Lección 2 ... y fila por columna Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Multiplica las dos matrices para encontrar la matriz producto:

$[\begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 2 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Focos de aprendizaje

Usar la multiplicación de matrices en un contexto.

¿Cómo puedo usar la multiplicación de matrices para modelar contextos que requieren la suma de varios productos parciales?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la lección anterior, escogiste un contexto y escribiste una historia con la información dada en la siguiente matriz aumentada:

$[\begin{matrix} \begin{array}{r} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} & | \begin{array}{r} 16 \\ 17 \\ 13 \end{array} \end{matrix}]$

Puede que hayas representado tu historia con el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{matrix} x + 2 y + 2 z = 16 \\ 2 x + y + 3 z = 17 \\ x + 2 y + z = 13 \end{matrix}$ Usando reducción de matrices por filas, encontraste que la solución de este sistema de ecuaciones era:

$x = 2$ , $y = 4$ , $z = 3$ . En una próxima lección de esta unidad, aprenderás otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales usando matrices. En ese nuevo método usarás la multiplicación de matrices, así que repasemos esa operación.

1.

Usa los siguientes problemas para repasar cómo funciona la multiplicación de matrices.

a.

Explica cómo esta ecuación de matrices representa el sistema de ecuaciones dado anteriormente.

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 16 \\ 17 \\ 13 \end{matrix}]$

b.

Ahora usa la multiplicación de matrices para comprobar que $x = 2$ , $y = 4$ , $z = 3$ es una solución del sistema de ecuaciones dado anteriormente. Reemplaza $x$ , $y$ y $z$ por los valores de la solución propuesta y multiplica las matrices.

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 16 \\ 17 \\ 13 \end{matrix}]$

2.

En un contexto, cada componente de una matriz representa dos datos, dependiendo de la fila y la columna en la que esté ubicada. Organiza la siguiente información en una matriz, y marca cada fila y cada columna con su significado.

Semana 1: Clarita pintó $6$ logos en las aceras y Carlos pintó $4$ mascotas en las calzadas.
Semana 2: Clarita pintó $8$ logos en las aceras y Carlos pintó $3$ mascotas en las calzadas.
Semana 3: Clarita pintó $5$ logos en las aceras y Carlos pintó $6$ mascotas en las calzadas.

3.

Carlos y Clarita cobran $$ 8$ por pintar un logo en la acera y $$ 20$ por pintar una mascota en la calzada. Usando esta información adicional, muestra cómo puedes usar la multiplicación de matrices para determinar los ingresos que obtuvieron Carlos y Clarita durante las semanas 1, 2 y 3.

¿Listo para más?

Un fotógrafo vende fotos enmarcadas de $11 \times 14 in$ , $8 \times 10 in$ y $5 \times 7 in$ . Sus gastos incluyen el costo del papel, la tinta y el material para enmarcar, así como el salario de sus empleados por el tiempo de armado. El fotógrafo vende más fotos cuando se acercan el Día de la Madre y el Día de Acción de Gracias, y quiere saber el tiempo y los costos de armado para estas dos festividades.

Durante las semanas previas al Día de la Madre, el fotógrafo usa $10$ resmas de papel, $12$ paquetes de cartuchos de tinta y $200$ pies de material para enmarcar. Los días previos al Día de Acción de Gracias, el fotógrafo usa $24$ resmas de papel, $20$ paquetes de cartuchos de tinta y $360$ pies de material para enmarcar. Una resma de papel fotográfico cuesta $$ 25$ , un paquete de cartuchos de tinta cuesta $$ 90$ y el material para enmarcar cuesta $$ 2$ por pie.

El armado de las fotos enmarcadas incluye cortar el papel, que requiere $4$ horas por cada resma, reemplazar los cartuchos de tinta, que requiere $\frac{1}{2}$ hora por cada paquete de cartuchos, y construir los marcos, que en promedio requiere $\frac{3}{4}$ de hora por cada pie de material para enmarcar.

Con ayuda de la multiplicación de matrices, usa esta información para encontrar el costo y el tiempo totales del armado para cada festividad.

Aprendizajes

Las matrices se pueden multiplicar si sus dimensiones son compatibles. Esto significa:

Por ejemplo, estas dos matrices se pueden multiplicar:

$Matriz A = [\begin{matrix} 8 & 2 & 1 \\ 10 & 4 & 3 \end{matrix}], Matriz B = [\begin{matrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{matrix}]$

Cuando las matrices se usan para modelar un contexto, se pueden multiplicar si sus unidades son compatibles. Esto significa:

Usa las matrices de arriba para describir y mostrar cómo encontrar el producto de las matrices, $A \times B$ :

Resumen de la lección

En esta lección repasamos el procedimiento para multiplicar matrices (multiplicando las componentes de una fila por las de una columna) y usamos la multiplicación de matrices para modelar un contexto.

Repaso

1.

Suma las matrices.

$[\begin{array}{rrr} 3 & - 7 & 9 \\ - 5 & 4 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{rrr} 2 & 10 & - 2 \\ 5 & - 11 & 3 \end{array}] =$

2.

Crea dos matrices que no se puedan sumar.

3.

¿Qué significa $P (A | B)$ ?

4.

¿Qué significa $P (A \cup B)$ ?