Lección 4 Por determinarse Desarrollo mi comprensión
Actividad inicial
¿Cuál es diferente?
Analiza las siguientes funciones cuadráticas y selecciona la que es diferente de las otras.
Focos de aprendizaje
Escribir funciones cuadráticas en forma canónica, factorizada y estándar.
Encontrar raíces de una función cuadrática.
Usar las raíces de una función cuadrática para escribirla en forma factorizada.
¿Todas las funciones cuadráticas se pueden escribir en las tres formas que hemos estudiado: estándar, canónica y factorizada?
¿Cómo se relacionan las soluciones de una ecuación cuadrática y los factores de una función cuadrática?
¿Todas las funciones cuadráticas tienen dos raíces?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Israel y Miriam trabajan juntos en una tarea. Necesitan escribir las ecuaciones de unas funciones cuadráticas que están representadas con una tabla o una gráfica. Al principio, su trabajo se veía muy fácil. Sin embargo, a medida que avanzaron en la tarea, el álgebra se puso más retadora y surgieron algunas preguntas interesantes que no ven la hora de hacerle a su profesor. Trabaja en los siguientes problemas de la tarea de Israel y Miriam. Usa la información de la tabla o de la gráfica para escribir la ecuación de la función cuadrática en las tres formas dadas. Puedes empezar con la forma que quieras, pero debes encontrar las tres formas equivalentes.
1.
Forma estándar:
Forma factorizada:
Forma canónica:
2.
Forma estándar:
Forma factorizada:
Forma canónica:
3.
Forma estándar:
Forma factorizada:
Forma canónica:
4.
Forma estándar:
Forma factorizada:
Forma canónica:
5.
Israel está preocupado porque su forma factorizada para la función del problema 4 no le parece correcta. Miriam le sugirió que la pusiera a prueba reemplazando algunos valores de
6.
¿Qué le pudo preocupar a Israel después de escribir la forma factorizada de la función del problema 4?
Estos son algunos ejemplos adicionales tomados de la tarea de Israel y Miriam.
7.
Forma estándar:
Forma factorizada:
Forma canónica:
8.
Forma estándar:
Forma factorizada:
Forma canónica:
9.
Miriam observa que las gráficas de las funciones de los problemas 7 y 8 tienen el mismo vértice. Israel observa que las gráficas de las funciones de los problemas 2 y 7 son imágenes una de la otra reflejadas con respecto al eje
El teorema fundamental del álgebra
Una función polinomial es una función de la forma:
en la que todos los exponentes son enteros positivos y todos los coeficientes
A medida que la teoría para encontrar raíces de funciones polinomiales evolucionaba, un matemático, Albert Girard (1595-1632), hizo la siguiente afirmación que se conoce como el teorema fundamental del álgebra: Una función polinomial de grado
10.
En la siguiente unidad estudiarás funciones polinomiales que tienen términos de mayor orden, como
¿Listo para más?
A menudo las raíces cuadradas se pueden escribir en formas equivalentes. Una manera es encontrar factores que son cuadrados perfectos para extraerlos del radicando. Por ejemplo,
a.
b.
c.
d.
Aprendizajes
Observaciones sobre las intersecciones con el eje
Vocabulario
- ceros, raíces, soluciones
- intersección con el eje x
- raíces: reales y complejas
- teorema fundamental del álgebra
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección analizamos soluciones de ecuaciones cuadráticas y las relacionamos con la gráfica de la función. Las soluciones de una ecuación cuadrática se pueden usar para escribir la función en forma factorizada. Para esto, usamos un proceso que es inverso a solucionar una ecuación con el método de factorización. Descubrimos que cuando la gráfica de la función cuadrática no se cruza con el eje
1.
Escribe una forma equivalente de la raíz cuadrada:
2.
Encuentra las intersecciones con el eje