Lección 2Representemos relaciones proporcionales

Objetivo de aprendizaje

Grafiquemos relaciones proporcionales.

Metas de aprendizaje

Puedo decir cuándo dos gráficas son de la misma relación proporcional aun si las escalas son diferentes.
Puedo establecer la escala y marcar ejes de coordenadas para realizar la gráfica de una relación proporcional.
Puedo graficar una relación proporcional a partir de una ecuación.

Términos de la lección

constante de proporcionalidad
tasa de cambio

Calentamiento: Una situación desconocida

Esta gráfica podría representar varias situaciones diferentes.

Escribe una ecuación para la gráfica.
Dibuja una nueva gráfica de esta relación.

Actividad 1: Clasificación de tarjetas: relaciones proporcionales

Tu profesor te dará 12 gráficas de relaciones proporcionales.

Clasifica las gráficas en grupos, según la relación proporcional que representan.
Escribe una ecuación para cada relación proporcional diferente que encuentres.

Actividad 2: Diferentes escalas

Problema 1

Dos tanques grandes se llenan con agua. El tanque A no se llena a una tasa constante, y la relación entre su volumen de agua y el tiempo se grafica en cada par de ejes. El tanque B se llena a una tasa constante de $\frac{1}{2}$ litros por minuto. La relación entre su volumen de agua y el tiempo puede describirse mediante la ecuación $v = \frac{1}{2} t$ , donde $t$ es el tiempo en minutos y $v$ es el volumen total en litros de agua en el tanque.

Dibuja y etiqueta una gráfica de la relación entre el volumen de agua $v$ y el tiempo $t$ para el tanque B en cada uno de los ejes.

Problema 2

Responde las siguientes preguntas y señala qué gráfica utilizaste para encontrar tu respuesta.

Después de 30 segundos, ¿cuál tanque tiene más agua?
¿Aproximadamente en qué tiempos ambos tanques tienen la misma cantidad de agua?
¿Aproximadamente en qué tiempos los dos tanques contienen 1 litro de agua?, ¿20 litros de agua?

¿Estás listo para más?

Una tortuga gigante viaja a 0.17 millas por hora y una liebre ártica viaja a 37 millas por hora.

Dibuja gráficas separadas que muestren la relación entre el tiempo transcurrido, en horas, y la distancia recorrida, en millas, tanto para la tortuga como para la liebre.
¿Sería útil tratar de poner ambas gráficas en el mismo par de ejes? ¿Por qué sí o por qué no?
La tortuga y la liebre comienzan juntas, y después de media hora la liebre se detiene para tomar un descanso. ¿Cuánto tarda la tortuga en alcanzarla?

Actividad 3: Representaciones de relaciones proporcionales

Problema 1

Estas son dos maneras de representar una situación.

Descripción: Jada y Noah contaron la cantidad de pasos que dieron para caminar una distancia determinada. Para caminar la misma distancia:

Jada dio 8 pasos.
Noah dio 10 pasos.

Luego descubrieron que cuando Noah había dado 15 pasos, Jada había dado 12 pasos.

Ecuación: $x$ representa el número de pasos que da Jada y $y$ representa el número de pasos que da Noah. $y = \frac{5}{4} x$

Crea una tabla que represente esta situación con al menos 3 pares de valores.
Grafica esta relación y etiqueta los ejes.
¿Cómo puedes ver o calcular la constante de proporcionalidad en cada representación? ¿Qué significa?
Explica cómo puedes saber que la ecuación, la descripción, la gráfica y la tabla representan la misma situación.

Problema 2

Estas son dos formas de representar una situación.

Descripción: el club de origami está haciendo una colecta de fondos lavando automóviles para recaudar dinero para un viaje. Cobran el mismo precio por cada automóvil. Después de lavar 11 automóviles, recaudaron un total de $93.50. Después de lavar 23 automóviles, recaudaron un total de $195.50.

Tabla:

cantidad de automóviles	cantidad recaudada en dólares
$11$	$93.50$
$23$	$195.50$

Escribe una ecuación que represente esta situación (usa $c$ para representar la cantidad de automóviles y $m$ para representar la cantidad recaudada en dólares).
Crea una gráfica que represente esta situación.
¿Cómo puedes ver o calcular la constante de proporcionalidad en cada representación? ¿Qué significa?
Explica cómo puedes saber que la ecuación, la descripción, la gráfica y la tabla representan la misma situación.

