Unidad 5 Proportional Relationships (Materiales para la familia)

Sección A Representemos relaciones proporcionales usando ecuaciones

Esta semana, nuestros estudiantes van a aprender a escribir ecuaciones que representan relaciones proporcionales. Por ejemplo, si cada pie cuadrado de alfombra cuesta $1.50, entonces, el costo de la alfombra es proporcional al número de pies cuadrados.

La constante de proporcionalidad en esta situación es 1.5. Podemos multiplicar por la constante de proporcionalidad para encontrar el costo de un número dado de pies cuadrados de alfombra.

Podemos representar esta relación con la ecuación $c = 1.5 p$ , donde $p$ representa el número de pies cuadrados y $c$ representa el costo (en dólares). Recordemos que el costo de alfombrar es siempre el número de pies cuadrados de alfombra multiplicado por 1.5 dólares por cada pie cuadrado. Esta ecuación simplemente plantea esta relación con símbolos.

La ecuación para cualquier relación proporcional se ve así: $y = k x$ , donde $x$ y $y$ representan las cantidades relacionadas y $k$ es la constante de proporcionalidad. Otros ejemplos son $y = 4 x$ y $d = \frac{1}{3} t$ . Algunos ejemplos de ecuaciones que no representan relaciones proporcionales son $y = 4 + x$ , $A = 6 s^{2}$ y $w = \frac{36}{L}$ .

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Escriban una ecuación para la relación entre las cantidades de jugo de uva y jugo de melocotón en la receta “por cada 5 tazas de jugo de uva, agregue 2 tazas de jugo de melocotón”.
Seleccionen todas las ecuaciones que pueden representar una relación proporcional:
1. $K = C + 273$
2. $s = \frac{1}{4} p$
3. $V = s^{3}$
4. $h = 14 - x$
5. $c = 6.28 r$

Solución:

Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta: si $m$ representa el número de tazas de jugo de melocotón y $u$ representa el número de tazas de jugo de uva, la relación podría escribirse como $m = 0.4 u$ . Otras ecuaciones equivalentes son $m = \frac{2}{5} u$ , $u = \frac{5}{2} m$ o $u = 2.5 m$ .
B y E. En la ecuación $s = \frac{1}{4} p$ , la constante de proporcionalidad es $\frac{1}{4}$ . En la ecuación $c = 6.28 r$ , la constante de proporcionalidad es 6.28.

Sección C Representemos relaciones proporcionales con gráficas

Esta semana, nuestros estudiantes van a trabajar con gráficas que representan relaciones proporcionales. Por ejemplo, esta es una gráfica que representa una relación entre la cantidad de alfombra comprada y el costo en dólares.

Cada pie cuadrado de alfombra cuesta $1.50. El punto $(10, 15)$ en la gráfica nos indica que 10 pies cuadrados de alfombra cuestan $15.

Observen que los puntos en la gráfica están organizados en una línea recta. Si compramos 0 pies cuadrados de alfombra, nos costarían $0. Las gráficas de las relaciones proporcionales siempre son partes de líneas rectas que incluyen al punto $(0, 0)$ .

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Hagan una gráfica que represente la relación entre las cantidades de jugo de uva y jugo de melocotón para tandas de jugo de fruta de diferentes tamaño, usando la receta “por cada 5 tazas de jugo de uva, agregue 2 tazas de jugo de melocotón”.

Solución:

Sección D Circunferencia de un círculo

Esta semana nuestros estudiantes van a aprender por qué los círculos son diferentes de cualquier otra figura, como los triángulos o los cuadrados. Los círculos son perfectamente redondos porque están formados por todos los puntos que están a una misma distancia de un centro.

Un segmento de recta que vaya desde el centro hasta cualquier punto del círculo se llama radio. Por ejemplo, el segmento que va de P a F es un radio del círculo 1.
Un segmento de recta entre dos puntos sobre el círculo, y que pasa por el centro del círculo, se llama diámetro. Su longitud es el doble de la longitud del radio. Por ejemplo, el segmento de E a F es un diámetro del círculo 1. Observen que el segmento EF mide el doble que el segmento PF.
La distancia al rodear el círculo se llama la circunferencia. Mide un poco más que 3 veces la longitud del diámetro. La relación exacta es $C = π d$ , donde $C$ es la circunferencia, $d$ es el diámetro y $π$ es una constante con infinitos dígitos después del punto decimal. Una aproximación común de $π$ es 3.14.

Podemos usar las relaciones proporcionales que hay entre radio, diámetro y circunferencia para resolver problemas.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Un tazón de cereal tiene un diámetro de 16 centímetros.

¿Cuánto mide el radio del tazón de cereal?
1. 5 centímetros
2. 8 centímetros
3. 32 centímetros
4. 50 centímetros
¿Cuál es la circunferencia del tazón de cereal?
1. 5 centímetros
2. 8 centímetros
3. 32 centímetros
4. 50 centímetros

Solución:

B, 8 centímetros. El diámetro de un círculo mide el doble de lo que mide el radio, por lo tanto, el radio mide la mitad de lo que mide el diámetro. Podemos dividir el diámetro entre 2 para hallar el radio: $16 \div 2 = 8$ .
D, 50 centímetros. La circunferencia de un círculo es $π$ por el diámetro: $16 \cdot 3.14 \approx 50$ .

Sección E Área de un círculo

Esta semana nuestros estudiantes van a resolver problemas acerca del área dentro de los círculos. Podemos cortar un círculo en sectores y reorganizar los pedazos sin cambiar el área de la figura. Cuanto más pequeños cortemos esos sectores, más se parece la figura reorganizada a un paralelogramo.

El área del círculo puede hallarse al multiplicar la mitad de la circunferencia por el radio. Si usamos $C = 2 π r$ , podemos representar esta relación con una ecuación: $A = \frac{1}{2} (2 π r) \cdot r$ O $A = π r^{2}$ Esto quiere decir que si conocemos el radio, podemos encontrar el área. Por ejemplo, si un círculo tiene un radio de 10 cm, entonces el área es aproximadamente 314 cm², pues $3.14 \cdot 10^{2} = 314$ . También podemos decir que el área es $100 π$ cm².

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

A una tabla de madera rectangular de 20 pulgadas de ancho y 40 pulgadas de largo se le abrió un hueco circular.

El diámetro del círculo es 6 pulgadas. ¿Cuál es el área del círculo?
¿Cuál es el área de la tabla luego de haber quitado el círculo?

Solución:

$9 π$ o aproximadamente 28.26 in². El radio del hueco es la mitad del diámetro, así que podemos dividir $6 \div 2 = 3$ . El área de un círculo se puede calcular con la ecuación $A = π r^{2}$ . Para un radio de 3, obtenemos $3^{2} = 9$ . Podemos escribir el área como $9 π$ o usar 3.14 como aproximación de pi, $3.14 \cdot 9 = 28.26$ .
$800 - 9 π$ o aproximadamente 771.74 in². Antes de abrir el hueco, la tabla completa tenía un área de $20 \cdot 40$ o 800 in². Podemos restar el área del pedazo que se quitó para obtener el área de lo que quedó de la tabla: $800 - 28.26 = 771.74$ .