Unidad 3 Fracciones y decimales (Materiales para la familia)

Sección A Comprendamos el sentido de la división

Esta semana, nuestros estudiantes va a estar pensando en los sentidos de la división y así prepararse para aprender sobre la división de fracciones. Supongamos que tenemos 10 litros de agua que queremos dividir en grupos del mismo tamaño. Podemos pensar en la división $10 \div 2$ de dos maneras distintas (o como la respuesta a dos preguntas distintas):

“¿Cuántas botellas podemos llenar con 10 litros si cada botella es de 2 litros?”
“¿Cuántos litros caben en cada botella si dividimos 10 litros en 2 botellas?”

Estos son dos diagramas que muestran las dos interpretaciones de $10 \div 2$ :

En ambos casos, la respuesta a la pregunta es 5, pero este puede significar, o que “hay 5 botellas con dos litros en cada una”, o que “caben 5 litros en cada una de las dos botellas”.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Escriban dos preguntas distintas acerca de $15 \div 6$ .
Estimen la respuesta: ¿es menor que 1, igual a 1 o mayor que 1? Expliquen su estimación.
Encuentren la respuesta a una de las preguntas que escribieron. Hacer un dibujo puede ayudarlos.

Solución:

Las preguntas pueden variar. Ejemplos de preguntas:
- Una cinta de 15 pulgadas de longitud se divide en 6 pedazos iguales. ¿Qué tan largo es cada pedazo (en pulgadas)?
- Una cinta de 15 pulgadas de longitud se divide en pedazos de 6 pulgadas cada uno. ¿Cuántos pedazos hay?
Mayor que 1. Ejemplos de explicaciones:
- $12 \div 6$ es 2, por lo tanto, $15 \div 6$ debe ser mayor que 2.
- Si dividimos 15 en 15 grupos ( $15 \div 15$ ), obtenemos 1 (es decir, 1 en cada grupo). Entonces, si dividimos 15 en 6, que es un número más pequeño de grupos, la cantidad en cada grupo debe ser mayor que 1.
$2 \frac{1}{2}$ . Ejemplo de diagrama:

Sección B Dividamos fracciones

Muchas personas han aprendido que para dividir entre una fracción, “invertimos y multiplicamos”. Esta semana, nuestros estudiantes aprenderán por qué esto funciona. Para ello, van a estudiar varios enunciados de división y diagramas como estos:

$2 \div \frac{1}{3} = ?$ se puede ver como “¿Cuántos tercios ( $\frac{1}{3}$ ) hay en 2?”
Como hay 3 tercios en 1, hay $(2 \cdot 3)$ o 6 tercios en 2. Así que al dividir 2 entre $\frac{1}{3}$ se obtiene el mismo resultado que al multiplicar 2 por 3.
$2 \div \frac{2}{3} = ?$ se puede ver como “¿Cuántos $\frac{2}{3}$ hay en 2?”
Ya sabemos que hay $(2 \cdot 3)$ o 6 tercios en 2. Para encontrar cuántos $\frac{2}{3}$ hay en 2, debemos juntar cada 2 de los tercios para formar un grupo. Al hacer esto, obtenemos la mitad de los grupos que ya teníamos. Así, $2 \div \frac{2}{3} = (2 \cdot 3) \div 2$ , que es igual a 3.
$2 \div \frac{4}{3} = ?$ puede verse como “¿Cuántos $\frac{4}{3}$ hay en 2?”
De nuevo, sabemos que hay $(2 \cdot 3)$ tercios en 2. Para encontrar cuántos $\frac{4}{3}$ hay en 2, debemos juntar cada 4 de los tercios para formar un grupo. Al hacer esto, obtenemos una cuarta parte de los grupos que ya teníamos (los del primer ejemplo). Así, $2 \div \frac{4}{3} = (2 \cdot 3) \div 4$ , que es igual a $1 \frac{1}{2}$ .

