable $T$ , así: $T = S + W + P$ . ¿Qué representa $T$ en términos de la situación de la cafetería? Registra esta información en la tabla.

Elvira tiene una reunión con los empleados del comedor. Para las personas que sirven la comida, ha creado dos nuevas ecuaciones.

$D_{F} = \frac{T \cdot P_{L}}{F}$

$M = \frac{M_{T}}{T}$

9.

a.

¿Qué representa $D_{F}$ en términos de la situación de la cafetería? Registra esta información en la tabla.

b.

Despeja $P_{L}$ en la ecuación. Describe por qué tu solución tiene sentido en términos de las otras variables.

Haz una pausa y reflexiona

10.

$M = \frac{M_{T}}{T}$

a.

¿Qué representa $M$ en términos de la situación de la cafetería? Registra esta información en la tabla.

b.

Despeja $T$ en la ecuación. Describe por qué tu solución tiene sentido en términos de las otras variables.

11.

Uno de los empleados sugiere que se escriban expresiones para cada una de las siguientes descripciones. Usa las variables de la tabla para escribir estas expresiones.

a.

La cantidad promedio de estudiantes que se atienden cada minuto.

b.

El promedio de minutos que los estudiantes esperan en la fila de la pizza.

¿Listo para más?

Usa las variables de la tabla para crear más expresiones significativas. ¿Cuál será la expresión más larga (en número de variables requeridas) que se puede escribir usando estas variables?

Aprendizajes

Las ecuaciones que incluyen varias variables se llaman ecuaciones literales. Si las variables de las ecuaciones literales representan cantidades significativas, estas ecuaciones también se llaman fórmulas.

Para despejar una de las variables de una ecuación, puedo

Si las variables de la ecuación representan cantidades significativas, puedo

Para averiguar el significado de una expresión que contiene varias cantidades, debo prestar atención a las unidades y las operaciones. Algunas estrategias para hacerlo son

Vocabulario

cantidad
ecuación literal
fórmula
ganancia
ingresos
operación inversa
recíproco
unidades
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a solucionar ecuaciones literales despejando una de sus variables. Para esto usamos operaciones inversas tanto con variables como con números. Las ecuaciones literales son fórmulas que describen las relaciones entre varias cantidades. Interpretar el significado de expresiones que incluyen cantidades, en términos de sus unidades, es una herramienta para revisar nuestro proceso algebraico al solucionar ecuaciones.

Repaso

Despeja la variable indicada en cada ecuación. Explica cómo lo hiciste.

1.

Despeja $r$ en $d = r t$ .

2.

Despeja $w$ en $l = w + 9$ .

3.

Despeja $n$ en $\frac{1}{3} n = b$ .

4.

Encuentra el dominio y el rango de la función representada en la gráfica.

5.

Grafica la desigualdad en la recta numérica.

$x > - 3$