Lección 3 Más aritmética de matrices Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Analizar las propiedades de la suma y la multiplicación de matrices.

¿En qué se parecen la suma y la multiplicación de matrices a la suma y la multiplicación de números reales?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

1.

En esta lección vas a analizar algunas propiedades de la suma de matrices y de la multiplicación de matrices. Vamos a considerar solo matrices cuadradas de $2 \times 2$ .

Las siguientes tablas incluyen varias propiedades de la suma y la multiplicación de números reales. Debes decidir si estas propiedades siempre se cumplen para la suma y la multiplicación de matrices, y dar ejemplos. Aunque solo se pide un ejemplo de cada propiedad, debes ensayar con varias matrices hasta que estés convencido de que la propiedad siempre se cumple o hasta que encuentres un contraejemplo para mostrar que la propiedad no siempre se cumple. Si la propiedad siempre se cumple, ¿puedes escribir una justificación que vaya más allá de mostrar varios ejemplos?

Propiedad asociativa de la suma

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Ejemplos con números reales

Ejemplos con matrices de $2 \times 2$

Propiedad asociativa de la multiplicación

$(a b) c = a (b c)$

Ejemplos con números reales

Ejemplos con matrices de $2 \times 2$

Propiedad conmutativa de la suma

$a + b = b + a$

Ejemplos con números reales

Ejemplos con matrices de $2 \times 2$

Propiedad conmutativa de la multiplicación

$a b = b a$

Ejemplos con números reales

Ejemplos con matrices de $2 \times 2$

Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma

$a (b + c) = a b + a c$

Ejemplos con números reales

Ejemplos con matrices de $2 \times 2$

Además de las propiedades de las tablas de arriba, la suma y la multiplicación de números reales incluyen propiedades relacionadas con los números $0$ y $1$ . Por ejemplo, el $0$ se llama la identidad de la suma porque $a + 0 = 0 + a = a$ , y el $1$ se llama la identidad de la multiplicación porque $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ . Después de identificar las identidades de la suma y de la multiplicación, podemos definir los inversos de la suma, $a$ y $- a$ , porque $a + - a = 0$ , y los inversos de la multiplicación, $a$ y $\frac{1}{a}$ , porque $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ . Para decidir si estas propiedades valen para las operaciones de matrices, necesitamos averiguar si hay una matriz que sirva como el $0$ de la suma de matrices, y si hay una matriz que sirva como el $1$ de la multiplicación de matrices.

2.

La matriz identidad aditiva

Encuentra los valores de $a$ , $b$ , $c$ y $d$ que hagan que la matriz que tiene esos valores sirva como el $0$ , o la matriz identidad aditiva, en la siguiente suma de matrices. ¿Esta misma matriz funcionará como la matriz identidad aditiva para todas las matrices de $2 \times 2$ ?

$[\begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}]$

3.

La matriz identidad multiplicativa

Encuentra los valores de $a$ , $b$ , $c$ y $d$ que hagan que la siguiente matriz que tiene estas variables sirva como el $1$ , o la matriz identidad multiplicativa, en la siguiente multiplicación de matrices. ¿Esta misma matriz funcionará como la matriz identidad multiplicativa para todas las matrices de $2 \times 2$ ?

$[\begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}]$

Ya identificamos la identidad aditiva y la identidad multiplicativa de las matrices de $2 \times 2$ . Ahora identifiquemos las inversas aditivas y las inversas multiplicativas de las matrices.

4.

La matriz inversa aditiva de una matriz

Encuentra los valores de $a$ , $b$ , $c$ y $d$ que hagan que la matriz que tiene esos valores sirva como inversa aditiva de la primera matriz. ¿Este mismo proceso funcionará para encontrar la inversa aditiva de todas las matrices de $2 \times 2$ ?

$[\begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

5.

La matriz inversa multiplicativa de una matriz

Encuentra los valores de $a$ , $b$ , $c$ y $d$ que hagan que la matriz que tiene esos valores sirva como inversa multiplicativa de la primera matriz. ¿Este mismo proceso funcionará para encontrar la inversa multiplicativa de todas las matrices de $2 \times 2$ ?

$[\begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

¿Listo para más?

Encuentra la inversa de esta matriz de $3 \times 3$ : $[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2 \end{matrix}]$

Aprendizajes

Las propiedades de la aritmética de números reales se relacionan con las operaciones con matrices así:

La suma de matrices es .

La multiplicación de matrices es .

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma, $a (b + c) = a b + a c$ , .

Además, definimos las siguientes propiedades de la suma de matrices:

La matriz identidad aditiva de $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots \\ a_{21} & a_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}]$ es

La matriz inversa aditiva de $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots \\ a_{21} & a_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}]$ es

La matriz identidad multiplicativa de $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots \\ a_{21} & a_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}]$ es

La matriz inversa multiplicativa de $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots \\ a_{21} & a_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}]$ se puede encontrar al

Vocabulario

identidad: aditiva, multiplicativa
inverso: aditivo, multiplicativo
matriz (propiedades de las operaciones)
propiedad asociativa de la suma o la multiplicación
propiedad conmutativa de la suma o la multiplicación
propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma
propiedades de las operaciones en los sistemas de números racionales, reales o complejos
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección comparamos las propiedades de la suma y la multiplicación de matrices con las propiedades de la suma y la multiplicación de números reales, incluidas las propiedades asociativa y conmutativa, las propiedades de las identidades y las propiedades de los inversos. Encontramos muchas semejanzas y algunas diferencias. También aprendimos que hay matrices que se comportan como el $0$ y el $1$ del sistema de los números reales.

Repaso

1.

Soluciona el sistema de ecuaciones con una gráfica y con el método de sustitución.

${\begin{cases} y = 3 x - 4 \\ y = - \frac{1}{2} x + 3 \end{cases}$

a.

Con una gráfica

b.

Con el método de sustitución

2.

Decide si el cuadrilátero $A B C D$ es un rombo.