Lección 5 La liebre y la tortuga Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Compara las tasas de cambio promedio de cada función en cada intervalo. ¿Cuál es la mayor?

$f (x) = 2 x - 3$

Intervalo $[- 2, 3]$

$g (x) = x (x - 3)$

Intervalo $[2, 4]$

$h (x) = 3^{x}$

Intervalo $[0, 2]$

Focos de aprendizaje

Decidir cuál tipo de función crece más rápido en un intervalo dado, si una cuadrática o una exponencial.

Compara el crecimiento de una función cuadrática y el crecimiento de una función exponencial. ¿Qué puedes decir?

¿Cómo nos ayudan las tablas, gráficas y ecuaciones a entender cómo crecen las funciones cuadráticas y exponenciales?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En el cuento para niños de la liebre y la tortuga, la liebre se burla de la tortuga por su lentitud. La tortuga responde: “Sin prisa pero con constancia ganaré la carrera”. La liebre dice: “Eso ya lo veremos”. La liebre acepta el desafío y reta a la tortuga a una carrera. La distancia de la liebre al punto de partida está dada por la función $d = t^{2}$ (donde $d$ está en metros y $t$ en segundos).

Como la liebre está tan segura de que ganará, le da a la tortuga $1$ metro de ventaja. La distancia de la tortuga al punto de partida, incluida la ventaja, está dada por esta función:

$d = 2^{t}$ ( $d$ está en metros y $t$ en segundos).

1.

¿En qué tiempo la liebre alcanza a la tortuga?

2.

Si la pista de carreras es muy larga, ¿quién gana: la liebre o la tortuga? ¿Por qué?

3.

¿En qué tiempo o tiempos se encuentran la liebre y la tortuga?

4.

Si la pista de carreras midiera $15 metros$ , ¿quién ganaría: la liebre o la tortuga? ¿Por qué?

5.

Usa las propiedades de las funciones $d = 2^{t}$ y $d = t^{2}$ para explicar el comportamiento de las velocidades de la liebre y la tortuga en estos intervalos de tiempo:

Intervalo	Tortuga $d = 2^{t}$	Liebre $d = t^{2}$
$[0, 2)$
$[2, 4)$
$[4, \infty)$

¿Listo para más?

En el caso de la liebre y la tortuga, la función exponencial sobrepasa a la función cuadrática para valores grandes de $t$ . Si la función cuadrática se duplicara, ¿pasaría lo mismo? Compara $y = 2 x^{2}$ y $y = 2^{x}$ , y decide cuál función crece más rápido para valores grandes de $x$ . Explica por qué tu respuesta es correcta.

Aprendizajes

	Función cuadrática	Función exponencial
Forma de la gráfica:
Ecuación:
Tabla:
Tasa de cambio:

Resumen de la lección

En esta lección comparamos funciones cuadráticas y exponenciales. Aprendimos que en algunos intervalos, en donde los valores de $x$ son pequeños, las funciones cuadráticas pueden ser mayores que las funciones exponenciales. En cambio, para valores grandes de $x$ , las funciones exponenciales sobrepasan ampliamente a las funciones cuadráticas debido a la diferencia de sus tasas de cambio.

Repaso

Decide si cada representación es una función o no. Si no es una función, indica qué le cambiarías para que fuera una función.

1.

${(2, 7), (3, 9), (4, 8), (5, 5), (6, - 3), (7, 5), (3, 7)}$

2.

Indica el dominio y el rango de cada gráfica. Usa notación de intervalos donde sea adecuado.