Lección 4 Algo de uno, nada del otro Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Graficar ecuaciones lineales que están escritas en forma estándar.

¿Por qué es útil usar formas equivalentes de ecuaciones lineales? ¿Cómo convierto una ecuación lineal de una forma a otra?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Carlos y Clarita comparan estrategias para escribir las ecuaciones de las rectas frontera de las restricciones de Cuidadores de Mascotas. Están discutiendo su trabajo con respecto a la restricción de espacio.

Espacio: Cada corral para gatos necesita $6 {ft}^{2}$ de espacio, mientras que cada corral para perros necesita $24 {ft}^{2}$ . Carlos y Clarita tienen hasta $360 {ft}^{2}$ disponibles en el cuarto de almacenamiento para los corrales y para poder moverse alrededor.

El método de Carlos: “Hice una tabla. Si no tengo gatos, entonces tengo espacio para $15$ perros. Si uso parte del espacio para $4$ gatos, entonces puedo tener $14$ perros. Con $8$ gatos, tengo espacio para $13$ perros. Por cada corral para perros que no compre, puedo comprar $4$ corrales para gatos más. A partir de mi tabla sé que la intersección de la recta con el eje $y$ es $15$ y que la pendiente es $- \frac{1}{4}$ , por lo tanto mi ecuación es $y = - \frac{1}{4} x + 15$ ”.

El método de Clarita: “Voy a llamar $x$ al número de gatos y $y$ al número de perros. Como cada corral para perros necesita $6 {ft}^{2}$ , el espacio que se usa para los gatos es $6 x$ . Como cada corral para perros necesita $24 {ft}^{2}$ , el espacio que se usa para los perros es $24 y$ . Por eso, mi ecuación es $6 x + 24 y = 360$ ”.

1.

Como ambas ecuaciones representan la misma información, deben ser equivalentes entre sí.

a.

Muestra los pasos que puedes hacer para convertir la ecuación de Clarita en la ecuación de Carlos. Explica por qué puedes hacer cada paso.

b.

Muestra los pasos que puedes hacer para convertir la ecuación de Carlos en la ecuación de Clarita. Explica por qué puedes hacer cada paso.

2.

Usa el método de Carlos y el método de Clarita para escribir la ecuación de la recta frontera de la restricción de costos iniciales.

a.

El método de Carlos:

b.

El método de Clarita:

Costos iniciales: Carlos y Clarita planean invertir gran parte de los $$ 1, 280$ que ganaron en su último negocio en la compra de corrales para gatos y corrales para perros. Cada corral para gatos cuesta $$ 32$ y cada corral para perros cuesta $$ 80$ .

3.

Muestra los pasos que puedes hacer para convertir la ecuación de costos iniciales de Clarita en la ecuación de Carlos. Explica por qué puedes hacer cada paso.

4.

Muestra los pasos que puedes hacer para convertir la ecuación de costos iniciales de Carlos en la ecuación de Clarita. Explica por qué puedes hacer cada paso.

Haz una pausa y reflexiona

Además de escribir una ecuación de las rectas frontera, Carlos y Clarita deben graficar sus rectas en una cuadrícula de coordenadas.

La ecuación de Carlos está escrita en forma pendiente-punto de intersección. La ecuación de Clarita está escrita en forma estándar. Ambas formas son maneras de escribir ecuaciones lineales.

Carlos y Clarita saben que solo necesitan ubicar dos puntos para graficar una recta.

5.

La estrategia de Carlos: ¿Cómo puede Carlos usar su ecuación con forma pendiente-punto de intersección, $y = - \frac{1}{4} x + 15$ , para graficar dos puntos de su recta?

6.

La estrategia de Clarita: ¿Cómo puede Clarita usar su ecuación con forma estándar, $6 x + 24 y = 360$ , para graficar dos puntos en su recta? (Clarita es muy lista, por eso busca los dos puntos más fáciles de encontrar).

7.

Escribe ecuaciones para las dos restricciones:

Espacio:

Costos iniciales:

Encuentra el punto donde se intersecan las dos rectas usando álgebra. Anota suficientes pasos para que otra persona pueda entender tu estrategia.

8.

¿Qué significa este punto en el contexto de gatos y perros?

¿Listo para más?

Si solo conoces las intersecciones con los ejes $x$ y $y$ de una función lineal, ¿cómo puedes encontrar la forma estándar y la forma pendiente-punto de intersección de la ecuación de la recta?

Aprendizajes

Como dos puntos determinan una recta, una estrategia para graficar una ecuación lineal es:

Esta estrategia funciona especialmente bien para ecuaciones lineales que están escritas en .

Otra estrategia para graficar una ecuación lineal es:

Esta estrategia funciona especialmente bien para ecuaciones lineales que están escritas en .

Los contextos que se representan mejor con ecuaciones lineales en forma estándar tienen información sobre: .

Los contextos que se representan mejor con ecuaciones lineales en forma pendiente-punto de intersección tienen información sobre: .

Notación, convenciones y vocabulario

Por convención, la forma estándar de una ecuación lineal es:

Para cambiar de la forma pendiente-punto de intersección a la forma estándar:

Para cambiar de la forma estándar a la forma pendiente-punto de intersección:

Vocabulario

forma estándar de una recta
forma pendiente-punto de intersección de una recta
función lineal
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos las convenciones para escribir la forma estándar de una ecuación lineal. También vimos estrategias para convertir la forma pendiente-punto de intersección en la forma estándar y la forma estándar en la forma pendiente-punto de intersección. Por último, aprendimos un método nuevo para graficar ecuaciones lineales escritas en forma estándar que consistía en encontrar las intersecciones con los ejes $x$ y $y$ .

Repaso

Grafica cada una de las desigualdades lineales en una cuadrícula de coordenadas. Verifica un punto para asegurarte de que sombreaste el semiplano que contiene las soluciones.

1.

$y > - \frac{1}{4} x + 5$

2.

$y \leq 2 x - 8$

3.

¿Qué métodos tienes para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones?