Unidad 7 Rational Numbers (Materiales para la familia)

Esta semana nuestros estudiantes van a trabajar con números con signo (números positivos y números negativos). A menudo comparamos números con signo cuando hablamos de temperaturas. Por ejemplo, -30 grados Fahrenheit es más frío que -10 grados Fahrenheit. Decimos que “-30 es menor que -10” y escribimos: .

También utilizamos números con signo cuando nos referimos a la altitud, o altura relativa al nivel del mar. Una altitud de 2 pies (que significa 2 pies sobre el nivel del mar) es mayor que una altitud de -4 pies (que significa 4 pies bajo el nivel del mar). Decimos “2 es mayor que -4” y escribimos .

Podemos ubicar números positivos y negativos en la recta numérica. Un número a la izquierda de otro número siempre es menor.

Podemos observar que -1.3 es menor que 0.8 porque -1.3 está a la izquierda de 0.8, pero -1.3 es mayor que -2.7 porque está a la derecha de -2.7.

También podemos hablar de un número en términos de su valor absoluto, o su distancia al cero en la recta numérica. Por ejemplo, 0.8 está a 0.8 unidades del cero, lo que podemos escribir como , y -2.7 está a 2.7 unidades del cero, lo que podemos escribir como . Los números -3 y 3 están ambos a 3 unidades del 0, lo que podemos escribir como y .

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. Un buzo que está en la superficie del océano se prepara para sumergirse. ¿Cuál es la altitud del buzo en relación al nivel del mar?

2. El buzo desciende 100 pies hasta la cubierta de un barco naufragado. ¿Cuál es la altitud del buzo ahora?

3. El buzo desciende 25 pies más hacia el suelo del mar. ¿Cuál es el valor absoluto de la altitud del buzo ahora?

4. Ubiquen cada una de las tres altitudes como un punto en una recta numérica. Etiqueten cada punto con su valor numérico.

Solución:

1. 0, porque el nivel del mar es 0 pies sobre o bajo el nivel del mar.

2. -100, porque el buzo está 100 pies bajo el nivel del mar.

3. La nueva altitud es -125 pies o 125 pies bajo el nivel del mar, por lo tanto, su valor absoluto es 125 pies.

4. Una recta numérica con el 0, el -100, y el -125 marcados, como se muestra a continuación:

   

Esta semana nuestros estudiantes estarán sumando y restando números negativos. Podemos representar esto usando flechas en una recta numérica. La flecha para un número positivo apunta hacia la derecha y la flecha para un número negativo apunta hacia la izquierda. Para sumar números, ponemos las flechas cola con punta.

Por ejemplo, esta es una recta numérica que muestra :

El primer número se representa con una flecha que comienza en 0, apunta hacia la izquierda y mide 5 unidades. El siguiente número se representa con una flecha que comienza exactamente en la punta de la primera, apunta hacia la derecha y mide 12 unidades. La respuesta es 7, porque la punta de esta segunda flecha termina sobre el 7 de la recta numérica.

En la escuela primaria, los estudiantes aprendieron que cualquier ecuación de suma tiene dos ecuaciones de resta relacionadas. Por ejemplo, si sabemos que , entonces también sabemos que y .

Lo mismo ocurre cuando hay números negativos en la ecuación. Del ejemplo anterior, , también sabemos que y .

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. Usen la recta numérica para representar .

   

2. Indiquen qué les dice su respuesta sobre los valores de:

Solución:

1. La primera flecha comienza en 0, mide 3 unidades y apunta hacia la derecha. La segunda flecha comienza en la punta de la primera, mide 5 unidades y apunta hacia la izquierda. Esta segunda flecha termina encima del -2, entonces, .

   

2. De la ecuación de suma , obtenemos las dos ecuaciones de resta relacionadas:

Esta semana, nuestros estudiantes van a ubicar e interpretar puntos en el plano de coordenadas. En grados anteriores, marcaron puntos para los cuales ambas coordenadas eran positivas, como el punto en la figura. Ahora, van a marcar puntos que tienen coordenadas positivas y negativas, como los puntos y .

Para encontrar la distancia entre dos puntos que están sobre la misma recta horizontal o vertical, podemos simplemente contar el número de unidades en la cuadrícula que hay entre ellos. Por ejemplo, si marcamos el punto en la cuadrícula de arriba (¡inténtenlo!), podemos decir que el punto estará a 7 unidades del punto .

Los puntos en un plano de coordenadas también pueden representar situaciones que involucran números positivos y números negativos. Por ejemplo, los puntos en este plano de coordenadas muestran la temperatura (en grados Celsius) cada hora antes y después del mediodía en un día de invierno. Las horas antes del mediodía son negativas y las horas después del mediodía son positivas.

Por ejemplo, el punto nos dice que 5 horas después del mediodía (o a las 5:00 p.m.) la temperatura fue de 10 grados Celsius.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

En la gráfica de temperaturas de arriba:

1. ¿Cuál fue la temperatura a las 7 a.m.?

2. Entre las horas registradas, ¿en cuáles hacía un frío de menos de 5 grados Celsius?

Solución:

1. La temperatura fue 5 grados Celsius a las 7:00 a.m. Esto se puede comprobar en el punto .

2. La temperatura fue 5 grados Celsius justo al mediodía, y para las horas registradas anteriores al mediodía, fue más fría.

Esta semana nuestros estudiantes estarán multiplicando y dividiendo números negativos. Las reglas para multiplicar números positivos y negativos están diseñadas para asegurarse de que la suma y la multiplicación funcionen igual que siempre.

Por ejemplo, en la escuela primaria los estudiantes aprendieron a pensar en “4 veces 3” como 4 grupos de 3, es decir, . Podemos pensar en “4 veces -3” de la misma manera: . Otra propiedad importante de la multiplicación es que podemos multiplicar números en cualquier orden. Esto significa que .

¿Qué sucede con ? Puede parecer extraño, pero la respuesta es 12. Para entender por qué, podemos pensar que -4 es .

Después de practicar más, nuestros estudiantes podrán recordar lo siguiente sin necesidad de pensar en ejemplos:

• Un positivo por un negativo es un negativo.

• Un negativo por un positivo es un negativo.

• Un negativo por un negativo es un positivo.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. Calculen .

2. Usen su respuesta a la pregunta anterior para calcular:

Solución:

1. La respuesta es . Podemos pensar en como 5 grupos de -2, entonces

2. 1. La respuesta es . Podemos multiplicar los números en cualquier orden, por lo tanto

   2. La respuesta es 10. Podemos pensar que es y, así, .

   3. La respuesta es 10. Posibles estrategias:

      • Podemos pensar que es y, así, .

      • Podemos multiplicar los números en cualquier orden, por lo tanto .

Esta semana, nuestros estudiantes van a usar lo que saben sobre números negativos para resolver ecuaciones.

• El opuesto de 5 es -5, pues . A esto también se le llama el inverso aditivo.

• El recíproco de 5 es , pues . A esto también se le llama el inverso multiplicativo.

Pensar en opuestos y en recíprocos nos puede ayudar a resolver ecuaciones. Por ejemplo, ¿qué valor de hace que la ecuación sea verdadera?

La solución es -15.

¿Qué valor de hace que la ecuación sea verdadera?

La solución es -18.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Resuelvan cada ecuación:

Solución:

1. -8, pues .

2. 7.5 o algo equivalente, pues .

3. -16, pues .