Observen que cada uno de los problemas de división presentados arriba puede solucionarse multiplicando 2 por el denominador del divisor y luego dividiendo entre el numerador. Así, $2 \div \frac{a}{b}$ se puede resolver calculando $2 \cdot b \div a$ , lo que también puede escribirse como $2 \cdot \frac{b}{a}$ . En otras palabras, al dividir 2 entre $\frac{a}{b}$ se obtiene el mismo resultado que al multiplicar 2 por $\frac{b}{a}$ . La fracción del divisor se “invierte” y luego se multiplica.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Hallen cada cociente. Muestren su razonamiento.
1. $3 \div \frac{1}{7}$
2. $3 \div \frac{3}{7}$
3. $3 \div \frac{6}{7}$
4. $\frac{3}{7} \div \frac{6}{7}$
¿Cuál es mayor: $\frac{9}{10} \div \frac{9}{100}$ o $\frac{12}{5} \div \frac{6}{25}$ ? Expliquen o muestren su razonamiento.

Solución:

1. 21. Ejemplo de razonamiento: $3 \div \frac{1}{7} = 3 \cdot \frac{7}{1} = 21$
2. 7. Ejemplo de razonamiento: $3 \div \frac{3}{7} = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7$
3. $3 \frac{1}{2}$ . Ejemplo de razonamiento: $3 \div \frac{1}{7} = 3 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{2}$ . La fracción $\frac{6}{7}$ es dos veces $\frac{3}{7}$ , por lo tanto hay la mitad de $\frac{6}{7}$ en 3 que de $\frac{3}{7}$ en 3 (es decir: la cantidad de $\frac{6}{7}$ en 3 es la mitad de la cantidad de $\frac{3}{7}$ en 3).
4. $\frac{1}{2}$ . Ejemplo de razonamiento: $\frac{3}{7} \div \frac{6}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{3}{6}$
Tienen el mismo valor. Ambos son iguales a 10. $\frac{9}{10} \div \frac{9}{100} = \frac{9}{10} \cdot \frac{100}{9} = 10$ , y $\frac{12}{5} \div \frac{6}{25} = \frac{12}{5} \cdot \frac{25}{6} = 10$ .

Sección C Fracciones en longitudes, áreas y volúmenes

Durante los siguientes días, nuestros estudiantes van a estar resolviendo problemas en donde se necesita multiplicar y dividir fracciones. Algunos de esos problemas serán sobre comparación. Por ejemplo:

Si Priya corrió durante $\frac{5}{6}$ hora y Clare corrió durante $\frac{3}{2}$ horas, ¿qué fracción del tiempo que corrió Clare fue el tiempo que corrió Priya?
Podemos dibujar un diagrama y escribir una ecuación de multiplicación para dar sentido a la situación.
$(fracción) \cdot (Tiempo de Clare) = (Tiempo de Priya)$
$? \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$ Podemos encontrar la cantidad desconocida si dividimos. $\frac{5}{6} \div \frac{3}{2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3}$ , es igual a $\frac{10}{18}$ . Así que el tiempo que corrió Priya fue $\frac{10}{18}$ (o $\frac{5}{9}$ ) del tiempo de Clare.

Otro tipo de problemas que nuestros estudiantes van a resolver están relacionados con la geometría: longitudes, áreas y volúmenes. Algunos ejemplos:

¿Cuál es el largo de una habitación rectangular si su ancho es $2 \frac{1}{2}$ metros y su área es $11 \frac{1}{4}$ metros cuadrados?
Sabemos que podemos encontrar el área de un rectángulo multiplicando su largo por su ancho ( $? \cdot 2 \frac{1}{2} = 11 \frac{1}{4}$ ), así que si dividimos $11 \frac{1}{4} \div 2 \frac{1}{2}$ (o $\frac{45}{4} \div \frac{5}{2}$ ) obtendremos el largo de la habitación. $\frac{45}{4} \div \frac{5}{2} = \frac{45}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{2}$ . La habitación tiene $4 \frac{1}{2}$ metros de largo.
¿Cuál es el volumen de una caja (un prisma rectangular) de $3 \frac{1}{2}$ pies por 10 pies por $\frac{1}{4}$ pies?
Podemos hallar el volumen multiplicando las longitudes de los lados. $3 \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{2} \cdot 10 \cdot \frac{1}{4}$ , que es igual a $\frac{70}{8}$ . Por lo tanto, el volumen es $\frac{70}{8}$ o $8 \frac{6}{8}$ pies cúbicos.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

En el primer ejemplo sobre los tiempos que corrieron Priya y Clare, ¿cuántas veces el tiempo que corrió Priya fue el tiempo que corrió Clare? Muestren su razonamiento.
El área de un rectángulo es $\frac{20}{3}$ pies cuadrados. ¿Cuál es su ancho si su largo es $\frac{4}{3}$ pies? Muestren su razonamiento.

