Lección 9Pendientes y ecuaciones de todo tipo de rectas

Objetivo de aprendizaje

Determinemos la pendiente y las ecuaciones de todo tipo de rectas.

Metas de aprendizaje

Puedo calcular pendientes positivas y negativas dados dos puntos sobre la recta.
Puedo escribir ecuaciones de rectas verticales y horizontales.

Calentamiento: Cuál es diferente: pares de rectas

¿Cuál es diferente?

Actividad 1: Hacia una fórmula más general para la pendiente

Ubica los puntos $(1, 11)$ y $(8, 2)$ , y utiliza una regla para dibujar la recta que pasa por ellos.
Sin hacer cálculos, ¿esperas que la pendiente de la recta que pasa por $(1, 11)$ y por $(8, 2)$ sea positiva o negativa? ¿Cómo lo sabes?
Calcula la pendiente de esta recta.

¿Estás listo para más?

Halla el valor de $k$ para que la recta que pasa por cada par de puntos tenga la pendiente dada.

$(k, 2)$ y $(11, 14)$ , pendiente = 2
$(1, k)$ y $(4, 1)$ , pendiente = -2
$(3, 5)$ y $(k, 9)$ , pendiente = $\frac{1}{2}$
$(- 1, 4)$ y $(- 3, k)$ , pendiente = $\frac{- 1}{2}$
$(\frac{- 15}{2}, \frac{3}{16})$ y $(\frac{- 13}{22}, k)$ , pendiente = 0

Actividad 2: Hagamos diseños

Tu profesor te dará un diseño o una cuadrícula en blanco. No muestres tu tarjeta a tu compañero.

Si tu profesor te entrega el diseño:

Mira el diseño en silencio y piensa en cómo podrías comunicar lo que debe dibujar tu compañero. Piensa en formas en las que puedes describir cómo se ve una recta, tales como su pendiente o puntos por los que pasa.
Describe cada recta, una por una, y da a tu compañero tiempo para dibujarlas.
Solo cuando tu compañero crea que ha dibujado las tres rectas que describiste, entonces debes mostrarle el diseño.

Si tu profesor te entrega la cuadrícula en blanco:

Escucha con cuidado mientras tu compañero describe cada recta y dibuja cada recta con base en su descripción.
No puedes pedir más información sobre una recta que la que te da tu compañero.
No muestres tu dibujo a tu compañero hasta que hayas terminado de dibujar todas las rectas que describió.

Cuando termines, pon el dibujo junto a la tarjeta que tiene el diseño para que tú y tu compañero puedan verlos. ¿En qué se parece el dibujo al diseño?, ¿en qué se diferencia? Discutan cualquier falta de comunicación que haya causado que el dibujo se vea diferente al diseño.

Haz una pausa aquí para que el profesor pueda revisar tu trabajo. Cuando tu profesor les dé un nuevo grupo de tarjetas, intercambien los roles para trabajar en el segundo problema.

Actividad 3: Siempre iguales

Ubica por lo menos 10 puntos cuya coordenada $y$ sea -4. ¿Qué observas acerca de ellos?
¿Cuál ecuación sirve para representar todos los puntos que tienen coordenada $y$ de -4? Explica cómo lo sabes.
1. $x = - 4$
2. $y = - 4 x$
3. $y = - 4$
4. $x + y = - 4$
Ubica por lo menos 10 puntos cuya coordenada $x$ sea 3. ¿Qué observas acerca de ellos?
¿Cuál ecuación sirve para representar todos los puntos que tienen coordenada $x$ de 3? Explica cómo lo sabes.
1. $x = 3$
2. $y = 3 x$
3. $y = 3$
4. $x + y = 3$
Grafica la ecuación $x = - 2$ .
Grafica la ecuación $y = 5$ .

