Lección 9 ¿Y cuál es el punto? Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Solucionar sistemas de ecuaciones lineales con el método de eliminar una de las variables.

¿Cómo uso el razonamiento lógico para resolver los escenarios de la lección anterior, cuando están representados con ecuaciones lineales en forma estándar?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la lección anterior “Compras para perros y gatos”, a partir del precio de dos combinaciones distintas de dos artículos, Carlos encontró una manera de hallar el precio individual de cada artículo. Como quiere que su estrategia sea más eficiente, la escribe usando símbolos y álgebra. Ayúdale a formalizar su estrategia haciendo lo siguiente:

Para cada escenario de la lección “Compras para perros y gatos”, escribe un sistema de ecuaciones que represente las dos compras.
Muestra cómo tus estrategias para encontrar el precio de cada artículo se pueden representar manipulando las ecuaciones del sistema. Escribe pasos intermedios con símbolos para que alguien más pueda entender lo que hiciste.
Después de encontrar el precio de uno de los artículos en las combinaciones, muestra cómo se puede encontrar el precio del otro artículo.

1.

Una semana, Carlos compró $3$ bolsas de Trocitos Tabitha y $4$ bolsas de Filetes Fígaro por $$ 43.00$ . La semana siguiente, compró $3$ bolsas de Trocitos Tabitha y $6$ bolsas de Filetes Fígaro por $$ 54.00$ . A partir de esta información, determina el precio de una bolsa de cada tipo de comida para gato. Explica tu razonamiento.

2.

Una semana, Carlos compró $2$ bolsas de Bocados Brutus y $3$ bolsas de Manjares Milo por $$ 42.50$ . La semana siguiente, compró $5$ bolsas de Bocados Brutus y $6$ bolsas de Manjares Milo por $$ 94.25$ . A partir de esta información, determina el precio de una bolsa de cada tipo de comida para perro. Explica tu razonamiento.

3.

Carlos compró $6$ correas para perro y $6$ cepillos para gato por $$ 45.00$ , para que Clarita mime a las mascotas. Tiempo después, compró $3$ correas más para perro y $2$ cepillos más para gato por $$ 19.00$ . A partir de esta información, determina el precio de cada artículo. Explica tu razonamiento.

4.

Una semana, Carlos compró $2$ cajas de golosinas para gato y $3$ cajas de golosinas para perro por $$ 18.50$ . La semana siguiente, compró $2$ cajas de golosinas para gato y $2$ cajas de golosinas para perro por $$ 14.00$ . La tercera semana, compró $5$ cajas de golosinas para gato y $5$ cajas de golosinas para perro por $$ 35.00$ . A partir de esta información, determina el precio de cada artículo. Explica tu razonamiento.

5.

Carlos observa que es fácil averiguar el precio de cada artículo porque todas sus compras se parecen. Sin embargo, su último grupo de recibos lo dejó desconcertado. Una semana, probó marcas más económicas de comida para gato y comida para perro. El lunes, compró $3$ bolsas pequeñas de comida para gato y $5$ bolsas pequeñas de comida para perro por $$ 22.75$ . Como las bolsas pequeñas se acabaron muy rápido, tuvo que regresar a la tienda el jueves a comprar $2$ bolsas pequeñas de comida para gato y $3$ bolsas pequeñas de comida para perro, que le costaron $$ 14.25$ . A partir de esta información, determina el precio de cada bolsa de comida para gato y de comida para perro más económica. Explica tu razonamiento.

Haz una pausa y reflexiona

Mientras trabajabas en cada uno de estos problemas, es probable que en algún momento no solo hayas eliminado una variable, sino también una ecuación. Para recordar que trabajamos con un sistema de ecuaciones, puede ser útil escribir el proceso de solución como una secuencia de sistemas equivalentes. Esto lo podemos hacer reemplazando una o ambas ecuaciones del sistema, mediante una de las siguientes acciones:

Reemplazar una ecuación del sistema por un múltiplo constante de esa ecuación.
Reemplazar una ecuación del sistema por la suma o la resta de las dos ecuaciones.
Reemplazar una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra.