Solución:

$\frac{9}{5}$ . Ejemplo de razonamiento: podemos escribir $? \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{2}$ para representar la pregunta “¿Cuántas veces el tiempo que corrió Priya fue el tiempo que corrió Clare?” y luego resolverla dividiendo. $\frac{3}{2} \div \frac{5}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{18}{10}$ . El tiempo que corrió Clare fue $\frac{18}{10}$ (es decir, $\frac{9}{5}$ ) del tiempo que corrió Priya.
5 pies. Ejemplo de razonamiento: $\frac{20}{3} \div \frac{4}{3} = \frac{20}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Sección D Calentamiento para llegar a los decimales

Esta semana, nuestros estudiantes van a sumar y restar números usando lo que saben sobre el significado de los dígitos. En grados anteriores, aprendieron que el 2 en 207.5 representa 2 centenas, el 7 representa 7 unidades y el 5 representa 5 décimas. Sumamos y restamos los dígitos que corresponden a las mismas unidades (como centenas o décimas). Por ejemplo, para calcular $10.5 + 84.3$ , sumamos por separado las decenas, las unidades y las décimas, entonces, $10.5 + 84.3 = 90 + 4 + 0.8 = 94.8$ .

Siempre que sumemos los dígitos y la suma sea mayor que 10, podemos “agrupar” 10 de ellas para formar un 1 de la siguiente unidad más grande. Por ejemplo, $0.9 + 0.3 = 1.2$ .

Para sumar números enteros y números decimales, podemos organizar $0.921 + 4.37$ de manera vertical, con los puntos decimales alineados, y luego hallar la suma. Esta es una forma conveniente para asegurarnos de que estamos sumando dígitos que corresponden a las mismas unidades. También nos ayuda a llevar la cuenta cuando agrupamos 10 de una unidad para formar un 1 de la siguiente unidad más grande (a esto se le llama “suma con reagrupación” o a veces “suma con llevada”).

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Encuentren el valor de $6.54 + 0.768$ .

Solución: 7.308. Ejemplo de explicación: hay 8 milésimas de 0.768. Luego, las 4 centésimas de 6.54 y las 6 centésimas de 0.768 juntas forman 1 décima. Junto con las 5 décimas de 6.54 y las 7 décimas de 0.768, da un total de 13 décimas (o 1 unidad y 3 décimas). En total hay 7 unidades, 3 décimas, ninguna centésima y 8 milésimas.

Sección E Dividamos decimales

Esta semana, nuestros estudiantes van a dividir números enteros y decimales. Podemos pensar en la división como partir un número en grupos del mismo tamaño.

Por ejemplo, considere $65 \div 4$ . Podemos imaginar que estamos compartiendo 65 gramos de oro, de manera equitativa, entre 4 personas. Esta es una manera de pensarlo (que podemos ver en el ejemplo que se muestra a la izquierda):

Primero se le dan 10 gramos a cada uno. Entonces se han compartido 40 gramos y quedan 25 gramos por compartir.
Si se le dan 6 gramos más a cada uno, entonces se han compartido 24 gramos y queda 1 gramo por compartir.
Si se le dan 0.2 gramos más a cada uno, entonces se han compartido 0.8 gramos y quedan 0.2 gramos.
Si después cada uno recibe 0.05 gramos más, entonces todo el oro se ha compartido equitativamente .

Cada uno recibe $10 + 6 + 0.2 + 0.05 = 16.25$ gramos de oro.

El cálculo de la derecha muestra pasos intermedios diferentes, pero el cociente es el mismo. Esta estrategia se llama el método de cocientes parciales para dividir.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Así fue como Jada usó el método de cocientes parciales para calcular $784 \div 7$ .

En el cálculo, ¿qué representa la resta de 700?
Encima del dividendo 784, vemos los números 100, 10 y 2. ¿Qué representan?
¿Cómo podemos comprobar que 112 es el cociente correcto para $784 \div 7$ ?

Solución

Restarles 7 grupos de 100 a los 784.
100, 10, y 2 son las cantidades distribuidas en cada grupo después de 3 rondas de división.
Podemos multiplicar $7 \cdot 112$ y ver si el producto es 784.