versión impresa

Ubica por lo menos 10 puntos cuya coordenada $y$ sea -4. ¿Qué observas acerca de ellos?
¿Cuál ecuación sirve para representar todos los puntos que tienen coordenada $y$ de -4? Explica cómo lo sabes.
1. $x = - 4$
2. $y = - 4 x$
3. $y = - 4$
4. $x + y = - 4$
Ubica por lo menos 10 puntos cuya coordenada $x$ sea 3. ¿Qué observas acerca de ellos?
¿Cuál ecuación sirve para representar todos los puntos que tienen coordenada $x$ de 3? Explica cómo lo sabes.
1. $x = 3$
2. $y = 3 x$
3. $y = 3$
4. $x + y = 3$
Grafica la ecuación $x = - 2$ .
Grafica la ecuación $y = 5$ .

¿Estás listo para más?

Problema 1

Dibuja el rectángulo con vértices en $(2, 1)$ , $(5, 1)$ , $(5, 3)$ , $(2, 3)$ .
Para cada uno de los cuatro lados del rectángulo, escribe una ecuación de una recta que contenga el lado.

Problema 2

Un rectángulo tiene lados sobre las gráficas de las rectas $x = - 1$ , $x = 3$ , $y = - 1$ , $y = 1$ . Halla las coordenadas de cada vértice.

Resumen de la lección

Anteriormente, aprendimos que una forma de hallar la pendiente de una recta es dibujar un triángulo de pendiente. Por ejemplo, si utilizamos el triángulo de pendiente que se muestra aquí, la pendiente de la recta es $- \frac{2}{4}$ o $- \frac{1}{2}$ (sabemos que la pendiente es negativa porque la recta va hacia abajo de izquierda a derecha).

Sin embargo, los triángulos de pendiente son solo una manera de calcular la pendiente de una recta. Calculemos la pendiente de esta recta de una forma diferente: usemos únicamente los puntos $A = (1, 5)$ y $B = (5, 3)$ . Como sabemos que la pendiente es el cambio vertical dividido entre el cambio horizontal, podemos calcular el cambio en los valores de $y$ y luego el cambio en los valores de $x$ . Entre los puntos $A$ y $B$ , el cambio en el valor de $y$ es $3 - 5 = - 2$ y el cambio en el valor de $x$ es $5 - 1 = 4$ . Esto significa que la pendiente es $- \frac{2}{4}$ o $- \frac{1}{2}$ , que es el mismo valor que hallamos utilizando el triángulo de pendiente.

Observa que en cada uno de los cálculos, le restamos el valor del punto $A$ al valor del punto $B$ . Si lo hubiéramos hecho al contrario, entonces el cambio en el valor de $y$ hubiera sido $5 - 3 = 2$ y el cambio en el valor de $x$ hubiera sido $1 - 5 = - 4$ , lo que igualmente nos da una pendiente de $- \frac{1}{2}$ . Pero ¿qué pasa si mezclamos los órdenes? Si eso hubiera pasado, creeríamos que la pendiente de la recta es $\frac{1}{2}$ positivo, ya que habríamos calculado $\frac{- 2}{- 4}$ o $\frac{2}{4}$ . Como ya tenemos una gráfica de la recta y podemos ver que tiene una pendiente negativa, esto claramente es incorrecto. Si no tenemos una gráfica para comprobar nuestros cálculos, podríamos pensar que el punto que está a la izquierda, $(1, 5)$ , está más arriba que el punto que está a la derecha, $(5, 3)$ , lo que significa que la pendiente de la recta debe ser negativa.

En el plano de coordenadas, las rectas horizontales representan situaciones en las que el valor de $y$ nunca cambia mientras el valor de $x$ está cambiando. Por ejemplo, la recta horizontal que pasa por el punto $(0, 13)$ se puede describir en palabras como “el valor de $y$ siempre es 13 para todos los puntos sobre la recta”. Una ecuación que dice lo mismo es $y = 13$ .

Las rectas verticales representan situaciones en las que el valor de $x$ nunca cambia mientras el valor de $y$ está cambiando. La ecuación $x = - 4$ describe una recta vertical que pasa por el punto $(- 4, 0)$ .