6.

Resuelve el siguiente problema y lleva un registro de ambas ecuaciones del sistema en cada paso del proceso. Es decir, cada paso de tu proceso de solución será un sistema de dos ecuaciones lineales. Escribe una explicación sobre cómo cambiaste cada sistema para obtener el siguiente. El sistema final de la sucesión será ${\begin{matrix} d = un n \overset{´}{u} mero \\ c = un n \overset{´}{u} mero \end{matrix}$

Para llevar un registro de la información de contacto de los dueños de las mascotas, Carlos compró $4$ placas de identificación para perro y $12$ placas de identificación para gato por $$ 36.00$ . Tiempo después, compró $10$ placas más para perro y $6$ placas más para gato por $$ 30.00$ . A partir de esta información, determina el precio de cada artículo.

Sistema	Explicación
${\begin{matrix} 4 d + 12 c = 36 \\ 10 d + 6 c = 30 \end{matrix}$	Sistema original de restricciones.
${\begin{matrix} 2 d + 6 c = 18 \\ 10 d + 6 c = 30 \end{matrix}$
${\begin{matrix} 8 d + 0 c = 12 \\ 10 d + 6 c = 30 \end{matrix}$

¿Listo para más?

Escribir cada sistema de ecuaciones le recordó a Carlos que también ha solucionado sistemas de ecuaciones usando gráficas. En el proceso de solución del problema 6, escribe cada sistema y luego dibuja su gráfica en una cuadrícula. Muestra cómo el precio de cada artículo aparece en la gráfica de cada sistema. Puede que necesites más o menos cuadrículas que las dadas, dependiendo del número de sistemas en tu proceso de solución.

a.

Sistema: ${\begin{matrix} 4 d + 12 c = 36 \\ 10 d + 6 c = 30 \end{matrix}$

b.

Sistema: ${\begin{matrix} 2 d + 6 c = 18 \\ 10 d + 6 c = 30 \end{matrix}$

c.

Sistema: ${\begin{matrix} 8 d + 0 c = 12 \\ 10 d + 6 c = 30 \end{matrix}$

d.

Sistema: ${\begin{matrix} d = 1.5 \\ 10 d + 6 c = 30 \end{matrix}$

e.

Sistema: ${\begin{matrix} d = 1.5 \\ 6 c = 15 \end{matrix}$

f.

Sistema: ${\begin{matrix} d = 1.5 \\ c = 2.5 \end{matrix}$

Aprendizajes

Cuando solucionamos ecuaciones, escribimos una secuencia de ecuaciones equivalentes hasta que la solución de la ecuación es evidente.

De la misma manera, cuando solucionamos sistemas de ecuaciones, nosotros:

Para crear sistemas de ecuaciones equivalentes podemos:

Vocabulario

solucionar un sistema con el método de eliminación o el método de sustitución
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos cómo solucionar sistemas de ecuaciones con el método de eliminar una de las variables. Para hacerlo, tuvimos que pensar en las ecuaciones como objetos que se pueden sumar, restar o multiplicar por un factor de escala. Cada operación crea un sistema de ecuaciones equivalente. De esta manera, si seguimos una estrategia, podemos obtener un sistema de ecuaciones con soluciones que sean evidentes.

Repaso

Determina la solución de cada sistema de ecuaciones lineales.

1.

$x$	$f (x)$
$- 3$	$7$
$- 2$	$4$
$- 1$	$1$
$0$	$- 2$
$1$	$- 5$

$x$	$g (x)$
$- 3$	$- 3$
$- 2$	$- 1$
$- 1$	$1$
$0$	$3$
$1$	$5$

2.

${\begin{cases} y = - 5 x - 9 \\ y = - 4 x + 2 \end{cases}$

3.

4.

¿Cuál es la definición de función?

Para cada gráfica, determina si la relación representa una función. Si es una función, escribe sí. Si no es una función, explica por qué no lo es.