Actividad 4: Falta de información: relaciones proporcionales

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No se la muestres ni se la leas a tu compañero.

Si tu profesor te da una tarjeta de problema:

Lee tu tarjeta en silencio y piensa en qué información necesitas para responder la pregunta.
Pide a tu compañero la información específica que necesitas.
Explica a tu compañero cómo vas a usar esa información para resolver el problema.
Sigue haciendo preguntas hasta que tengas suficiente información para resolver el problema.
Comparte la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.
Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Si tu profesor te da una tarjeta de datos:

Lee en silencio tu tarjeta.
Pregunta a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?”. Espera a que tu compañero te pida la información.
Si tu compañero te pide información que no está en la tarjeta, no hagas los cálculos por él. Dile que no tienes esa información.
Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale: “¿Por qué necesitas esa información?”. Escucha las razones de tu compañero y hazle preguntas aclaratorias.
Lee la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.
Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas, intercambia roles con tu compañero y repite la actividad.

¿Estás listo para más?

Diez personas pueden cavar cinco agujeros en tres horas. Supongamos que $n$ personas cavando a la misma tasa cavan $m$ agujeros en $d$ horas:

¿Es $n$ proporcional a $m$ cuando $d = 3$ ?
¿Es $n$ proporcional a $d$ cuando $m = 5$ ?
¿Es $m$ proporcional a $d$ cuando $n = 10$ ?

Resumen de la lección

Las escalas que elegimos al graficar una relación a menudo dependen de qué información queremos saber. Por ejemplo, supongamos que dos tanques de agua se llenan a diferentes tasas constantes. La relación entre el tiempo en minutos, $t$ , y el volumen en litros, $v$ , del tanque A está dada por $v = 2.2 t$ .

Para el tanque B la relación es $v = 2.75 t$ .

Estas ecuaciones nos dicen que el tanque A se está llenando a una tasa constante de 2.2 litros por minuto y el tanque B se está llenando a una tasa constante de 2.75 litros por minuto.

Si queremos usar gráficas para ver en qué tiempos los dos tanques tendrán 110 litros de agua cada uno, entonces no es muy útil usar una escala para los ejes que esté entre 0 y 10, como se muestra aquí.

Si en el eje vertical usamos una escala que vaya hasta 150 litros, un poco más allá de los 110 que estamos buscando, y en el eje horizontal usamos una escala que vaya hasta 100 minutos, obtenemos un par de ejes mucho más útiles para responder nuestra pregunta.

Ahora podemos ver que los dos tanques alcanzará los 110 litros con 10 minutos de diferencia: el tanque B después de 40 minutos y el tanque A después de 50 minutos.

Es importante observar que las dos gráficas son correctas, pero en una se usa un rango de valores que ayuda a responder la pregunta. Para siempre elegir una escala útil, debemos considerar la situación y las preguntas que se hacen sobre esta.

La representación que escojamos para una relación proporcional también depende de nuestro objetivo. Cuando creamos representaciones, podemos escoger valores útiles prestando atención al contexto. Por ejemplo, si el tanque C se llena a una tasa constante de 2.5 litros por minuto, podríamos escribir la ecuación $v = 2.5 t$ . Si queremos comparar cuánto tardan el tanque A, el tanque B y el tanque C en alcanzar los 110 litros, podríamos graficar sus ecuaciones en los mismos ejes. Si queremos ver cómo cambia el volumen cada 30 minutos, podríamos usar una tabla:

minutos ( $t$ )	litros ( $v$ )
$0$	$0$
$30$	$75$
$60$	$150$
$90$	$225$

Sin importar la representación o escala que usemos, la constante de proporcionalidad, 2.5, es evidente en cada una. En la ecuación, es el número por el que multiplicamos $t$ ; en la gráfica, es la pendiente, y en la tabla, es el número por el que multiplicamos los valores de la columna izquierda para obtener los números de la columna derecha. Podemos pensar en la constante de proporcionalidad como una tasa de cambio de $v$ con respecto a $t$ . En este caso la tasa de cambio es 2.5 litros por minuto.