Unidad 2 Razones, tasas y porcentajes (Materiales para la familia)

Una razón es una asociación entre dos o más cantidades. Por ejemplo, si tenemos una receta para una bebida que se prepara con tazas de jugo y tazas de agua con gas, podemos representar las razones con diagramas como estos:

Estas son algunas formas correctas de describir este diagrama:

• La razón de tazas de jugo a tazas de agua con gas es .

• La razón de tazas de agua con gas a tazas de jugo es 4 a 6.

• Hay 3 tazas de jugo por cada 2 tazas de agua con gas.

Las razones , , y son equivalentes porque cada razón de jugo a agua con gas produce una bebida con el mismo sabor.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Hay cuatro caballos en un establo. Cada caballo tiene 4 patas, 1 cola y 2 orejas.

1. Dibujen un diagrama que muestre la razón de patas a colas y a orejas en el establo.

2. Completen cada afirmación.

   • La razón de ________ a ________ a ________ es ________ : ________ : ________.

   • Hay ________ orejas por cada cola. Hay ________ patas por cada oreja.

Solución:

1. Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta:

   

2. Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta: La razón de piernas a colas a orejas es . Hay 2 orejas por cada cola. Hay 2 patas por cada oreja.

Hay distintas maneras de representar razones.

Supongamos que en la clase de grado sexto están vendiendo boletos para una rifa a un precio de $6 por cada 5 boletos. Algunos estudiantes podrían usar diagramas con figuras para representar esta situación. Por ejemplo, este es un diagrama que representa 10 boletos por $12.

Dibujar tantas figuras es poco práctico. Los diagramas de recta numérica doble nos facilitan el trabajo. Este de abajo representa el precio en dólares para distintos cantidades de boletos para la rifa, donde todos se venden a la misma tasa de $12 por cada 10 boletos.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Los boletos de la rifa cuestan $6 por cada 5 boletos.

1. ¿Cuántos boletos pueden obtener con $90?

2. ¿Cuál es el precio de 1 boleto?

Solución:

1. 75 boletos. Posibles estrategias: Extiendan la recta numérica doble y observen que $90 está alineado con 75 boletos. O, como 90 es 6 veces 15, calculen 5 por 15.

2. $1.20. Posibles estrategias: Dividan la recta numérica en 5 intervalos iguales, como se ve en la figura. Concluyan que el precio en dólares de 1 boleto debe ser

¿Quién iba más rápido en su bicicleta: Andre, que recorrió 25 millas en 2 horas, o Lin, que recorrió 30 millas en 3 horas? Una estrategia sería calcular una tasa unitaria para cada persona. Una tasa unitaria es una razón equivalente expresada como algo “por cada 1”. Por ejemplo, la tasa unitaria de Andre se podría escribir como “ millas en 1 hora” o ” millas por cada 1 hora” o “ millas por hora”. La tasa unitaria de Lin se podría escribir como “10 millas por cada 1 hora” o “10 millas por hora”. Al hallar las tasas unitarias, podemos comparar las distancias recorridas por cada persona en 1 hora y así comprobar que Andre iba más rápido.

Toda razón tiene dos tasas unitarias asociadas a ella. En este ejemplo, también podríamos calcular horas por milla: cuántas horas le tomó a cada persona recorrer 1 milla. Aunque no todas las tasas tienen nombres especiales, las tasas en “millas por hora” suelen llamarse rapidez y las tasas en “horas por milla” suelen llamarse ritmo.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

El concentrado para perros se vende al por mayor: 4 libras por $16.00.

1. A esta tasa, ¿cuál es el costo de concentrado por cada libra?

2. A esta tasa, ¿cuál es la cantidad de concentrado que se puede comprar por cada dólar?

Solución:

1. $4.00 por cada libra, porque

2. Se puede comprar o 0.25 de una libra por cada dólar, porque .

Supongamos que el año pasado asistieron 440 personas a un evento para recaudar fondos en la escuela. Si 330 eran adultos, ¿qué porcentaje de los asistentes eran adultos? Si se espera que la asistencia este año sea el 125% de la del año pasado, ¿cuántos asistentes se esperan este año? Para razonar sobre estas preguntas, se puede usar una recta numérica doble.

Los estudiantes usarán su comprensión de las “tasas por cada 1” para encontrar porcentajes, que los podemos ver como “tasas por cada 100”. Las rectas numéricas dobles y las tablas siguen apoyando su razonamiento. El ejemplo sobre los asistentes al evento para recaudar fondos también puede organizarse en una tabla:

Hacia el final de la unidad, los estudiantes van a desarrollar estrategias más sofisticadas para encontrar porcentajes. Por ejemplo, para encontrar el 125% de 440 asistentes, se puede calcular Con práctica, los estudiantes usarán estas estrategias más eficientes y entenderán por qué funcionan.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Para cada pregunta, expliquen su razonamiento. Si tienen dificultades, traten de crear una tabla o una recta numérica doble para representar la situación.

1. Una botella contiene 16 onzas de jugo. Bebiste el 25% del jugo. ¿Cuántas onzas bebiste?

2. En un juego de preguntas, respondiste correctamente 9 preguntas. Eso es el 75% de las preguntas. ¿Cuántas preguntas había en el juego?

3. Planeaste caminar 8 millas, pero finalmente caminaste 12 millas. ¿Qué porcentaje de la distancia que planeaste finalmente caminaste?

Solución:

Cualquier razonamiento correcto que puedan entender y explicar es aceptable. Ejemplos de razonamiento:

1. 4. 25% del jugo es de lo que había en la botella, y de 16 es 4.

2. 12. Si 9 preguntas son el 75%, podemos dividir ambas cantidades entre 3 y concluir que 3 preguntas son el 25%. Si ahora multiplicamos cada cantidad por 4, podemos mostrar que 12 preguntas son el 100%.

3. 150%. Si 8 millas son el 100%, entonces 4 millas son el 50%, y 12 millas son el 150%.