Lección 1 Fila por fila Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Analizar las estrategias que usamos para resolver sistemas en dos variables y usarlas para resolver sistemas en $n$ variables.

¿Cuál es la forma más eficiente de solucionar sistemas de ecuaciones que tienen $n$ variables y $n$ ecuaciones lineales?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

A Carlos le gusta comprar los materiales para su negocio, Competencia de Aceras, en la Tienda de Pintura Todo a 1 Dólar en la que el precio de cada artículo es un múltiplo de $$ 1$ . Esto le facilita llevar un registro del costo total de sus compras. Sin embargo, a su hermana Clarita le preocupa que los artículos en esa tienda cuesten más, así que revisa los registros para ver cuánto pagó Carlos por cada uno. Infortunadamente, a Carlos se le olvidó otra vez escribir el costo de cada artículo que compró. Solo anotó lo que compró y el costo total de todos los artículos.

Carlos y Clarita intentan descifrar el costo de un galón de pintura, el costo de una brocha y el costo de un rollo de cinta de enmascarar a partir de las siguientes compras:

Semana 1: Carlos compró $2$ galones de pintura y $1$ rollo de cinta de enmascarar por $$ 30$ .

Semana 2: Carlos compró $1$ galón de pintura y $4$ brochas por $$ 20$ .

Semana 3: Carlos compró $2$ brochas y $1$ rollo de cinta de enmascarar por $$ 10$ .

1.

Determina el costo de cada artículo usando la estrategia que quieras. Muestra lo que hiciste de manera que otra persona pueda entender tu estrategia.

Probablemente te diste cuenta de que este problema se podía representar con un sistema de ecuaciones. En cursos anteriores de matemáticas, hemos desarrollado varios métodos para solucionar sistemas: gráficas, sustitución, eliminación y reducción de matrices por filas.

2.

¿Cuáles de los métodos que has desarrollado anteriormente para solucionar sistemas de ecuaciones se podrían aplicar en este sistema? ¿Cuáles métodos parecen ser más complicados? ¿Por qué?

En una lección anterior, aprendiste cómo solucionar sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos cantidades desconocidas usando reducción de matrices por filas.

3.

Modifica la estrategia de “reducción de matrices por filas” de modo que puedas usarla para solucionar el sistema de tres ecuaciones de Carlos y Clarita usando esa estrategia. ¿Qué modificaciones tuviste que hacer? ¿Por qué?

Haz una pausa y reflexiona

4.

Escoge un contexto razonable y escribe una historia con la información dada en la siguiente matriz:

$[\begin{matrix} \begin{array}{r} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} & | \begin{array}{r} 16 \\ 17 \\ 13 \end{array} \end{matrix}]$

5.

Despeja las variables desconocidas de tu historia usando reducción por filas en la matriz dada. Comprueba tus resultados de acuerdo al contexto de tu historia para asegurarte de que son correctos.

¿Listo para más?

Compara los pasos para solucionar un sistema usando reducción de matrices por filas y usando sustitución. Para hacerlo, reescribe la matriz del problema 4 como un sistema de ecuaciones y después soluciona el sistema usando sustitución.

$[\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 2 & \begin{matrix} 2 & 16 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 & 1 & \begin{matrix} 3 & 17 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 2 & \begin{matrix} 1 & 13 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}]$

Sistema de ecuaciones lineales:

Solución usando el método de sustitución:

Aprendizajes

El procedimiento estándar para la reducción de matrices por filas se puede explicar con mis respuestas a estas preguntas:

¿Por qué es útil obtener un $1$ en la diagonal?

¿Por qué quiero obtener $0$ en las posiciones de una columna que no están en la diagonal antes de obtener un $1$ en la siguiente columna?

¿Por qué puede ser útil intercambiar filas de la matriz?

Notación, convenciones y vocabulario

Los pasos que seguimos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales usando el método de eliminación se pueden replicar siguiendo los pasos de reducción de matrices por filas. Algunos de ellos son:

, que se representa como $k R_{1} \to R_{1}$ .
, que se representa como $k R_{1} + R_{2} \to R_{2}$ .
, que se representa como $R_{2} \leftrightarrow R_{1}$ .

Vocabulario

identidades (aditiva/multiplicativa) de las matrices
matriz aumentada
reducción de matrices por filas
reducción de matrices por filas
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección repasamos las estrategias para solucionar sistemas de ecuaciones y las usamos para solucionar sistemas con más de $2$ variables. Nos concentramos específicamente en el proceso de usar matrices y reducirlas por filas para solucionar sistemas de ecuaciones.

Repaso

1.

Soluciona el sistema de ecuaciones usando un método algebraico.

${\begin{cases} - 4 x + y = 3 \\ x + y = - 2 \end{cases}$

2.

¿Cómo decides que un sistema de ecuaciones no tiene solución?