Lección 5 Actúa racionalmente Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones racionales.

¿En qué se parecen las operaciones realizadas con expresiones racionales a las operaciones realizadas con números racionales?

¿Qué propiedades de fracciones usamos cuando manipulamos expresiones racionales?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la lección anterior viste cómo los números racionales pueden ayudarnos a pensar en las expresiones racionales. En esta actividad profundizaremos en esta conexión para trabajar las operaciones con expresiones racionales.

1.

Comencemos con la multiplicación. En la tabla faltan descripciones y expresiones racionales. Completa las descripciones de la tabla a partir del proceso que se usa para multiplicar números racionales. Luego, realiza las operaciones para encontrar expresiones racionales equivalentes.

Descripción del procedimiento:	Ejemplo con números	Expresión racional A	Expresión racional B
Dado:	$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}$	$\frac{x (x - 3)}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{x^{2}}$	$\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 2)} \cdot \frac{(x + 5)}{(x - 2) (x + 2)}$
	$\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6}$
	$\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$
Escribe una expresión equivalente:	$\frac{5}{8}$	$\frac{5 (x - 3)}{x (x + 1)}$ o $\frac{5 x - 15}{x (x + 1)}$	$\frac{(x + 1) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2}}$ o $\frac{x^{2} + 6 x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

2.

En la multiplicación, ¿importa si los factores comunes se cancelan antes o después de multiplicar? ¿Por qué?

Ahora probemos el mismo proceso con la división.

3.

Completa las descripciones o pasos que faltan en la tabla para dividir las expresiones racionales.

Descripción del procedimiento:	Ejemplo con números	Expresión racional A	Expresión racional B
Dado:		$\frac{(x - 2)}{(x + 2)} \div \frac{(x + 5)}{x (x + 2)}$	$\frac{(x + 1) (x - 6)}{(x + 2)} \div \frac{(x + 1)}{(x - 3) (x + 2)}$
	$\frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5}$
Multiplica las expresiones y simplifica cancelando factores comunes	$\frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 5}$
	$\frac{9}{10}$	$\frac{x (x - 2)}{(x + 5)}$ o $\frac{x^{2} - 2 x}{(x + 5)}$	$(x - 3) (x - 6)$

4.

¿Cómo puedes verificar tu respuesta después de realizar una operación con un par de expresiones racionales?

¿Estás listo para la suma? ¡Inténtalo!

5.

Completa las descripciones o pasos que faltan en la tabla para sumar las expresiones racionales.

Descripción del procedimiento:	Ejemplo con números	Expresión racional A
Dado:	$\frac{2}{3} + \frac{1}{7}$	$\frac{3}{(x + 7)} + \frac{4}{(x - 4)}$
Determina los factores necesarios para tener un denominador común	$\frac{2}{3} (\frac{7}{7}) + \frac{1}{7} (\frac{3}{3})$	$\frac{3}{(x + 7)} (\frac{x - 4}{x - 4}) + \frac{4}{(x - 4)} (\frac{x + 7}{x + 7})$
	$\frac{14}{21} + \frac{3}{21}$
	$\frac{14 + 3}{21}$
Simplifica la expresión cancelando factores comunes	$\frac{17}{21}$	$\frac{7 x + 16}{(x + 7) (x - 4)}$

6.

Después de reescribir ambos términos con un denominador común, ¿siguen siendo equivalentes a los términos originales? Explica.

7.

Completa las descripciones o pasos que faltan en la tabla para sumar las expresiones racionales.

Descripción del procedimiento:	Expresión racional B
Dado:	$\frac{2 x - 3}{(x + 3)} + \frac{x + 5}{(x - 2)}$
Determina los factores necesarios para tener un denominador común


Simplifica la expresión cancelando factores comunes y escribe la expresión equivalente	$\frac{3 x^{2} + x + 21}{(x - 2) (x + 3)}$

8.

¿Al resolver un problema de suma, es posible obtener una respuesta con factores comunes que haya que cancelar? Si es así, ¿cómo lo sabes?

9.

Por fin tenemos la resta. Completa las descripciones o pasos que faltan en la tabla para restar las expresiones racionales.

Descripción del procedimiento:	Ejemplo con números	Expresión racional A
Dado:	$\frac{7}{8} - \frac{3}{5}$	$\frac{3 x + 1}{(x + 5)} - \frac{x - 4}{(x - 2)}$
	$\frac{7}{8} (\frac{5}{5}) - \frac{3}{5} (\frac{8}{8})$
	$\frac{35}{40} - \frac{24}{40}$
	$\frac{35 - 24}{40}$
Simplifica la expresión cancelando factores comunes y escribe la expresión equivalente	$\frac{11}{40}$	$\frac{2 x^{2} - 6 x + 18}{(x + 5) (x - 2)}$ o $\frac{2 (x^{2} - 3 x + 9)}{(x + 5) (x - 2)}$

10.

¿Qué estrategias usarás al restar para asegurarte de no cometer errores de signo?

¿Listo para más?

¿Es $\frac{1}{a + b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ? Explica.

Aprendizajes

Operaciones con expresiones racionales

Pasos para la multiplicación	Pasos para la división	Pasos para la suma	Pasos para la resta

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos que realizar operaciones con expresiones racionales es como realizar operaciones con números racionales. Para multiplicar, multiplicamos los numeradores, multiplicamos los denominadores y cancelamos los factores comunes. Para dividir, invertimos el divisor y luego multiplicamos las dos fracciones. Para sumar y restar, debemos encontrar un denominador común. Después, sumamos los numeradores, y el denominador de la fracción es el denominador común.

Repaso

1.

Usa el triángulo para encontrar los valores.

a.

$\sin A = \underset{―}{}$

b.

$\cos A = \underset{―}{}$

c.

$\tan A = \underset{―}{}$

d.

$\sin B = \underset{―}{}$

e.

$\cos B = \underset{―}{}$

f.

$\tan B = \underset{―}{}$

2.

Identifica los valores para los cuales la expresión está indefinida: $\frac{x + 8}{x - 2}$